第三章 指数运算与指数函数 章末检测试卷-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 2026秋北师大版高一数学必修一第三章“指数运算与指数函数”章末检测卷，覆盖指数运算、函数性质等核心知识，题型多样，梯度分明，适配单元复习，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|指数运算、定义域值域、函数图像|基础巩固，考查概念辨析| |多项选择|3/18|指数函数比较、综合应用|能力提升，体现批判性思维| |填空题|3/15|指数式化简、定点问题|细节考查，强化运算能力| |解答题|5/77|单调性、奇偶性、不等式综合|创新应用，如结合“倒戈函数”情境，培养逻辑推理|

2026秋北师大版高一数学必修一 第三章 指数运算与指数函数 章末检测试卷 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知a>0，则等于(　　) A. B. C. D. 2.设函数y=的定义域为A，函数y=2x-1的值域为B，则A∩B等于(　　) A. B. C. D. 3.若函数f(x)=·ax是指数函数，则f的值为(　　) A.2 B.3 C. D.4 4.已知f(x)=2x-，a=f()，b=f()，c=f()，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 5.函数y=的图象大致为(　　) 6.函数y=3x-1与y=31-x的图象(　　) A.关于y轴对称 B.关于直线x=1对称 C.关于直线x=-1对称 D.关于直线x=2对称 7.如果a，b为实数，且a2 027+b2 027=0，那么一定有(　　) A.=0 B.(a-b)2 027=0 C.(ab)2 027=0 D.(a+b)2 027=0 8.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R，m≠0)是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D.(-∞，0) 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列判断不正确的是(　　) A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83 C.< D.0.90.3>0.90.5 10.已知3a=5b=15，则a，b满足的关系是(　　) A.a+b>4 B.ab>4 C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<8 11.设函数f(x)=|3x-1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，则下列式子一定成立的是(　　) A.3c<3b B.3b<3a C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知a+a-1=4，则-=　　　　　　. 13.对于任意a>0且a≠1，函数 f(x)=amx+b+b的图象恒过定点 (1，2).若f(x)的图象也过点(-1，10)，则 f(x)=　　　　　　　　. 14.已知函数f(x)=4x-2x+a+1，对任意的x1，x2∈[1，+∞)，当f(x1)=f(x2)时，恒有x1=x2，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)求下列各式的值： (1) +-；(6分) (2)+.(7分) 16.(15分)已知函数f(x)=ax-1(a>0，且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值；(6分) (2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.(9分) 17.(15分)已知函数f(x)=(ax-a-x)(a>1). (1)判断函数y=f(x)的单调性和奇偶性；(7分) (2)若当x∈(-1，1)时，有f(1-m)+f(1-m2)<0，求实数m的取值范围.(8分) 18.(17分)已知函数f(x)=. (1)若a=1，求f(x)的单调区间；(5分) (2)若f(x)的最大值为3，求实数a的值；(6分) (3)若f(x)的值域是(0，+∞)，求实数a的值.(6分) 19.(17分)已知定义域都为R的函数f(x)与g(x)满足：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2·3x. (1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(5分) (2)直接说明函数g(x)的单调性，并解关于x的不等式g(x2+4x)+g(x-6)>0；(6分) (3)设p(x)=，h(x)=f(2x)-2g(x)+2m-3，且∀x1∈R，都∃x2∈[0，+∞)，使得p(x1)=h(x2)，求实数m的取值范围.(6分) 答案解析 [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知a>0，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式=a2··==. 2.设函数y=的定义域为A，函数y=2x-1的值域为B，则A∩B等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　函数y=的定义域满足1-x2>0， 即-1<x<1，所以A={x|-1<x<1}， 函数y=2x-1的值域B={y|y>0}， 所以A∩B=(0，1). 3.若函数f(x)=·ax是指数函数，则f的值为(　　) A.2 B.3 C. D.4 答案　A 解析　∵函数f(x)=·ax是指数函数，∴a-3=1且a>0且a≠1，解得a=8， ∴f(x)=8x，∴f ==2. 4.已知f(x)=2x-，a=f()，b=f()，c=f()，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 答案　D 解析　易知函数y=2x和y=-在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)=2x-在(1，+∞)上单调递增， 又>>， 故f()>f()>f()，即c>b>a. 5.函数y=的图象大致为(　　) 答案　A 解析　∵f(x)=是奇函数，∴排除B； 当x≥0时，f(x)==1-3-2x=1-， ∴当x≥0时，f(x)单调递增，∴排除D； 又当x≥0时，32x≥1， ∴0<≤1，∴0≤1-<1， ∴排除C，则选项A符合要求. 6.函数y=3x-1与y=31-x的图象(　　) A.关于y轴对称 B.关于直线x=1对称 C.关于直线x=-1对称 D.关于直线x=2对称 答案　B 解析　设点(x0，y0)在y=3x-1的图象上，则y0=， 又==y0， 说明点(2-x0，y0)在y=31-x的图象上， 点(x0，y0)与点(2-x0，y0)关于直线x==1对称， 所以函数y=3x-1与y=31-x的图象关于直线x=1对称. 7.如果a，b为实数，且a2 027+b2 027=0，那么一定有(　　) A.=0 B.(a-b)2 027=0 C.(ab)2 027=0 D.(a+b)2 027=0 答案　D 解析　由a2 027+b2 027=0，可得a2 027=-b2 027=(-b)2 027， 则(a2 027=[(-b)2 027，即a=-b， 即a+b=0，故(a+b)2 027=0，故D符合题意； 若取a=1，b=-1，则=22 027≠0，(a-b)2 027=22 027≠0，(ab)2 027=(-1)2 027=-1≠0，故A，B，C不符合题意. 8.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R，m≠0)是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D.(-∞，0) 答案　A 解析　∵f(x)=3x+m-1是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[-1，1]满足f(-x0)=-f(x0)， ∴+m-1=--m+1， ∴2m=--+2. 构造函数y=-3-x-3x+2，x∈[-1，1]， 令t=3x，t∈， 则y=--t+2=2-在上单调递增，在(1，3]上单调递减， ∴当t=1时，y取得最大值0， 当t=或t=3时，y取得最小值-， ∴y∈， ∴-≤2m<0，∴-≤m<0. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列判断不正确的是(　　) A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83 C.< D.0.90.3>0.90.5 答案　ABC 解析　∵y=0.9x是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5，D正确；其余选项均不正确. 10.已知3a=5b=15，则a，b满足的关系是(　　) A.a+b>4 B.ab>4 C.(a-1)2+(b-1)2>2 D.a2+b2<8 答案　ABC 解析　由3a=5b=15， 得(3a )b=15b，(5b)a=15a， ∴3ab=15b，5ab=15a， ∴3ab·5ab=15b·15a， 即15ab=15a+b，∴a+b=ab， 又a，b为不相等的正数，∴a+b>2， ∴ab>2，即ab>4，故A，B正确； (a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2(a+b)，又a+b=ab， 则(a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2ab，故C正确； ∵a2+b2>2ab，ab>4， ∴a2+b2>8，故D错误. 11.设函数f(x)=|3x-1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，则下列式子一定成立的是(　　) A.3c<3b B.3b<3a C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 答案　ABD 解析　因为y=3x为R上的增函数，且c<b<a，所以3c<3b<3a，所以AB正确；作出函数f(x)=|3x-1|的图象，如图所示，由图可知要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，需有c<0且a>0， 所以3c<1<3a，所以f(c)=1-3c，f(a)=3a-1， 又f(c)>f(a)，所以1-3c>3a-1，即3c+3a<2，所以C错误，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知a+a-1=4，则-=　　　　　　. 答案　± 解析　因为=a+a-1-2=2， 所以-=±. 13.对于任意a>0且a≠1，函数 f(x)=amx+b+b的图象恒过定点 (1，2).若f(x)的图象也过点(-1，10)，则 f(x)=　　　　　　　　. 答案　3-x+1+1 解析　因为函数 f(x)=amx+b+b的图象恒过定点(1，2)， 所以 解得 故f(x)=a-x+1+1. 又f(x)的图象也过点(-1，10)， 则f(-1)=a2+1=10，得a=±3， 因为a>0，故a=3， 所以f(x)=3-x+1+1. 14.已知函数f(x)=4x-2x+a+1，对任意的x1，x2∈[1，+∞)，当f(x1)=f(x2)时，恒有x1=x2，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　(-∞，2] 解析　由题意知，f(x)在[1，+∞)上是单调函数， f(x)=4x-2x+a+1=22x-2a·2x+1. 令t=2x，x∈[1，+∞)，则t∈[2，+∞). 记g(t)=t2-2at+1，则g(t)在[2，+∞)上单调. 由t=2x在R上为增函数，g(t)在(-∞，2a-1)上单调递减，在[2a-1，+∞)上单调递增，得[2，+∞)⊆[2a-1，+∞)，所以2a-1≤2，所以a≤2. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)求下列各式的值： (1) +-；(6分) (2)+.(7分) 解　(1)原式=+- =--=. (2)原式=+y-x=|x-y|+y-x， 当x≥y时，原式=x-y+y-x=0； 当x<y时，原式=y-x+y-x=2(y-x)， ∴原式= 16.(15分)已知函数f(x)=ax-1(a>0，且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值；(6分) (2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.(9分) 解　(1)因为函数图象经过点， 所以a2-1=，则a=. (2)由(1)知函数为y=f(x)=(x≥0)， 由x≥0，得x-1≥-1. 于是0<≤=2， 所以函数的值域为(0，2]. 17.(15分)已知函数f(x)=(ax-a-x)(a>1). (1)判断函数y=f(x)的单调性和奇偶性；(7分) (2)若当x∈(-1，1)时，有f(1-m)+f(1-m2)<0，求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)当a>1时，>0，任取x1>x2， f(x1)-f(x2) =-)--) =[(-)+(-+)]， ∵>，->-， ∴f(x1)-f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增. ∵f(x)的定义域为R， 且f(-x)=(a-x-ax)=-f(x)， ∴f(x)为R上的奇函数. (2)由f(x)为奇函数，且在R上单调递增， 可得f(1-m2)<-f(1-m)=f(m-1)， ∴-1<1-m2<m-1<1， 解得1<m<， ∴实数m的取值范围为(1，). 18.(17分)已知函数f(x)=. (1)若a=1，求f(x)的单调区间；(5分) (2)若f(x)的最大值为3，求实数a的值；(6分) (3)若f(x)的值域是(0，+∞)，求实数a的值.(6分) 解　(1)当a=1时，f(x)=， 令g(x)=x2-4x+3， 由于g(x)在(-∞，2)上单调递减， 在(2，+∞)上单调递增， 而y=在R上为减函数， 所以f(x)在(-∞，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 即函数f(x)的单调递减区间是(2，+∞)，单调递增区间是(-∞，2). (2)令h(x)=ax2-4x+3，则f(x)=， 因为f(x)的最大值为3， 所以h(x)的最小值为-1， 当a=0时，f(x)=，无最大值； 当a≠0时，有解得a=1， 所以当f(x)的最大值为3时，实数a的值为1. (3)由指数函数的性质， 知要使f(x)=的值域为(0，+∞)， 应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R， 当a=0时，h(x)=-4x+3，值域为R，符合题意； 当a≠0时，h(x)为二次函数， 其值域不为R，不符合题意. 故当f(x)的值域是(0，+∞)时，实数a的值为0. 19.(17分)已知定义域都为R的函数f(x)与g(x)满足：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2·3x. (1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(5分) (2)直接说明函数g(x)的单调性，并解关于x的不等式g(x2+4x)+g(x-6)>0；(6分) (3)设p(x)=，h(x)=f(2x)-2g(x)+2m-3，且∀x1∈R，都∃x2∈[0，+∞)，使得p(x1)=h(x2)，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)由题设，f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=2·3-x， 且f(x)+g(x)=2·3x，两式相加可得f(x)=3x+3-x， 两式相减可得g(x)=3x-3-x. (2)由y=3x，y=-3-x在R上均为增函数， 故g(x)在R上为增函数， 由g(x2+4x)+g(x-6)>0， 则g(x2+4x)>-g(x-6)=g(6-x)， 所以x2+4x>6-x，即x2+5x-6=(x+6)(x-1)>0， 可得x<-6或x>1， 所以不等式的解集为(-∞，-6)∪(1，+∞). (3)当x∈R时，p(x)==1-， 又0<<2，故p(x)∈(-1，1)， 当x≥0时，h(x)=f(2x)-2g(x)+2m-3=32x+3-2x-2(3x-3-x)+2m-3=(3x-3-x)2-2(3x-3-x)+2m-1， 令t=3x-3-x，x∈[0，+∞)，则t≥0， 则h(x)=F(t)=t2-2t+2m-1=(t-1)2+2m-2≥2m-2， 由∀x1∈R，都∃x2∈[0，+∞)， 使得p(x1)=h(x2)， 只需满足2m-2≤-1，解得m≤， 即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $