25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”中的组合类问题，核心讲解单循环、双循环比赛场次计算逻辑及建模思路。课堂导入通过回顾上节课传播问题，以排球邀请赛单循环实例切入，对比双循环赛制差异，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以球赛、握手、赠卡片等真实情境为载体，引导学生抽象数量关系培养数学眼光，通过公式推导与方程求解发展推理能力和运算能力，建立模型解决实际问题强化模型意识。如探究3判断双循环总场数合理性，例题处理中途退赛变式，帮助学生提升应用能力，教师可借助分层练习实现高效教学。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时） 1．区分单循环、双循环比赛场次计算逻辑，推导场次等量关系． 2．结合握手、互赠礼物、球赛等同类题型，归纳组合类问题建模思路． 3．建立一元二次方程解决场次问题，结合人数为正整数取舍方程的根． 上一节课我们学习了利用一元二次方程解决传播、增长率问题，大家还记得排球邀请赛的问题吗？ 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行场，所以可列得方程 整理并化简，得 解方程，得(不合题意，舍去). 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛. 这种赛制里两支球队只交手一次，如果改成主客场双循环，两支球队要进行两场比赛，数量关系还一样吗？ 今天我们一起探究单循环、双循环比赛场次问题，归纳这类计数问题的建模方法. 4 探究3：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有支球队参赛，每一支球队都和其余支球队各进行两场比赛 那么比赛的总场数为. 探究3：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 解：假设这个人算得对，即球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 解方程，得 由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 由总场数为可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，...，240，272，306，... 循环比赛总场数（设有n支比赛队伍） 单循环（只进行一次）： 双循环（相互两次）： 例：某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________， 请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； 解：（1）根据题意，乐乐列出的方程应该是：， 即 ， 整理得 ， 解得 ，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； （2）∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得 ，（舍去）， ∴x的值为10． (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 3 15 解：（2）设若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次，若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ （3）角的总数不可能是20；理由如下：若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个，若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个，若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个，归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个，令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 【综合拓展类练习】 实际问题与 一元二次方程 比赛总场次问题 单循环： 双循环： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． B 2．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． A 3．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 10 4．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 5．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； 1．中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． C 2．为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． A 3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为__________________． 4．在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 解：设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛， 由题意得，， 解得：，（舍）， 答：南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛． 5．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ 解：（1）该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； 5．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：，解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． $