第2章 实数（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级下实数单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖选择填空解答，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，考查二次根式、无理数等核心知识，渗透抽象能力、运算能力与应用意识，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次根式有意义条件、无理数概念、立方根性质|结合多地期末真题，基础题占比60%，如考查负数立方根判断| |填空|6/18|最简二次根式、新运算定义、正方体体积|融入阶段检测题，如通过新运算考查符号意识| |解答|9/72|二次根式运算、排水法测体积、共轭二次根式新定义|设置华罗庚算立方根文化情境、动能公式跨学科应用，突出推理能力与创新意识|

第2章 实数·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·北京·期末）使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵有意义， ， 解得． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 3．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估计无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ，且， ， ，即 ， 的值在到之间． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 5．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 7．（25-26七年级下·天津北辰·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断选项即可． 【详解】解： A选项、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B选项、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C选项、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D选项、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故此选项符合题意． 8．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 9．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（　　） A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或4 【答案】D 【分析】根据平方根和立方根的意义求出a、b即可． 【详解】解：∵a2＝16， ∴a＝±4， ∵＝2， ∴b＝8， ∴a+b＝4+8或﹣4+8， 即a+b＝12或4． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根和立方根以及有理数加法，解题关键是明确平方根和立方根的意义，准确求出a、b的值，注意：一个正数的平方根有两个． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故①正确； ②∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故②错误； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是①③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______． 【答案】 3 【详解】解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 14．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）计算：_________． 【答案】8 【详解】解：． 15．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 【答案】±7 【分析】根据新定义的运算法则，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，最后根据平方根的定义求出结果即可． 【详解】解：先计算括号内的运算： 根据新运算法则，得 再计算括号外的运算： 根据平方根的定义，的平方根为． 16．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（6分）（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（6分）（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 20．（8分）（25-26七年级下·安徽六安·期中）排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1)正方体棱长 (2)直径为 【分析】（1）设正方体棱长为，由体积公式列方程求解即可； （2）设直径为，由圆柱体积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得或（负值不符合实际，舍去）， 答：杯内部的底面直径为． 21．（8分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 22．（9分）（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 【答案】(1)该运动员的跑步速度是米/秒 (2)该运动员跑步速度的近似值约为米/秒 【分析】（1）根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度； （2）根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，代入得： ， 即， 解得：，负值舍去， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． （2）解：∵， ∴（米/秒）， 即该运动员跑步速度的近似值约为米/秒． 23．（9分）（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两； ；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1） ， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 24．（10分）（25-26八年级下·福建漳州·期末）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又 ，且， ． 又 ， ， ， ． 故． 又 ，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解： ， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 25．（10分）（25-26七年级下·河南开封·期末）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸……，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽___________． 请根据材料回答下列问题： (1)的小数部分是___________． (2)A5纸的面积是___________平方米．A4纸的长宽___________． (3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，） 【答案】(1) (2)， (3)纸的长为，宽为 【分析】（1）根据的整数部分是1解答即可； （2）根据纸的面积依次计算可得答案；再根据折叠的性质得出答案； （3）设纸的宽为，则长为，再依题意得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵，即的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：由题意，可知纸的面积是1平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 纸的面积是平方米； 如图所示，由折叠的性质可得， 由材料一可知， ∴， 即纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， 即 ， ， （负值不合题意，舍去）， ， ， 答：纸的长为，宽为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·北京·期末）使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 4．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·天津北辰·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 8．（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 9．若a2＝16，＝2，则a+b的值为（　　） A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或4 10．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 14．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）计算：_________． 15．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 16．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 19．（6分）（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 20．（8分）（25-26七年级下·安徽六安·期中）排水法测体积的核心原理是：物体浸没在液体中时，物体排开液体的体积等于物体自身的体积．小华利用这一原理进行实验：用细线将一正方体铁块系住，完全浸入盛满水的圆柱形杯中，测得从杯中溢出的水的体积为；将铁块从杯中取出后，测得杯内水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 21．（8分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 22．（9分）（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 23．（9分）（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 24．（10分）（25-26八年级下·福建漳州·期末）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 25．（10分）（25-26七年级下·河南开封·期末）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸……，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽___________． 请根据材料回答下列问题： (1)的小数部分是___________． (2)A5纸的面积是___________平方米．A4纸的长宽___________． (3)按照图2的A系列纸生成过程，经过探究发现，A系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $