25.2.1.1用直接开平方法解一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用直接开平方法解一元二次方程”，课堂导入通过求平方根复习旧知，衔接新知从具体方程x²=4到一般形式x²=p，再到(mx+n)²=p，构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生理解降次转化思想。 其亮点在于以数学眼光抽象方程模型，通过x²=p的三种情况探究培养抽象能力，用数学思维推理降次过程，如将(x+3)²=5转化为一元一次方程，结合例题练习强化模型意识。结构完整，助力学生掌握方法，教师教学更高效。

25.2　降次——解一元二次方程 25.2.1　配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 新课导入 求下列各数的平方根： (1) 144； (2) . 解：(1) ±＝±12 . (2) ±＝± . 2 探究新知 先来看一个简单的一元二次方程 根据平方根的意义，得 即 x1 = 2，x2 = －2. 一般地，对于方程 p ， （1）当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1 = ，x2 = －； （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1 = x2 =0； （3）当p<0时，因为对任意实数x，都有>0，所以方程无实数根. 探究： 对照上面解方程=4的过程，你认为应怎样解方程 =5 ？ 提出问题： (1)(________)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？ (2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值； (3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？ (4)上述所解方程有什么共同点？ ± 在解方程=4时，由方程=4得x=士2. 由方程 (x＋3)2＝5, ① 得，x + 3 = 即，x + 3 =，或 x + 3 = ② 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1=3+，x2=3. 由此想到： 在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了。 例1 解下列方程： （1）4 解：移项，并将二次项系数化为1， 由此可得 x = ， 即 x1 = ，x2 = － . 得 = ， （2） 解：移项，得 = 9， 由此可得 x + 2 = ±3， 即 x1 = 1，x2 = －5. x + 2 = 3， 或 x + 2 = 3， 知识归纳 1．一般地，对于方程x2＝p， (1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个______的实数根____________________； (2)当p＝0时，方程有两个_______的实数根______________； (3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程______实数根． 不相等 x1＝－，x2＝ 相等 x1＝x2＝0 无 一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？ 请谈谈如何降次． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为两个__________方程． 一元一次 例 1 例题与练习 解下列方程： (1)x2－36＝0； (2)2y2＝100； (3)16p2－5＝0. 解：(1) x1＝6，x2＝－6. (2) y1＝5，y2＝－5. (3) p1＝，p2＝－. 例 2 解下列方程： (1)2(2x－1)2－10＝0； 解：由2(2x－1)2－10＝0，得(2x－1)2＝5. 由此可得2x－1＝±， 2x－1＝，或2x－1＝－， 即x1＝，x2＝. (2)y2－4y＋4＝8； 解：原方程可化为(y－2)2＝8. 由此可得y－2＝±2， y－2＝2，或y－2＝－2， 即y1＝2＋2，y2＝2－2. (3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 解：原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2. 由此可得2(3x－1)＝±3(3x＋1)， 2(3x－1)＝3(3x＋1)，或2(3x－1)＝－3(3x＋1)， 即x1＝－，x2＝－. 例 3 已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6， ∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2. ∴原方程为(x－3)2＝9， 解得x1＝6，x2＝0. ∴另一个根为x＝0. 1. 解下列方程： （1）x2－9 = 0； （2）2x2-8 = 0； 解：2x2 = 8 解：x2 = 9 x1=3， x2=－3 x2 = 4 x1=2， x2=－2 （4）(x+6)2-9 = 0； （3）9x2－5=3； 解： x2 = x1= ， x2= － 解：(x+6)2 = 9 x+6 = ±3 x1= －3， x2=－9 （6）x2-4x +4 = 5. （5）3(x－1)2－6 = 0； 解： 3(x－1)2 = 6 (x－1)2 = 2 x－1 = ± x1=1+， x2=1－ 解： (x-2)2 = 5 x-2 =± x1=2+ ， x2=2－ 2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为 (　 　) A．2　　　　 B．－2　　　　 C．±2　　　　 D．不能确定 C 3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为 (　 　) A．8　　　　 B．8或－2　 　 C．－2　　　　 D．28 4．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝________． A ± 课堂小结 1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝±，再解两个一次方程即可求得解． 2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次． 随堂检测 1、一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 D 3. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 2. 若8x2 - 16=0，则x的值是 . D ± 作业布置 (1)教材P17　习题25.2第1题； (2)对应课时练习． $