第二章 函数 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 高中数学函数单元卷，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识，通过基础题与综合题结合，适配单元复习，培养数学抽象、推理及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|定义域、幂函数、分段函数等|梯度设计，如题1基础定义域到题8抽象函数单调性，渗透推理能力| |多项选择题|3/18|分段函数性质、奇函数最值等|多角度辨析，如题11抽象函数奇偶性与单调性判断，强化数学抽象| |填空题|3/15|幂函数定义、实际应用、新定义|联系实际（题13员工分流）与创新（题14“平均值函数”），体现应用意识| |解答题|5/77|奇偶性证明、分段函数图象、实际建模等|综合应用，如题18旅游收入建模、题19抽象函数不等式，培养模型观念与推理能力|

章末检测（二）　函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）＝＋的定义域是（　　） A.[－1，＋∞）　 　 B.（－∞，0）∪（0，＋∞）　　 C.[－1，0）∪（0，＋∞）　　 D.R 2.已知函数f（x＋1）＝ex－1，则f（2）＝（　　） A.1　　 B.0　 　C.e　 　D.e2 3.已知幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k＋α＝（　　） A.　　 B.1　　 C.　 　D.2 4.已知函数f（x）＝若f（a）＝10，则a的值是（　　） A.－3或5　 　 B.3或－3　　 C.－3　　 D.3或－3或5 5.偶函数y＝f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（　　） A.f（－1）＞f（2）＞f（－3）　　 B.f（2）＞f（－1）＞f（－3） C.f（－3）＞f（－1）＞f（2）　 　D.f（－1）＞f（－3）＞f（2） 6.已知f（x）＝－x2＋2ax＋3与函数g（x）＝｜x－3a｜在区间[1，2]上都单调递减，则a的取值范围为（　　） A.［，1］　　 B.（－∞，］∪[1，＋∞） C.（，1）　 　D.（－∞，）∪[1，＋∞） 7.已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x，则f（x）在[－3，－1]上（　　） A.单调递增，最小值为－1　　 B.单调递增，最大值为－1 C.单调递减，最小值为－1　　 D.单调递减，最大值为－1 8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　） A.（4，＋∞）　 　B.（0，4）　 　C.（0，2）　 　D.（2，＋∞） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域为R　　 B.f（x）的值域为R　 　 C.f（x）为奇函数　 　 D.f（x）为增函数 10.定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在[0，＋∞）上正确的结论是（　　） A.f（0）＝0　　 B.f（1）＝0 　　 C.最大值　　 D.最小值－ 11.若定义在R上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈R，都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则下列结论正确的是（　　） A.f（0）＝0　　 B.f（x）是偶函数　　 C.f（x）是减函数　　 D.x＜0时，f（x）＞0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知幂函数f（x）＝（m＋1）x2m－1，则f（2）＝　　　　. 13.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数），公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是　　　　. 14.定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点.若函数f（x）＝x2＋mx是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x－. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）证明：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； （3）求函数f（x）＝x－，x∈[－4，－1]的最大值和最小值. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ （1）画出函数f（x）的图象； （2）求f（a2＋1）（a∈R），f[f（3）]的值； （3）当f（x）≥2时，求x的取值范围. 17.（本小题满分15分）已知定义在R上的偶函数f（x），当x∈（－∞，0]时，f（x）＝－x2＋4x－1. （1）求函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式； （2）求函数f（x）在[－2，3]上的最大值和最小值. 18.（本小题满分17分）某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）＝8＋（千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）＝143－｜x－22｜（元），1≤x≤30，x∈N＋. （1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式； （2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？ 19.（本小题满分17分）已知f（x）是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y满足f（xy）＝f（x）＋f（y）. （1）求f（1），f（－1）的值； （2）证明：f（x）为偶函数； （3）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3）的解集. 章末检测（二）　函数 1.C　要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C. 2.A　∵f（x＋1）＝ex－1，∴f（2）＝f（1＋1）＝e1－1＝1. 3.A　∵幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k＝1，（）α＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝. 4.A　若a≤0，则f（a）＝a2＋1＝10，解得a＝－3（a＝3舍去）；若a＞0，则f（a）＝2a＝10，解得a＝5.综上可得，a＝5或a＝－3，故选A. 5.A　由y＝f（x）为偶函数，则f（－1）＝f（1），f（－3）＝f（3），又因为函数y＝f（x）在区间[0，4]上单调递减，所以f（1）＞f（2）＞f（3）.即f（－1）＞f（2）＞f（－3），故选A. 6.A　因为f（x）＝－x2＋2ax＋3在区间[1，2]上单调递减，所以a≤1，又g（x）＝｜x－3a｜在区间[1，2]上单调递减，所以3a≥2，解得a≥，因为f（x）＝－x2＋2ax＋3与函数g（x）＝｜x－3a｜在区间[1，2]上都单调递减，所以a的取值范围为≤a≤1.故选A. 7.C　f（x）＝－x2＋2x，图象为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，所以x＞0时f（x）在[1，3]上单调递减，最大值为1.因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以函数f（x）在[－3，－1]也单调递减，最小值为－1. 8.C　由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）是减函数，不等式f（x）－＞0，即＞0，因为x∈（0，＋∞），所以不等式等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8，即g（x）＞g（2）的解集为（0，2）. 9.ACD　根据分段函数的解析式可知，f（x）的定义域为R，选项A正确；f（x）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选A、C、D. 10.ABC　由题可知，函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（－x）＝－f（x），已知f（x）在（－∞，0）上的解析式f（x）＝x（1＋x），则当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x（1－x）＝－f（x），所以当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－）2＋，可知f（0）＝0，f（1）＝0，且最大值为，无最小值，所以f（x）在[0，＋∞）上正确的结论是A、B、C.故选A、B、C. 11.ACD　A项，令x1＝x2＝0，由题意有f（0＋0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0，故选项A正确；B项，令x1＝x，x2＝－x，由题意有f（x）＋f（－x）＝f（x－x）＝f（0）＝0，所以f（x）是奇函数，故选项B错误；C项，任取x1，x2∈R且x1＞x2，则x1－x2＞0，由题意有f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）＜0，又f（x）是奇函数，所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）是减函数，故选项C正确；D项，因为f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＜0，所以x＜0时，－x＞0，f（－x）＜0，所以f（x）＝－f（－x）＞0，故选项D正确.故选A、C、D. 12.　解析：因为f（x）＝（m＋1）x2m－1是幂函数，所以m＋1＝1，即m＝0，所以f（x）＝x－1，所以f（2）＝2－1＝. 13.16　解析：由题意得，分流前产品A的年产值为100t万元，分流x人后，产品A的年产值为（100－x）·（1＋1.2x%）t万元. 由题意，得解得0＜x≤，x∈N，所以x的最大值为16. 14.[0，＋∞）　解析：设存在x0∈[－1，1]，使得f（x0）＝，即＋mx0＝m，∴x2＋mx＝m在区间（－1，1）上有解，即m＝在区间（－1，1）上有解，∵y＝＝＝＝（1－x）＋－2，令1－x＝t∈（0，2），则y＝t＋－2，∵当t∈（0，2）时，y＝t＋－2≥2－2＝0，当且仅当t＝1∈（0，2）时，等号成立，∴y＝t＋－2≥0，∴实数m的取值范围是[0，＋∞）. 15.解：（1）函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），定义域关于原点对称， 因为f（－x）＝－x－＝－（x－）＝－f（x）， 所以函数f（x）是奇函数. （2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝（x1－）－（x2－）＝（x1－x2）－（－）＝（x1－x2）（1＋）， 因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，且1＋＞0， 所以f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增. （3）由（1）（2）知函数f（x）＝x－在（0，＋∞）上单调递增， 且函数f（x）是奇函数， 所以f（x）在（－∞，0）上也单调递增. 所以当x∈[－4，－1]时，f（x）min＝f（－4）＝－3，f（x）max＝f（－1）＝3， 所以函数f（x）的最大值为3，最小值为－3. 16.解：（1）图象如图所示： （2）f（a2＋1）＝3－（a2＋1）2＝－a4－2a2＋2，f[f（3）]＝f（－6）＝13. （3）当x＞0时，3－x2≥2，解得0＜x≤1； 当x＝0时，满足f（x）＝2； 当x＜0时，1－2x≥2，解得x≤－. 综上，当f（x）≥2时，x的取值范围为{x或0≤x≤1}. 17.解：（1）设x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝－x2－4x－1. ∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝－x2－4x－1（x∈（0，＋∞））. （2）由（1）得f（x）＝ ∴f（x）在[－2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减， ∴f（x）max＝f（0）＝－1， f（x）min＝min{f（－2），f（3）}＝f（3）＝－22. ∴函数f（x）在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22. 18.解：（1）p（x）＝f（x）·g（x）＝（8＋）（143－｜x－22｜）＝ （2）当1≤x≤22时，p（x）＝8x＋＋976≥2＋976＝1 152， 当且仅当8x＝，即x＝11时取等号，此时p（x）最小值为1 152； 当22＜x≤30时， p（x）＝－8x＋＋1 312单调递减， 当x＝30时，p（x）min＝－8×30＋＋1 312＝1 116. 因为1 116＜1 152，所以m＝p（30）＝1 116千元，0.3m＝33.48万元＞30万元，故能收回投资成本. 19.解：（1）在f（xy）＝f（x）＋f（y）中， 令x＝y＝1，得f（1）＝f（1）＋f（1），得f（1）＝0； 再令x＝y＝－1，得f（1）＝f（－1）＋f（－1）， 得f（－1）＝0. （2）证明：在f（xy）＝f（x）＋f（y）中， 令y＝－1，得f（－x）＝f（x）＋f（－1）， 即f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数. （3）f（2）＋f（3）＝f（6），不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3），即f（3－x）≤f（6）. 当3－x＞0，即x＜3时，根据函数的单调性和不等式f（3－x）≤f（6），得3－x≤6， 解得－3≤x＜3； 当3－x＜0，即x＞3时，f（3－x）＝f（x－3）≤f（6）， 由函数单调性，得x－3≤6， 解得3＜x≤9. 综上，不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3）的解集为[－3，3）∪（3，9]. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $