第25章 一元二次方程——解一元二次方程（直接开平方法）（课件） -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦解一元二次方程的直接开平方法，通过复习平方根定义及\(x^2=a\)的求解引入，以油漆刷正方体盒子的实际问题为支架，衔接旧知与新知，引导学生从具体情境抽象出方程模型。 其亮点在于融合数学眼光（从现实问题抽象出\(x^2=25\)等方程）、数学思维（分类讨论\(p>0\)、\(p=0\)、\(p<0\)时的根，通过降次转化为一元一次方程），如例2解\((x-1)^2=4\)体现推理与运算能力。课堂小结明确步骤与模型，助力学生结构化认知，教师可借助实例提升教学效率。

解一元二次方程（直接开平方法） 1. 用直接开平方法解方程 x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8. x=±6 x1=6，x2=-6 x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 预习检测 2. 解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1 (x+6)2－9=0 3(x－1)2－12=0 解：(x+6)2=9 x+6=+3 x1=－3, x2=－9 学习目标 1.如果 x2=a,则x叫做a的 . 导入新课 复习引入 平方根 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 3.如果 x2=64 ,则x= . ±8 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 讲授新课 直接开平方法 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程 10×6x2=1500， 由此可得 x2=25 开平方得 即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． x=±5， 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 探究归纳 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 典例精析 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ，得 对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5 探究交流 ∴x+3＝ ,x+3＝﹣ 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 解题归纳 规律总结 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 探究交流 对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ，得 方法归纳 上面的解法中 ，实质上是把一个一元二次方程通过“降次”，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程. 例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 解：（1）∵x+1是2的平方根， 例2 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 即x1=3，x2=-1. 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. (3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解。 探讨交流 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p （p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 课堂小结 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 $