第二章 函数 章末检测试卷-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 2026秋北师大版高一数学必修一第二章函数章末检测卷，通过基础巩固到综合应用的梯度设计，全面覆盖函数定义域、单调性等核心知识，适配单元复习，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义域（题1）、值域（题2）、幂函数性质（题3）|结合充分必要条件考查概念辨析| |多项选择|3/18|函数奇偶性与单调性（题9）、幂函数综合（题10）|设置部分选对得分机制，提升思维严谨性| |填空题|3/15|函数解析式（题12）、分段函数单调性（题13）|融入函数对称性（题14），考查直观想象| |解答题|5/77|二次函数综合（题16）、抽象函数证明（题18）|结合恒成立问题（题17）与性质应用（题19），培养逻辑推理与数学建模|

2026秋北师大版高一数学必修一 第二章 函数 章末检测试卷 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)=+的定义域是(　　) A.(-∞，-2)∪(-2，-1]∪[1，+∞) B.[-2，-1)∪(1，+∞) C.(-∞，-2)∪(-2，-1)∪(1，+∞) D.[-2，-1)∪[1，+∞) 2.若函数f(x)=x2+4x+6，x∈[-3，0)，则f(x)的值域为(　　) A.[2，6] B.[2，6) C.[2，3] D.[3，6] 3.设幂函数f(x)=xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知y=f(x)是奇函数，若g(x)=f(x)+2，且g(1)=1，则g(-1)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知函数f(x)=则方程[f(x)]2-6f(x)+5=0的解的个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 6.已知函数f(x)=在定义域R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C. D. 7.已知函数f(x)的定义域为R，且f(0)≠0，若f(x)·f(y)-f(xy)=x+y，则(　　) A.f(1)=-1 B.f(-1)=1 C.f(x)为增函数 D.f(x)为奇函数 8.已知函数f(x)=5x3+x(x∈R)，若不等式f(2m+mt2)+f(4t)<0对任意实数t≥2恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.(-2，-) B. C.(-∞，-)∪(，+∞) D.(-∞，-) 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x2-1 B.y=-|x|-2 C.y= D.y=- 10.已知幂函数f(x)的图象经过点，则(　　) A.f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞) B.f(x)的值域是(0，+∞) C.f(x)为奇函数 D.f(x)为定义域上的减函数 11.对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减； ②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　) A.函数y=x是闭函数 B.函数y=x2+1是闭函数 C.函数y=-x2(x≤0)是闭函数 D.函数f(x)=(x>-1)是闭函数 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数f(x)满足f =x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 13.设函数f(x)=则满足f(k-1)<f(2k)的k的取值范围是　　　　　　　　. 14.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x+1)为奇函数，当x>1时，f(x)=2x2-12x+16，则直线y=2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为　　　　　　. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f(x)=+. (1)求函数f(x)的定义域；(5分) (2)当a<0时，求f(a)，f(a-1)的值.(8分) 16.(15分)已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y=f(x+1)是偶函数，且f(0)=3. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)若函数f(x)在区间[2a，a+1]上单调，求实数a的取值范围.(8分) 17.(15分)幂函数f(x)=(k2-k-5)xk-1的定义域是全体实数. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)若g(x)=2f(x)-4x+1-2m，且不等式g(x)>0在区间[0，4]上恒成立，求实数m的取值范围.(10分) 18.(17分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a+b)=f(a)f(b)，且当x<0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)>0；(4分) (2)求证：f(x)为减函数；(6分) (3)当f(4)=时，解不等式f(x2+x-3)·f(5-x2)≤.(7分) 19.(17分)已知函数y=x+有如下性质： 如果常数t>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增. (1)已知f(x)=，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(10分) (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求实数a的值.(7分) 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)=+的定义域是(　　) A.(-∞，-2)∪(-2，-1]∪[1，+∞) B.[-2，-1)∪(1，+∞) C.(-∞，-2)∪(-2，-1)∪(1，+∞) D.[-2，-1)∪[1，+∞) 答案　A 解析　由题意可得 解得x<-2或-2<x≤-1或x≥1. 所以函数f(x)的定义域为(-∞，-2)∪(-2，-1]∪[1，+∞). 2.若函数f(x)=x2+4x+6，x∈[-3，0)，则f(x)的值域为(　　) A.[2，6] B.[2，6) C.[2，3] D.[3，6] 答案　B 解析　f(x)=(x+2)2+2，当x=-2时， f(x)min=2， 又f(-3)=3，f(0)=6， 所以f(x)在[-3，0)上的值域为[2，6). 3.设幂函数f(x)=xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若幂函数f(x)=xα在定义域内单调递减，则必有α<0； 但当α=-1<0时，f(x)=x-1=在定义域内不单调递减. 所以“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的必要不充分条件. 4.已知y=f(x)是奇函数，若g(x)=f(x)+2，且g(1)=1，则g(-1)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　∵g(x)=f(x)+2， ∴g(-x)=f(-x)+2，又y=f(x)为奇函数， ∴f(-x)+f(x)=0，∴g(x)+g(-x)=4， 故g(1)+g(-1)=4， 又g(1)=1，∴g(-1)=3. 5.已知函数f(x)=则方程[f(x)]2-6f(x)+5=0的解的个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　B 解析　由方程[f(x)]2-6f(x)+5=0可解得f(x)=1或f(x)=5，结合函数f(x)的图象，可得方程的解有6个. 6.已知函数f(x)=在定义域R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C. D. 答案　D 解析　∵f(x)=在R上是减函数， ∴解得0≤a≤，即实数a的取值范围为. 7.已知函数f(x)的定义域为R，且f(0)≠0，若f(x)·f(y)-f(xy)=x+y，则(　　) A.f(1)=-1 B.f(-1)=1 C.f(x)为增函数 D.f(x)为奇函数 答案　C 解析　对于A，令x=y=0，则f(0)[f(0)-1]=0， 又因为f(0)≠0，所以f(0)=1， 令x=1，y=0，则f(1)·f(0)-f(0)=1，解得f(1)=2，故A错误； 对于B，令x=-1，y=0，则f(-1)·f(0)-f(0)=-1，又f(0)=1， 解得f(-1)=0，故B错误； 对于C，令y=1，则f(x)·f(1)-f(x)=x+1， 又因为f(1)=2，所以f(x)=x+1， 所以函数y=f(x)为增函数，故C正确； 对于D，由C可知f(x)=x+1为非奇非偶函数，故D错误. 8.已知函数f(x)=5x3+x(x∈R)，若不等式f(2m+mt2)+f(4t)<0对任意实数t≥2恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.(-2，-) B. C.(-∞，-)∪(，+∞) D.(-∞，-) 答案　B 解析　因为函数f(x)=5x3+x的定义域为R， 且f(-x)=5(-x)3+(-x)=-(5x3+x)=-f(x)， 所以f(x)为奇函数， 又y=5x3与y=x在定义域R上为增函数， 所以f(x)在定义域R上为增函数. 若不等式f(2m+mt2)+f(4t)<0对任意实数t≥2恒成立， 则f(2m+mt2)<-f(4t)=f(-4t)， 即2m+mt2<-4t对任意实数t≥2恒成立， 所以m<-对任意实数t≥2恒成立， 即m<-对任意实数t≥2恒成立. 因为函数g(t)=t+在[2，+∞)上单调递增， 所以g(t)min=g(2)=3， 则-有最小值-， 所以m<-，即m的取值范围为. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x2-1 B.y=-|x|-2 C.y= D.y=- 答案　AC 解析　对于A，令y=f(x)=x2-1，而f(x)的定义域为R， 则f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x)，即f(x)=x2-1是偶函数， 由二次函数性质得f(x)=x2-1在区间(0，+∞)上单调递增，故A正确； 对于B，当x∈(0，+∞)时，y=-x-2， 由一次函数性质得y=-x-2在区间(0，+∞)上单调递减，故B错误； 对于C，令y=g(x)=，而g(x)的定义域为R， 则g(-x)===g(x)，得到g(x)是偶函数， 当x∈(0，+∞)时，g(x)==， 由幂函数性质得g(x)=在区间(0，+∞)上单调递增，故C正确； 对于D，函数y=-为奇函数，故D错误. 10.已知幂函数f(x)的图象经过点，则(　　) A.f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞) B.f(x)的值域是(0，+∞) C.f(x)为奇函数 D.f(x)为定义域上的减函数 答案　AB 解析　设幂函数f(x)=xα，α∈R， 因为幂函数f(x)的图象经过点， 则()α==5-1=()-2，可得α=-2，即f(x)=x-2=， 对于A，令x2≠0，可得x≠0， 所以f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故A正确； 对于B，因为x∈(-∞，0)∪(0，+∞)， 则x2>0，可得f(x)=>0， 所以f(x)的值域是(0，+∞)，故B正确； 对于C，D，因为f(1)=f(-1)=1， 所以f(x)不是奇函数，且在定义域内不是减函数，故C，D错误. 11.对于定义域为D的函数y=f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减； ②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　) A.函数y=x是闭函数 B.函数y=x2+1是闭函数 C.函数y=-x2(x≤0)是闭函数 D.函数f(x)=(x>-1)是闭函数 答案　AC 解析　选项A，因为y=x是R上的单调递增的一次函数，且在R上任意子区间都满足新定义，所以A正确； 选项B，因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数，所以B错误； 选项C，函数是开口向下的二次函数，且在区间(-∞，0]上单调递增，令f(x)=-x2， 若是闭函数，则一定有 即 解得满足新定义的闭区间是[-1，0]， 此时a=-1，b=0，所以C正确； 选项D，函数在(-1，+∞)上单调递增，若满足新定义则有即 解得a=b=0， 又a<b，所以不存在区间满足新定义，所以D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数f(x)满足f =x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 答案　f(x)=(x≠1) 解析　令=t，则x=，t≠1， ∴f(t)=，t≠1，∴f(x)=(x≠1). 13.设函数f(x)=则满足f(k-1)<f(2k)的k的取值范围是　　　　　　　　. 答案　(-1，+∞) 解析　画出函数f(x)的图象如图所示， 可知函数f(x)在R上单调递增， 因为f(k-1)<f(2k)， 所以k-1<2k，解得k>-1， 故k的取值范围为(-1，+∞). 14.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x+1)为奇函数，当x>1时，f(x)=2x2-12x+16，则直线y=2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为　　　　　　. 答案　5 解析　由于f(x+1)为奇函数，因此其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，由f(x)在(1，+∞)上的图象作f(x)的图象，如图所示，由对称性， 可得x2+x3=6， 易知x1=-1，故x1+x2+x3=5. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f(x)=+. (1)求函数f(x)的定义域；(5分) (2)当a<0时，求f(a)，f(a-1)的值.(8分) 解　(1)由题意得 解得x≤3且x≠2， 故函数f(x)的定义域为{x|x≤3且x≠2}. (2)∵f(x)=+，x≤3且x≠2， ∴当a<0时，f(a)=+， f(a-1)=+ =+. 16.(15分)已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y=f(x+1)是偶函数，且f(0)=3. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)若函数f(x)在区间[2a，a+1]上单调，求实数a的取值范围.(8分) 解　(1)因为函数y=f(x+1)是偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x=1对称， 又因为f(x)的最小值为1， 可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)， 则f(0)=a+1=3，解得a=2， 所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)由(1)可知，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 因为f(x)在区间[2a，a+1]上单调， 则或 解得≤a<1或a≤0， 所以实数a的取值范围为(-∞，0]∪. 17.(15分)幂函数f(x)=(k2-k-5)xk-1的定义域是全体实数. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)若g(x)=2f(x)-4x+1-2m，且不等式g(x)>0在区间[0，4]上恒成立，求实数m的取值范围.(10分) 解　(1)由题意得 解得 k=3，所以 f(x)=x2. (2)由(1)得g(x)=2x2-4x+1-2m， 不等式g(x)>0 在区间[0，4]上恒成立， 即2x2-4x+1-2m>0 在区间[0，4]上恒成立， 即2m<2x2-4x+1 在区间[0，4]上恒成立， 令 h(x)=2x2-4x+1，x∈[0，4]， 则h(x)的对称轴为直线x=1， 则函数h(x)在[0，1)上单调递减，在(1，4]上单调递增， 则h(x)min=h(1)=-1， 所以2m<-1，解得 m<-， 所以实数m的取值范围是. 18.(17分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a+b)=f(a)f(b)，且当x<0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)>0；(4分) (2)求证：f(x)为减函数；(6分) (3)当f(4)=时，解不等式f(x2+x-3)·f(5-x2)≤.(7分) (1)证明　f(x)=f =≥0， 又f(x)≠0，∴f(x)>0. (2)证明　设任意x1，x2∈R，且x1<x2， 则x1-x2<0， 又∵f(x)为非零函数， ∴f(x1-x2)= ==>1. 又f(x)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数. (3)解　由f(4)=[f(2)]2=，f(x)>0，得f(2)=， 原不等式转化为f(x2+x-3+5-x2)≤f(2)， 即f(x+2)≤f(2)， 结合(2)得x+2≥2， ∴x≥0，故不等式的解集为{x|x≥0}. 19.(17分)已知函数y=x+有如下性质： 如果常数t>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增. (1)已知f(x)=，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(10分) (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=-x-2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求实数a的值.(7分) 解　(1)y=f(x)= =2x+1+-8， 设u=2x+1，x∈[0，1]，则1≤u≤3， 则y=u+-8，u∈[1，3]. 由已知性质得，当1≤u≤2， 即0≤x≤时，f(x)单调递减； 当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为， 单调递增区间为； 由f(0)=-3，f =-4，f(1)=-， 得f(x)的值域为[-4，-3]. (2)g(x)=-x-2a为减函数， 故g(x)∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]. 由题意得，当x∈[0，1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集， 所以所以a=. $