第2.3.4节《二次函数y=a（x-h）2的图象与性质》讲义 2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象与性质核心知识点，通过课前复习y=ax²、y=ax²+k的旧知，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生经历画图、表格数据分析、性质归纳的过程，掌握平移规律“左加右减”及开口、顶点等关键性质。 资料以“探究式学习”为特色，通过画y=2x²与y=2(x±1)²的图象培养几何直观（数学眼光），总结距离法比较函数值渗透推理意识（数学思维），分层练习（基础类辨析、提升类参数讨论）强化应用意识（数学语言）。课中助力教师实施差异化教学，课后帮助学生通过方法总结与易错提示查漏补缺。

《2.3.4二次函数y=的图象与性质》讲义 【学习目标】 1.基础知识与技能 （1）会画y=图象，掌握开口、顶点、对称轴、最值、增减性等性质。 （2）理解抛物线平移规律 “左加右减”，分清y=与y=ax2的位置关系。 （3）能比较抛物线上点的函数值、根据 x 取值范围求 y 范围，会求解析式、解决参数类题型。 2.过程方法 （1）经历画图、观察、归纳过程，体会数形结合思想。 （2）掌握利用对称轴判断函数值大小、区间求值域的解题方法。 3.情感价值 （1）通过自主探究感受函数图象对称美，提升数学探究兴趣。 （2）学会从特殊到一般总结规律，培养严谨解题与合作交流能力。 4.重难点分层目标 （1）基础必达目标：牢记y=的顶点(h，0)、对称轴直线x=h、开口方向与最值；熟练运用 “左加右减” 描述抛物线平移。 （2）提升拓展目标：灵活运用对称轴距离法比较抛物线上点的函数值；结合自变量取值范围求y的取值范围；解决含参数h的最值分类讨论综合题。 一、课前复习 1.下列关于抛物线y=－2x2+3的顶点坐标为（ ） A. (0，0) B. (-2,3) C. (2，3) D.(0,3) 2.抛物线的形状与的相同，开口方向也相同，且其顶点坐标为(0,3)，则抛物线的表达式为______________。 我们已经研究了二次函数y=ax2的图象与二次函数y=+k的图象的性质与关系？ 二次函数y=a(x－h)2的图象有什么特征？它与二次函数y=ax2的图象有什么关系？比如：二次函数y=2(x－1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？ 二、新知探索 操作：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2、y=2(x－1)2、y=2(x+1)2的图象 x取值 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2函数值 18 8 2 0 2 8 18 y=2(x－1)2函数值 y=2(x+1)2函数值 （备用图） 1. y=2(x－1)2图象与性质探索 （1） 表格数据观察分析： ①从左往右看，二次函数y=2(x－1)2的函数值变化是_____________；作用在图象上，可以猜测二次函数y=2(x－1)2的图象变化趋势是_____________。 ②二次函数y=2(x－1)2的函数值总是成对相等出现，函数值具有对称性；作用在图像上，可以猜测二次函数的图象具有___________性。 ③从左往右看，二次函数y=2(x+1)2的函数值变化是_____________；作用在图象上，可以猜测二次函数y=2(x+1)2的图象变化趋势是_____________。 ④二次函数y=2(x+1)2的函数值总是成对相等出现，函数值具有对称性；作用在图像上，可以猜测二次函数的图象具有___________性。 （2）描点连线：画出抛物线y=2(x－1)2、y=2(x+1)2的图象。 （3）观察图象并分析性质 · 抛物线y=2(x－1)2可以由抛物线y=2x2的图象整体向_______平移______单位长度得到； · 抛物线y=2(x－1)2的性质有： ①开口方向：________________； ②顶点坐标：___________； ③顶点是最_____点，则y的有最______值，为_______，则y的取值范围是___________。 ④图象关于_______呈________对称； ⑤当x取哪些值时，y随x的增大而增大？当x取哪些值时，y随x的增大而减小？ · 抛物线y=2(x－1)2与抛物线y=2x2的性质有何异同？ 思维路径：①开口方向______；②顶点坐标_______；③最低最高点？_________；y的取值范围？_________；④对称性_________；⑤图像的增减性___________；⑥开口大小_______。（填“相同”或“不同”） 2. y=2(x+1)2图象与性质探索 （1）观察图象并分析性质 · 抛物线y=2(x+1)2可以由抛物线y=2x2的图象整体向_______平移______单位长度得到； · 抛物线y=2(x+1)2的性质有： ①开口方向：________________； ②顶点坐标：___________； ③顶点是最_____点，则y的有最______值，为_______，则y的取值范围是___________。 ④图象关于_______呈________对称； ⑤当x取哪些值时，y随x的增大而增大？当x取哪些值时，y随x的增大而减小？ · 抛物线y=2(x+1)2与抛物线y=2x2的性质有何异同？ 思维路径：①开口方向______；②顶点坐标_______；③最低最高点？_________；y的取值范围？_________；④对称性_________；⑤图像的增减性___________；⑥开口大小_______。（填“相同”或“不同”） （2） 思考·交流：二次函数的图象是什么形状？其中，a对图象有什么影响？h对图象有什么影响？与同伴进行交流。 3. 尝试思考 （1） 二次函数、的图象分别与二次函数的图象有什么关系？它们是轴对称图形吗？对称轴和顶点坐标分别是什么？ （2） 当x取哪些值时，函数的值随着x值的增大而增大? 当x取哪些值时，函数的值随着x值的增大而减小？ 函数呢？ 二次函数、的图象都是抛物线，它们与抛物线的形状相同，只是位置不同。将二次函数的图象向左平移1个单位长度，就得到二次函数的图象；将二次函数的图象向右平移2个单位长度，就得到二次函数的图象。 4.二次函数y=a(x－h)2图象与性质总结 二次函数y=a(x－h)2的图象也是_______，它与抛物线y=ax2的形状________，只是位置______。y=a(x－h)2图象可以是看做把y=ax2的图象向________（h＞0）或向_______（h＜0）平移|h|个单位长度得到。简称“左加右减”， 抛物线 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 图 象 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 开口方向 顶点坐标 （ , ）是最____点（填高/低） （ , ）是最____点（填高/低） 最值 当x=____时，y有最____值，为___； 当x=____时，y有最____值，为___； 对称性 （1）关于_______________________呈________对称； （2）抛物线上的点，若纵坐标相等，则两个点必关于对称轴对称；如果对称轴是y轴，则横坐标互为相反数。 （3）二次函数的一个y值，会对应着______个x值； 增减性 当x＜___时，y随x增大而_______； 当x＞___时，y随x增大而______； 当x＜___时，y随x增大而_______； 当x＞___时，y随x增大而_______； 开口大小 | a |越大，开口越______（填大/小），图象与_____越______（填远/近），图象越______（填陡/缓），y随x的变化而变化的速度越______（填快/慢） 熟记：图像与性质总结完毕后，给时间记忆，并同桌之间相互提问巩固。 三、课堂练习 1. 图中有七条形状相同的抛物线，如果中间一条抛物线对应的函数表达式是y=2x2，那么，从左到右其余六条抛物线对应的函数表达式是什么? 2. 对于二次函数y=-3(x+2)2. (1)它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而减小? 3. 在同一坐标系中，画出二次函数、、的图象草图（体现顶点位置、开口方向、对称轴）。再根据草图，填写下列表格。 二次函数 性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 4.猜一猜：的图象可以由二次函数的图象怎样平移得到？ 四、巩固练习 【基础类】 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=（a≠0）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A.直线x=3 B.直线x=－3 C.直线x=－2 D.直线x=2 3.抛物线的顶点坐标为（ ） A. (5，0) B. (5，0) C. (－4，0) D. (－4，5) 4.抛物线的与y轴交点坐标为（ ） A.(1，0) B. (0，2) C.(2，1) D. (0，1) 5.抛物线与抛物线y=－3x2、y=－3(x－h)2（ ） A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D.都有最低点 6. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【提升类】 7. 比较抛物线上点的纵坐标大小 （1）已知抛物线上两点A(3，y1)，B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为__________； （2）已知抛物线上两点A(－3，y1)，B(－5，y2)，则y1与y2的大小关系为__________； （3）已知抛物线上两点A(－3，y1)，B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为__________； （4）已知抛物线上两点A(－2，y1)，B(7，y2)，则y1与y2的大小关系为__________； （5）已知抛物线上两点A(3，y1)，B(－3，y2)，则y1与y2的大小关系为__________； （6）已知二次函数的图象上有三个点A(3，y1)，B(6，y2)，C(－1，y3)，则y1与y2的大小关系为__________； 方法1：带入计算； 方法2：画草图（需画标准）； 方法3：看点到对称轴的距离（总结如下） （1） 若抛物线开口向上，则到对称轴距离越近，则点的纵坐标y值越_____。到对称轴距离越远，则点的纵坐标y值越_____； （2） 若抛物线开口向下，则到对称轴距离越近，则点的纵坐标y值越_____。到对称轴距离越远则点的纵坐标y值越_____； （3） 若两点则到对称轴距离_________，则点的纵坐标y值相等； 注意：点到对称轴的距离计算方法是：用点的___坐标与对称轴作差，再取绝对值； 发现：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)则到对称轴距离相等，则抛物线的对称轴可用来计算，此时=2对称轴 8. 若抛物线经过(m，n)，(m－3，n)两点，则m=________，n=_________。 9. 给出x的某段范围，求此间二次函数的函数值y值的范围。 （1）已知抛物线，当3 ≤ x ≤ 5时，则y的取值范围是__________； （2）已知抛物线，当－5 ＜x＜－3时，则y的取值范围是__________； （3）已知抛物线，当－3 ≤ x ≤ 5时，则y的取值范围是__________； （4）已知抛物线，当－2 ＜x ≤ 2时，则y的取值范围是__________； （5）已知抛物线，当－3＜ x ＜ 1时，则y的取值范围是__________； （6）拓展选做：已知二次函数（h为常数），当自变量x满足2≤x≤5时，函数值y的最大值为-1，则h的值为___________。 9题方法总结：给出x的范围，求y值范围时，要 ①画出抛物线的草图（表示出开口方向、对称轴即可，不用坐标轴） ②计算x范围两端到对称轴的距离后，在草图上标记两端点（注意空心/实心），由此截取出符合x取值范围的那一段抛物线； ③找该段抛物线上的最高点，取y的最大值；找最低点，确定y的最小值。注意点为空心，则不取等号，点为实心才能取等号。 易错点：直接代入x的取值范围的端点值后，得y的取值范围是错误的。因为抛物线的增减性不是单调的，中间有变化。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2.3.4二次函数y=的图象与性质》讲义答案 一、课前复习答案 答案：1. D 2. +3 二、新知探索答案 操作：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2、y=2(x－1)2、y=2(x+1)2的图象 x取值 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2函数值 18 8 2 0 2 8 18 y=2(x－1)2函数值 32 18 8 2 0 2 8 y=2(x+1)2函数值 8 2 0 2 8 18 32 1. y=2(x－1)2图象与性质探索 （1） 表格数据观察分析： 答案：①先变小后变大；从左到右，图象先下降后上升 ②轴对称 ③先变小后变大；从左到右，图象先下降后上升 ④轴对称 （2） 描点连线：画出抛物线y=2(x－1)2、y=2(x+1)2的图象。 （3）观察图象并分析性质 · 右 ，1个； · 抛物线y=2(x－1)2的性质有： ①向上； ②（1,0）； ③ 低 ， 小 ， 0 ， y≥0 。 ④直线x=1 轴； ⑤x＞1时， x＜1时 · 抛物线y=2(x－1)2与抛物线y=2x2的性质有何异同？ 思维路径：①相同；②不同；③相同，顶点都是最低点；相同都是y≥0；④相同；⑤不同：前者x＞1时y随x增大而增大，x＜1时y随x增大而减小。后者x＞0时y随x增大而增大，x＜0时y随x增大而减小；⑥相同。 2. y=2(x+1)2图象与性质探索 （1）观察图象并分析性质 · 左 1个 · 抛物线y=2(x+1)2的性质有： ①向上； ②（－1,0）； ③低，小，y≥0。 ④直线x=－1 轴； ⑤x＞－1时， x＜－1时 · 抛物线y=2(x+1)2与抛物线y=2x2的性质有何异同？ 思维路径：①相同；②不同；③相同，顶点都是最低点；相同都是y≥0；④相同；⑤不同：前者x＞－1时y随x增大而增大，x＜－1时y随x增大而减小。后者x＞0时y随x增大而增大，x＜0时y随x增大而减小；⑥相同。 （3） 思考·交流：抛物线，a的正负决定开口方向：a为正，开口向上。a为负，开口向下；a的绝对值大小决定开口大小：|a|越大，开口越小。|a|越小，开口越大 3. 尝试思考 （1）的图象向左平移1个单位长度，就得到二次函数的图象；将二次函数的图象向右平移2个单位长度，就得到二次函数的图象。 都是轴对称图形， 对称轴为：直线x=－1，顶点为（－1，0） 对称轴为：直线x=2，顶点为（2，0） （2）当x＜－1时，函数的值随着x值的增大而增大；当x＞－1时，函数的值随着x值的增大而减小。 当x＜2时，函数的值随着x值的增大而增大；当x＞2时，函数的值随着x值的增大而减小。 4.二次函数y=a(x－h)2图象与性质总结 二次函数y=a(x－h)2的图象也是抛物线，它与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同。y=a(x－h)2图象可以是看做把y=ax2的图象向右（h＞0）或向左（h＜0）平移|h|个单位长度得到。简称“左加右减”， 抛物线 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 图 象 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h, 0）是最低点（填高/低） （h, 0）是最高点（填高/低） 最值 当x=h时，y有最小值，为0； 当x=h时，y有最大值，为0； 对称性 （1）关于直线x=h呈轴对称； （2）抛物线上的点，若纵坐标相等，则两个点必关于对称轴对称；如果对称轴是y轴，则横坐标互为相反数。 （3）二次函数的一个y值，会对应着两个x值； 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h时，y随x增大而增大； 当x＞h时，y随x增大而减小； 开口大小 | a |越大，开口越小（填大/小），图象与对称轴越近（填远/近），图象越陡（填陡/缓），y随x的变化而变化的速度越快（填快/慢） 三、课堂练习答案 1. y=2(x+3)2，y=2(x+2)2，y=2(x+1)2，y=2(x-1)2，y=2(x-2)2，y=2(x-3)2. 2. （1）二次函数y=-3(x+2)2的图象可以看成由二次函数y=-3x2的图象向左平移2个单位长度得到。 （2）x＜－2，x＞－2 3. 题答案 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x增大而增大时，x的取值范围 向上 直线x=0 /y轴 (0,0) x＞0 向上 直线x=－2 (－2,0) x＞－2 向上 直线x=2 (2,0) x＞2 4. 法1：向左平移2各单位长度，再向下平移4个单位长度； 法2：向下平移4个单位长度，再向左平移2各单位长度。 四、巩固练习答案 1.D； 2. C 3.A 4. B 5.A 6.B 7.（1）y1＜y2；（2）y1＞y2；（3）y1=y2 ；（4）y1＜y2；（5）y1＜y2；（6）y2＜y3＜y1 方法3总结：（1）小，大；（2）大，小；（3）相等 8. m=2，n= 2 9. （1）8≤y≤32；（2）32≤y＜72；（3）0≤y≤32；（4）0≤y＜18；（5）－9＜y＜0 （6）1或6 9题板书解析图如下 学科网（北京）股份有限公司 $