第三章指数函数单元测试-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学指数函数单元卷，覆盖奇偶性、单调性等核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用分层考查，适配单元复习，发展数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数函数奇偶性（第1题）、大小比较（第3题）|基础概念辨析，结合充分必要条件（第2题）考查逻辑思维| |多选题|3/18|定点问题（第9题）、基本不等式应用（第10题）|多选项设计，考查知识综合判断能力| |填空题|3/15|值域求解（第12题）、最值问题（第13题）|聚焦运算能力，融入抽象函数性质（第14题）| |解答题|5/77|函数解析式（第16题）、不等式恒成立（第18题）|综合新定义“势函数”（第8题）、性质P证明（第19题），突出创新应用与逻辑推理|

北师大版高中数学第三章指数函数单元测试 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，，，则（     ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．函数的值域为__________． 13．已知，，且则的最小值为____________． 14．已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16．已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 17．已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 18．已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． $ 北师大版高中数学第三章指数函数单元测试 一、单选题 1．已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，则，解得，此时， 又因为， 所以函数为奇函数，所以符合题意. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】由于指数函数是单调递增的，所以， 所以当时，，即”是“”的充分条件； 当时，不一定成立，即”不是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 3．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 5．已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】， 所以. 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 7．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 8．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题是一道函数新定义题，核心在于理解集合 的含义，逐一验证给定的三个函数是否满足“若 ，则 ”即可. 【详解】对于①，在上单调递减， ，若，则， 由于与无关， 故，成立， 因此函数是“势函数”； 对于②，，令，得或， 令，得 ； 故函数在上单调递增，在上单调递减， 取，可得 ，， 又， ， 此时，故函数不是“势函数”； 对于③，易知函数在上单调递增， 当时，要使， 那么，若 ，则需 ，且 ； 若 ，则 ，而 ，不等式不可能成立, 故此时； 当 时，要使 ，那么，若 时，； 若 时，，均不成立，故此时； 当 时，要使 ， 那么，若 ，则左边 ，右边为负数，不等式恒成立，此时 ； 若 ，则需 ， 故此时， 若时，存在三种情况，分别为，，； 当时，，，由于， 故； 当时，,，故； 当时,，, 由于，故. 综上所述，函数①③为“势函数”. 二、多选题 9．已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 10．已知正数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】正数，满足， 对于A，因为，当且仅当时，等号成立. 所以，， 所以当时，取得最大值，最大值为，故A正确. 对于B，. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 故B正确. ， 所以当，时，取得最小值，最小值为. 故C正确. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故D错误. 11．定义在上的函数同时满足以下条件： ①；②；③当时，， 则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先利用条件①②求出等特殊值，验证选项A、B；再通过迭代递推与条件①推导的表达式，验证选项C；最后利用条件②求出与，结合单调性得到的值，验证选项D． 【详解】对于A，因为，所以，即， 因为，所以， A正确； 对于B，因为，所以，解得， 因为，所以，解得，B错误； 对于C，因为， 所以，C正确； 对于D，因为， 且， 所以， 因为当时，，且， 所以，D正确． 三、填空题 12．函数的值域为__________． 【答案】 【详解】当 时， . 由于底数 ， 该函数在 上单调递增. 最小值为 ，最大值为 . 故此段值域为 . 当 时， . 幂指数 ， 该函数在 上单调递增. 当 时， ，最大值为 时， . 故此段值域为 . 综上， 函数的值域为 . 13．已知，，且则的最小值为____________． 【答案】 【分析】先化简已知指数等式得到，再通过换元将目标式转化为可利用基本不等式求最值的形式计算最小值. 【详解】已知，，且， 则，故， 令，则，代入得，解得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为. 14．已知定义在R上的单调函数满足.若，，，…， ，使得成立，则n的最小值为______. 【答案】17 【分析】设，则.分析与的取值，列得相应的不等式，即可求得的最小值. 【详解】设（常数），是R上的单调函数，所以唯一确定，是常数. 故. 易知是增函数. 由，得，所以. 所以. ，，所以； ，，所以，所以. 因为，，，…， ，使得成立， 所以. 所以，所以. 所以n的最小值为. 四、解答题 15．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 16．已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用偶函数性质以及时的解析式即可求得结果； （2）根据偶函数在对称区间上的单调性得出不等式关系，即可解得的取值范围. 【详解】（1）由，则，所以， 因为是偶函数，所以． （2）易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 17．已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质有求参数值，注意验证是否满足题设； （2）问题化为在上恒成立，令，进一步化为在上恒成立，利用单调性求出右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由为偶函数，得，即，解得， 当时，，且对于任意的，都有， 经此检验知，当为偶函数时，的值为； （2）由，等号当且仅当时成立， 问题转化为不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 令，由，且， 代入可知对于恒成立， ， 由于函数在上严格增，当时取最小值为0， 因此，实数的取值范围是. 18．已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）由 奇函数定义，求得，通过换元，求解得出得或，再解指数不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得，通过换元， 由单调性求得，原式化为，结合单调性即可求解. （2）根据偶函数特征与函数的单调性求得的值域为.由不等式恒成立，根据的正负分情况解不等式即可求得其取值范围. 【详解】（1）（i）因为函数为上的奇函数，故，解得， 则，此时因，函数为奇函数， 则不等式，设，代入整理得， 解得或（舍），即，解得， 故原不等式的解集为. （ii）因为函数为偶函数，故， 即，因不恒为0，故，则， 则（*）， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增，故， 由（*）左式可得， 则（*）可化为， 因函数在上单调递减，则， 故. （2）根据（1）知， 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，则； 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，故， 又函数在上为偶函数，故当时，. 综上所述，的值域为. 因对于区间上的任意实数，不等式恒成立， 则当时，即，即，解得，则； 当时，即，即，显然成立； 当时，即，即，解得则. 综上所述，. 19．若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）利用奇函数的性质可将不等式化为，利用具有性质和奇函数性质可得是上的增函数，从而利用增函数的性质即可求解； （3）先由具有性质且函数的图像是一条连续曲线求得，然后利用反证法证明是奇函数. 【详解】（1）不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. （2）因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. （3）由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $