第三章 指数运算与指数函数（单元测试·基础卷）数学北师大版2019必修第一册

2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 11．已知是定义在上的奇函数，是奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的值为 ． 13．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 14．已知函数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 计算下列各式： (1)； (2)． 16．（15分） 已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数的图象经过点． (1)判断并证明的奇偶性; (2)判断的单调性（无需证明）并求不等式的解集； (3)若成立，求m的取值范围． 19．（17分） 已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，若对于任意，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 2．已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案. 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 5．已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 6．已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，先得出函数所过定点，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，令可得，， 所以该函数过定点； 又该定点在直线上，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：B. 7．已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，而函数在R上都递增， 则函数在R上递增，不等式， 因此，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 8．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据根式与分数指数幂的化简计算可得结果. 【详解】对于A，，即A正确； 对于B，，可得B错误； 对于C，，可得C正确； 对于D，，即D正确. 故选：ACD 10．已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 【答案】AC 【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断. 【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确； 对于B，因，由得，即， ∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误； 对于C，由， 可得，    由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确； 对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数，故D错误. 故选：AC. 11．已知是定义在上的奇函数，是奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C． D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据题设得，进而有，结合已知区间单调性，即可判断A、B；将自变量代入，结合指数的运算性质求函数值判断C；由得，再由即可判断D. 【详解】对于A：因为是奇函数，所以，且图象关于原点对称， 因为是奇函数，所以， 令，得，以代替得， 再以代替得，正确． 对于B：由知，在上单调性与在上相同， 由题意，在上单调递减，又是上的奇函数， 所以在上单调递减， 所以在上单调递减，则在上单调递减，正确． 对于C：，因为， 所以，不正确． 对于D：当时，， 所以，， 所以当时，，正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式以及开平方，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 13．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合指数函数性质证明函数在上单调递增，当时，，不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，令，结合基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 由已知在上恒成立， 得，即在上恒成立， 令，则， 所以在上恒成立， 所以，其中， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 14．已知函数，则 ． 【答案】2783 【分析】将化为，可得。由此采用两项并项求和，即可求得答案. 【详解】由知， 设，则， 对照系数，得，则，即， 则， 的图象关于点中心对称； 故． 即 ， 故答案为：2783 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式．………（6分） （2）原式．………（13分） 16．（15分） 已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根题意设且，解出即可； （2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【详解】（1）设且，………（1分） 由，可得，又，，………（3分） .………（4分） （2）由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设，………（7分） 有两个不同的正实数解，………（9分） ，解得，………（13分） 实数的取值范围为.………（15分） 17．（15分） 已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【详解】（1）时，，………（1分） 令，则，，解得，………（3分） 故，解得，故不等式的解集为；………（6分） （2），………（8分） ，令，则在上恒成立，………（10分） 故在上恒成立，………（12分） 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2，………（14分） 故.………（15分） 18．（17分） 已知函数的图象经过点． (1)判断并证明的奇偶性; (2)判断的单调性（无需证明）并求不等式的解集； (3)若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递增， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求参数，再用奇偶性恒等式进行证明即可； （2）先利用指数函数的单调性来判断，再利用奇偶性和单调性来解不等式即可； （3）把6看成一个函数值，再利用函数的单调性来解不等式，最后利用不等式恒成立来求参数范围. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，………（1分） 而，则，所以.………（3分） ，的定义域为R关于原点对称，………（4分） 又因为，………（5分） 所以函数为奇函数.………（6分） （2）在上单调递增，在上单调递减，………（7分） 因此在上单调递增，………（8分） 利用奇函数可得：不等式，………（9分） ，于是，解得或， 所以的解集为.………（11分） （3）由（1）知， 所以不等式，………（13分） 则，依题意，，恒成立，………（14分） 而当时，，当且仅当时取等号，………（16分） 因此，所以m的取值范围是.………（17分） 19．（17分） 已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，若对于任意，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法令，根据对勾函数的单调性，结合不等式恒成立，求出对应区间上函数的最小值即可求解； （2）利用对勾函数的单调性，分、、三种情况得到不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，因为恒成立， 所以，整理得：恒成立， ………（3分） 令，，构造函数，………（4分） 根据对勾函数的单调性可知：函数在上单调递减，在上单调递增，………（5分） 对于，当时，，………（6分） 因为恒成立，所以，又因为，解得.………（7分） （2）因为，由对勾函数的单调性可知： 在上单调递减，在上单调递增，………（8分） 根据题意函数是区间上的“三角形函数”， 所以当时，有即可，………（9分） 所以当时，在上单调递增， ，， 所以有，即，无解；………（11分） 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，或，………（12分） 当时，， 此时有，即得，解得； 当时，， 此时有，即得，解得； 故；………（14分） 当时，在上单调递减， ，， 所以有，即，无解.………（16分） 综上所述：的取值范围为.………（17分） 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数的单调性，结合分情况讨论即可. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·基础通关（参考答案） 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D B B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式．………（6分） （2）原式．………（13分） 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根题意设且，解出即可； （2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可. 【详解】（1）设且，………（1分） 由，可得，又，，………（3分） .………（4分） （2）由（1）知， 又方程有两个不同的实数解， 有两个不同的实数解，设，………（7分） 有两个不同的正实数解，………（9分） ，解得，………（13分） 实数的取值范围为.………（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【详解】（1）时，，………（1分） 令，则，，解得，………（3分） 故，解得，故不等式的解集为；………（6分） （2），………（8分） ，令，则在上恒成立，………（10分） 故在上恒成立，………（12分） 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2，………（14分） 故.………（15分） 18．（17分） 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递增， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求参数，再用奇偶性恒等式进行证明即可； （2）先利用指数函数的单调性来判断，再利用奇偶性和单调性来解不等式即可； （3）把6看成一个函数值，再利用函数的单调性来解不等式，最后利用不等式恒成立来求参数范围. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，………（1分） 而，则，所以.………（3分） ，的定义域为R关于原点对称，………（4分） 又因为，………（5分） 所以函数为奇函数.………（6分） （2）在上单调递增，在上单调递减，………（7分） 因此在上单调递增，………（8分） 利用奇函数可得：不等式，………（9分） ，于是，解得或， 所以的解集为.………（11分） （3）由（1）知， 所以不等式，………（13分） 则，依题意，，恒成立，………（14分） 而当时，，当且仅当时取等号，………（16分） 因此，所以m的取值范围是.………（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法令，根据对勾函数的单调性，结合不等式恒成立，求出对应区间上函数的最小值即可求解； （2）利用对勾函数的单调性，分、、三种情况得到不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，因为恒成立， 所以，整理得：恒成立， ………（3分） 令，，构造函数，………（4分） 根据对勾函数的单调性可知：函数在上单调递减，在上单调递增，………（5分） 对于，当时，，………（6分） 因为恒成立，所以，又因为，解得.………（7分） （2）因为，由对勾函数的单调性可知： 在上单调递减，在上单调递增，………（8分） 根据题意函数是区间上的“三角形函数”， 所以当时，有即可，………（9分） 所以当时，在上单调递增， ，， 所以有，即，无解；………（11分） 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，或，………（12分） 当时，， 此时有，即得，解得； 当时，， 此时有，即得，解得； 故；………（14分） 当时，在上单调递减， ，， 所以有，即，无解.………（16分） 综上所述：的取值范围为.………（17分） 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数的单调性，结合分情况讨论即可. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一必修第一册数学单元检测卷 第三章 指数运算与指数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 7．已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．函数是偶函数 11．已知是定义在上的奇函数，是奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的值为 ． 13．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 14．已知函数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 计算下列各式： (1)； (2)． 16．（15分） 已知指数函数，满足. (1)求函数的解析式； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数的图象经过点． (1)判断并证明的奇偶性; (2)判断的单调性（无需证明）并求不等式的解集； (3)若成立，求m的取值范围． 19．（17分） 已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的定义域为，若对于任意，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $