第六章统计第七章概率章末综合质量检测试卷-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第六章《统计》第七章《概率》章末综合质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 2. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 3. 已知事件相互独立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.3 4. 某校300名学生参加国学知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（   ）    A．a的值为 B．这40名学生竞赛成绩的平均数为75 C．这40名学生竞赛成绩的众数大于其平均数 D．这40名学生竞赛成绩的第80百分位数约为 5. 若在一个容量为100的总体中，随机抽取30个个体，则下列说法正确的是（   ） A． 某个个体在第21次被抽到的概率为 B．某个个体被抽到的概率为 C．某个个体在第30次被抽到的概率为 D．某个个体在第二次被抽到的概率为 6. 一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 8. 在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（   ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生总数为600 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件{第一次摸到红球}，事件{第二次摸到红球}，事件{两个球颜色相同}.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．事件与事件相互独立 11. 下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的上四分位数是23 C．，且 D．随机事件，若，且，则为互斥事件 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 . 13. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分数），绘制频率分布直方图如图．估计这50名学生成绩的第75百分位数是 ．（结果精确到0.01） 14. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则 ， ．（用表示） 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 第二届全国城市生活垃圾分类宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高三年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：    (1)求，的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ 16. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． (1)高一应抽取多少人？ (2)从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 17. 在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.6，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲、乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. (1)甲第二次闯关获得奖品的概率； (2)求甲和乙两人中恰有一人获得奖品的概率. 18. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 19. 某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． ( 第 2 页 共 12 页 ) ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章《统计》第七章《概率》章末综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D B C C B BCD ABC ACD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（   ） A．68 B．72 C．84 D．89 【解析】D 因为，所以这组数据的第75百分位数是89. 2. 已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 【解析】C 设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 3. 已知事件相互独立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.3 【解析】A 因为事件相互独立， 所以， 所以， 4. 某校300名学生参加国学知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（   ）    A．a的值为 B．这40名学生竞赛成绩的平均数为75 C．这40名学生竞赛成绩的众数大于其平均数 D．这40名学生竞赛成绩的第80百分位数约为 【解析】D ，故A错误 设这40名学生竞赛成绩的平均数为，则，故B错误 这40名学生竞赛成绩的众数为，，故C错误； 设这40名学生竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得，故D正确. 5. 若在一个容量为100的总体中，随机抽取30个个体，则下列说法正确的是（   ） A． 某个个体在第21次被抽到的概率为 B．某个个体被抽到的概率为 C．某个个体在第30次被抽到的概率为 D．某个个体在第二次被抽到的概率为 【解析】B 由题意得，单次抽取时每个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为30的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为，故B正确，A，C，D错误. 6. 一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 试验的样本空间，所以. 记“摸出的2个球颜色相同”为事件， 则，所以， 所以，故摸出的2个球颜色相同的概率为. 7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【解析】C 用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；     对于D，， ，，故D错误. 8. 在学校运动会开幕式上，某一同学随机摆放了一段用于编织的彩带，其在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现在将彩带的两头向两端拉紧，这段彩带会打成一个结的概率是（   ） A． B． C． D． 【解析】B 考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能. 先固定中间，有如图所示的四种情形， 这四种情形只有最后一种可以拉成结（可利用头发实验）， 将这四种情形翻转得到另外四种情形， 所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高一学生总数为600 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人 【解析】BCD A：由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为200，占比25%， ∴该校高一学生总数为人，故A错误； B：由扇形图知，选择物化生的人数为， ∴选择物化地和物化政的人数为， 又∵选考物化地和物化政组合的人数相等， ∴选考物化地和物化政组合的人数均为，故B正确； C：该校高一学生中选考物理的有人，选考历史的有人，选考物理的人数比选考历史的人数多，故C正确； D：∵选考生史地的学生人数占比为，∴用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取人，故D正确． 10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件{第一次摸到红球}，事件{第二次摸到红球}，事件{两个球颜色相同}.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．事件与事件相互独立 【解析】ABC 选项A：根据古典概型概率公式可知，，故A正确； 选项B：事件表示“第一次摸到红球或第二次摸到红球”，其对立事件为“两次都摸到黄球”. 两次都摸到黄球的概率：， 所以，故B正确. 选项C：事件表示“第一次摸到红球且两个球颜色相同”，即两次都摸到红球. 概率为：，故C正确. 选项D：第二次摸到红球分两种情况：第一次红第二次红、第一次黄第二次红. 两次都摸到红球的概率：. 若事件与事件相互独立，则需满足， ，故事件与事件不独立，故D错误. 11. 下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的上四分位数是23 C．，且 D．随机事件，若，且，则为互斥事件 【解析】ACD 不妨设，根据极差定义， 由，极差为， 根据方差定义，新的数据的方差是，故A正确； 数据排序后为， 上四分位数为第百分位数，，则取第个数， 即上四分位数为，故B错误； 由可得， ，所以C正确； 由， 结合可知， 可得，解得， 根据互斥事件的定义，为互斥事件，故D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为 . 【解析】由分层抽样可知，应从青年员工中抽取的人数为（人）. 13. 某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了50名学生的竞赛成绩（单位：分数），绘制频率分布直方图如图．估计这50名学生成绩的第75百分位数是 ．（结果精确到0.01） 【解析】由图可得，分数在的频率为， 分数在的频率为， 所以这50名学生成绩的第75百分位数在第三组数据中. 设第75百分位数为，则分. 14. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则 ， ．（用表示） 【解析】由题意，前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以， 所以； 当时，其前进步是由两部分组成：第一部分先前进步，再前进1步，其概率为； 第二部分先前进步，再前进2步，其概率为，所以. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 第二届全国城市生活垃圾分类宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高三年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：    (1)求，的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ 【解析】（1）由第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，即，则； 又，解得； （2）由于成绩在内的频率为，在内的频率为， 故80%分位数位于，设为m，则，解得； 故学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为78分. 16. 已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． (1)高一应抽取多少人？ (2)从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 【解析】（1）根据分层随机抽样方法，高一应抽取：（人）； （2）设事件A：高一、高二年级各有一人，设高一的三个人为：，高二两个人为：． 样本空间有：，，，，，，，，，， 所以总事件数为10种情况． 满足事件A的有：，，，，，，共6种情况， 所以． 17. 在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.6，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲、乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. (1)甲第二次闯关获得奖品的概率； (2)求甲和乙两人中恰有一人获得奖品的概率. 【解析】（1）设事件“甲第次闯关成功”，，2， 则，. 甲第二次闯关获得奖品事件为，且与相互独立， 设甲第二次闯关获得奖品为事件，. . （2）设事件“乙第次闯关成功”，，2，则，. 设事件“乙获得奖品”，事件“乙未获得奖品”，则， 乙获得奖品的概率为. 事件“甲获得奖品”，则事件“甲未获得奖品”. ， 设事件“甲和乙两人中恰有一人获得奖品”，则 . 故甲和乙两人中恰有一人获得奖品的概率0.33. 18. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 【解析】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 由可知，75%分位数位于4到6之间， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； （2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 （3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件 “恰好一男一女”，则 故所求概率. 19. 某地举行足球赛，共有16支球队参加．赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，．假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变． (1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率； (2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对组每支球队的胜率均为，乙队对组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率． 【解析】（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件， 由题得，，，． 设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则． 由题可得， ． 因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为． （2）由题得，甲队进入决赛的概率为； 乙队进入决赛的概率为． 则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为； 乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为． 因此，甲队夺冠的概率为． ( 第 2 页 共 12 页 ) ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $