第三章 指数运算与指数函数 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦指数运算与指数函数，通过单选（8题40分）、多选（3题18分）、填空（3题15分）、解答（5题77分）全面覆盖概念、运算、性质及应用，注重基础巩固与能力提升，适配新授课单元检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|指数幂化简（1）、定义域（3）、函数图象（4）、实际应用（5退耕还林）|梯度分布，基础到应用| |多项选择题|3/18|指数运算性质（9）、指数函数性质（10）|辨析性强，考查概念理解| |填空题|3/15|方程求解（12）、抽象函数（13）、值域（14）|情境简洁，注重逆向思维| |解答题|5/77|化简（15）、最值（16）、不等式（17）、奇偶性（18）、有界函数应用（19）|综合应用，创新概念（19）|

章末检测（三）　指数运算与指数函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设a＞0，将表示成分数指数幂，下列选项正确的是（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D. 2.－（1－0.5－2）÷＝（　　） A.－　　 B.　 　C.　　 D. 3.函数f（x）＝＋的定义域为（　　） A.（－3，0]　　 B.（－3，1] C.（－∞，－3）∪（－3，0]　　 D.（－∞，－3）∪（－3，1] 4.函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　） A.a＞1，b＜0　　 B.a＞1，b＞0 C.0＜a＜1，0＜b＜1　　 D.0＜a＜1，b＜0 5.某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2018年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2024年需退耕（　　） A.8×1.14万公顷　　 B.8×1.15万公顷 C.8×1.16万公顷　　 D.8×1.13万公顷 6.设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜b＜c　　 B.b＜c＜a　 　C.c＜a＜b 　　D.c＜b＜a 7.已知函数f（x）＝e｜x｜＋x2（e为自然对数的底数），且f（3a－2）＞f（a－1），则实数a的取值范围是（　　） A.　　 B. C.∪　　 D.∪ 8.已知函数f（x）＝＋1，－2≤x≤2，则函数y＝f（x）＋f（2x）的最大值是（　　） A.7　　 B.8　　 C.21　　 D.22 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列各式中一定成立的有（　　） A.＝n7　　B.＝　　C.＝（x＋y　　D.＝ 10.设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正确的是（　　） A.f（x＋y）＝f（x）f（y）　 　B.f（x－y）＝ C.f＝f（x）－f（y）　 　D.f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q） 11.函数y＝｜ax－1｜的图象如图，则下列说法正确的是（　　） A.a＞1 B.0＜a＜1 C.当x＞0时，a越大，ax越大 D.方程｜ax－1｜＝b有两个不相等实根，则0＜b＜1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝　　　　. 13.已知函数f（x）满足： （1）对于任意的x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）； （2）满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”. 请写出一个满足这些条件的函数　　　　.（写出一个即可） 14.已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　 　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）化简下列各式（a＞0，b＞0）： （1） ； （2）（b）x··（. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为m，最小值为n. （1）若m＋n＝6，求实数a的值； （2）若m＝2n，求实数a的值. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝a3x＋1，g（x）＝，其中a＞0，且a≠1. （1）若0＜a＜1，求不等式f（x）＜1的解集； （2）求不等式f（x）≥g（x）的解集. 18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝x3（a＞0，且a≠1）. （1）讨论f（x）的奇偶性； （2）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立. 19.（本小题满分17分）定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有｜f（x）｜≤M成立，则称f（x）在D上为有界函数，其中M称为函数f（x）的上界.已知函数f（x）＝1＋a·＋. （1）当a＝1时，求函数f（x）在（－∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（－∞，0）上是否为有界函数，请说明理由； （2）若函数f（x）在[0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 章末检测（三）　指数运算与指数函数 1.C　由题意＝＝，故选C. 2.D　原式＝1－（1－22）÷＝1－（－3）×＝.故选D. 3.A　由题意得所以－3＜x≤0，即所求函数的定义域为（－3，0]. 4.D　法一　由题图可知0＜a＜1，当x＝0时，a－b∈（0，1），故－b＞0，得b＜0.故选D. 法二　由图可知0＜a＜1，f（x）的图象可由函数y＝ax的图象向左平移得到，故－b＞0，则b＜0.故选D. 5.C　根据题意，知2018年退耕8万公顷，x年后退耕8×1.1x万公顷，所以2024年退耕亩数为8×1.16万公顷. 6.B　根据a＝0.60.4，c＝0.40.4，由幂函数的性质可得a＞c，又b＝0.40.6，c＝0.40.4，由函数y＝0.4x的性质可得b＜c，所以b＜c＜a.故选B. 7.C　易知f（x）＝e｜x｜＋x2为偶函数，所以f（3a－2）＞f（a－1）同解于f（｜3a－2｜）＞f（｜a－1｜）.又因为在[0，＋∞）上，f（x）＝e｜x｜＋x2单调递增，所以f（｜3a－2｜）＞f（｜a－1｜）⇒｜3a－2｜＞｜a－1｜，两边平方得8a2－10a＋3＞0，解得a＜或a＞，故选C. 8.B　由题意得，y＝f（x）＋f（2x）＝＋＋2，∵f（x）的定义域为[－2，2]，∴y＝f（x）＋f（2x）的定义域应满足－2≤2x≤2即x∈[－1，1]，令t＝，则t∈，则y＝f（t）＝t2＋t＋2，t∈，又f（t）在上单调递增，∴f（t）max＝f（2）＝8，即函数y＝f（x）＋f（2x）的最大值为8.故选B. 9.BD　A中应为＝n7m－7；＝＝，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确.故选B、D. 10.ABD　f（x＋y）＝ax＋y＝axay＝f（x）f（y），故A中的等式正确；f（x－y）＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f（）＝＝（ax，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax，故C中的等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确. 11.BD　将y＝ax的图象向下平移一个单位长度，再把x轴下方的图象翻折到x轴上方，就得到y＝｜ax－1｜的图象.因此由图可知0＜a＜1.在y轴右侧a越大，ax越小；若y＝b与y＝｜ax－1｜的图象有两个不同交点，则0＜b＜1，故选B、D. 12.27　解析：由2x＝8y＋1得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.① 由9y＝3x－9得32y＝3x－9，所以2y＝x－9. ② 由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 13.f（x）＝e－x（答案不唯一）　解析：根据指数的运算性质，am＋n＝aman，可得所有指数函数f（x）均满足f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），又∵满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”，即函数是一个在R上的减函数，综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可.故其中一个函数为f（x）＝e－x. 14.　解析：由题意，y＝6a－x，x＞0的值域为（－∞，6a），要使得f（x）＝（a＞0，a≠1）的值域为R，y＝ax必为减函数，因此0＜a＜1，作出函数图象如图，由图象可知解得≤a＜1. 15.解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝. （2）原式＝（b）x··（ ＝（·bx）·（·）· ＝abx×a×b－x＝a1＋1bx－x＝a2. 16.解：（1）因为无论0＜a＜1还是a＞1，函数f（x）的最大值都是a和a2中的一个，最小值为另一个， 所以a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3（舍去）， 故实数a的值为2. （2）当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax在区间[1，2]上单调递减，其最大值m＝f（1）＝a，最小值n＝f（2）＝a2， 所以由题意，得a＝2a2，解得a＝或a＝0（舍去），所以a＝. 当a＞1时，函数f（x）＝ax在区间[1，2]上单调递增，其最大值m＝f（2）＝a2，最小值n＝f（1）＝a， 所以由题意，得a2＝2a，解得a＝2或a＝0（舍去），所以a＝2.综上，实数a的值为或2. 17.解：（1）当0＜a＜1时，f（x）＝a3x＋1在R上为减函数. 由f（x）＜1，得a3x＋1＜a0， 所以3x＋1＞0，解得x＞－， 故该不等式的解集为. （2）由不等式f（x）≥g（x），得a3x＋1≥a2x－5. 当0＜a＜1时，可得3x＋1≤2x－5，解得x≤－6，所以不等式的解集为{x｜x≤－6}. 当a＞1时，可得3x＋1≥2x－5，解得x≥－6，所以不等式的解集为{x｜x≥－6}. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜x≤－6}；当a＞1时，不等式的解集为{x｜x≥－6}. 18.解：（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， ∴函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}. 对于定义域内任意x，有f（－x）＝（＋）（－x）3＝（＋）（－x）3＝（－1－＋）（－x）3＝（＋）x3＝f（x），∴函数f（x）是偶函数. （2）由（1）知f（x）为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f（x）＞0， 则x3＞0，即＋＞0，即＞0，则ax＞1. 又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈（1，＋∞）时，f（x）＞0在定义域上恒成立. 19.解：（1）当a＝1时，f（x）＝1＋＋. 令t＝，由x＜0可得t＞1， f（x）＝h（t）＝t2＋t＋1＝＋， 因为h（t）在（1，＋∞）上单调递增， 故f（x）＞h（1）＝3，f（x）在（－∞，0）上的值域为（3，＋∞）. 故不存在常数M＞0，使｜f（x）｜≤M成立， 故函数f（x）在（－∞，0）上不是有界函数. （2）若函数f（x）在[0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，｜f（x）｜≤3恒成立. 故有－3≤f（x）≤3， 即－4－≤a·≤2－， 所以－4·2x－≤a≤2·2x－. 求得－4·2x－的最大值为－4－1＝－5， 2·2x－的最小值为2－1＝1， 故有－5≤a≤1，即a的取值范围为[－5，1]. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $