第25讲 函数的零点问题 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点问题核心考点，涵盖一个到三个零点、三角函数零点及同构法与取点技巧等考向，按考情分析、知识清单、分层典题、高考真题的逻辑架构整合内容，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战应用，帮助学生系统突破难点。 讲义采用分层典题设计与方法总结结合的创新教学策略，如在两个零点问题中通过极值点偏移训练对称差函数构造，培养学生数学思维；在同构法考点中引导构建函数模型，发展数学语言表达能力。设置基础到综合的梯度练习，配合考法归纳与真题解析，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第25讲 函数的零点问题 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 3 考点一：一个零点问题 3 考点二：二个零点问题 4 考点三：三个零点问题 6 考点四：零点问题之三角函数 7 考点五：零点问题之同构法与取点技巧 7 四、高考真题 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数图象交点个数问题 2024 第18题 解答 17分 直接 利用导数研究函数不等式解集与零点问题 2025 第8题 单选 5分 间接 指对数方程根的大小比较，转化为函数图象交点 2026 — — — — 近三年全国一卷对函数的零点问题考查较为频繁，既有客观题中的图象交点与根的大小比较，也有解答题压轴位置的综合探究，分值占比较大. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查利用数形结合判断图象交点个数、利用导数研究函数单调性进而分析零点个数，以及零点与不等式解集的等价转化. （2） 命题趋势：常与三角函数、指对数函数、抽象函数等深度融合，强调同构变形、数形结合思想的应用，解答题中常结合恒成立问题综合考查. （3） 试题特点：思维跨度大，综合性强.客观题侧重直观想象与代数变形，解答题要求具备严密的逻辑推理能力和分类讨论思想. 3. 备考策略 （1） 扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用零点存在性定理判断零点所在区间. （2） 强化数形结合思想的训练，熟练绘制常见基本初等函数及分段函数的图象，能够将方程根的问题灵活转化为图象交点问题. （3） 注重知识交汇，提升在复杂背景（如三角函数、指对数同构）下剥离出零点本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与分类讨论习惯. 二、知识清单 1. 函数零点的概念与意义 （1） 零点的定义：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点. （2） 零点的意义（三个等价关系）：方程 有实数根等价于函数 的图象与 轴有交点，等价于函数 有零点. （3） 拓展转化：函数 的零点个数等价于方程 的实数根个数，等价于函数 与 图象的交点个数. 2. 零点存在性定理 （1） 定理内容：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根. （2） 唯一性条件：在零点存在性定理的条件下，若函数 在区间 上还是单调函数，则该函数在 内存在且只有一个零点. 3. 函数零点问题的常见题型与求解步骤 （1） 常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. （2） 求解步骤： ① 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与 轴（或直线 ）在某区间上的交点问题. ② 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象. ③ 第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数. 4. 函数零点的求解与判断方法 （1） 直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. （2） 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点. （3） 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 5. 利用导数研究零点问题 （1） 确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象. （2） 方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题. （3） 利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路： ① 利用最值或极值研究. ② 利用数形结合思想研究. ③ 构造辅助函数研究. 三、典题精练 考点一：一个零点问题 考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性 例1.（2025·淮北淮南·二模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数 例2.（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围 例3.（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小 例4.（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　） A. B. C. D. 考法5：零点存在性与不等式证明综合 例5.（2026·石家庄一中·一模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 【考点一 方法总结】 1. 处理含参函数的零点与恒成立问题时，常需对参数进行分类讨论.若一阶导数符号不易判断，可考虑求二阶导数，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，进而找到极值点或最值. 2. 三次函数零点问题，若能猜根或因式分解，优先降次转化为二次方程的根的分布问题，利用判别式求解，避免复杂的导数讨论. 3. 对于单调函数的区间零点问题，直接利用零点存在性定理（端点值乘积小于0）即可转化为解参数不等式. 4. 判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小. 5. 在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值. 考点二：二个零点问题 考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数 例6.（2026·安徽淮北·二模）已知函数 . （1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围. 考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围 例7.（2026·河北金科·2月联考）已知函数 . （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ① 求 的解析式； ② 当 时， 恒成立，求 的取值集合. 考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题 例8.（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和 例9.（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题 例10.（2025·江西新余·二模）已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围. 考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明 例11.（2026·山东聊城·二模）已知函数 . （1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围； （2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围； （3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 . 【考点二 方法总结】 1. 判断函数有两个零点或求参数范围时，核心是求出函数的极值，并令极值与0建立不等关系.同时需注意分析函数在区间端点或无穷远处的极限趋势，确保图象能穿过x轴. 2. 处理切线放缩或恒成立问题时，常构造差函数.若差函数在某点处的值为0，则该点往往是极值点，其导数在该点处必为0，由此可作为必要条件先求出参数的疑似值，再进行充分性检验. 3. 分段函数的零点或方程解的个数问题，最有效的方法是数形结合.通过求导或基本初等函数性质，准确画出各段函数的图象，明确极值点、端点值及渐近线，再平移直线观察交点个数. 4. 当题目中同时出现同底的指数函数和对数函数，且结构相似时，应高度敏感于反函数的对称性.通过对称性找到两个零点（或交点）的代数关系，可将双变量问题转化为单变量函数求最值. 5. 已知函数最值求参数时，先通过导数求出函数的最值表达式，将其转化为关于参数的方程.若方程有唯一解，可再次构造函数，利用导数研究其单调性与极值，寻找满足唯一零点的条件. 6. 双变量不等式证明中，若无法直接消元，常通过等式条件将参数与变量分离，或利用已知的不等式（如对数平均不等式、三角函数放缩）进行放缩替换，将双变量转化为单变量函数的最值问题. 考点三：三个零点问题 考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数 例12.（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围. 考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题 例13.（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是__． 考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题 例14.（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是__. 考法18：三个零点背景下的不等式证明 例15.（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 . （1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值； （2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值； （3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 . 【考点三 方法总结】 1. 处理含公因式的函数零点问题，先提取公因式确定一个显式零点，将问题降阶.对于剩余的方程，优先考虑分离参数法，将参数孤立，转化为研究不含参函数图象与水平直线的交点个数. 2. 对于复合函数的零点问题，换元法是核心技巧.换元后，必须明确新变量的取值范围以及新旧变量的对应关系（如一个t对应几个x），从而将复杂的零点个数转化为简单多项式方程的根的分布. 3. 含有绝对值或分段函数的零点问题，常转化为两个函数图象的交点问题.作图时需准确标出端点和顶点，利用导数求出相切时的斜率作为临界值，结合图象直观确定参数范围. 4. 在证明零点存在且满足特定不等关系时，先利用导数确定函数的单调区间和极值点，结合零点存在性定理确定零点位置.对于零点间的不等式，常利用函数的单调性，将自变量的大小比较转化为函数值的大小比较. 考点四：零点问题之三角函数 考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数 例16.（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 考法20：三角函数零点求和与参数求解 例17.（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称 C. 的一个零点为 D. 在 单调递减 【考点四 方法总结】 1. 三角函数的零点个数问题，若直接解方程困难，常移项构造两个熟悉的三角函数.利用周期性、振幅和特殊点，画出它们在指定区间内的图象，数形结合寻找交点个数. 2. 处理三角函数对称轴重合问题，直接利用公式求出各自的对称轴方程，令其相等并比较系数，求出周期和初相.判断三角函数的性质时，整体代入法是最基本且有效的方法. 考点五：零点问题之同构法与取点技巧 考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式 例18.（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　） A. B. C. 6 D. 考法22：结合导数证明零点差不等式 例19.（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 . （1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数； （2） 已知直线 与曲线 相交于 两点. ① 求 的取值范围； ② 证明：. 考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在 例20.（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 . （1） 设函数 ，讨论 的单调性； （2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围； （3） 求函数 的最小值. 考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数 例21.（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题 例22.（2026·华师附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　） A. B. C. D. 【考点五 方法总结】 1. 当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系. 2. 极值点偏移或双零点不等式证明中，常需证明两根之和小于0（或大于0）.一般方法是构造对称差函数，利用导数判断其单调性与符号，进而比较函数值的大小，结合原函数的单调性得出结论. 3. 处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式. 4. 复合方程的零点问题，采用“由外及内”的换元法.先解外层方程确定内层函数的值（即水平直线的高度），再结合内层函数的图象，根据总交点个数逆推外层方程根的分布范围. 5. 遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2.（2024·全国一卷）已知函数 . （1） 若 ，且 ，求 的最小值； （2） 证明：曲线 是中心对称图形； （3） 若 当且仅当 ，求 的取值范围. 3.（2025·全国一卷）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 $第25讲 函数的零点问题 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 3 考点一：一个零点问题 3 考点二：二个零点问题 7 考点三：三个零点问题 12 考点四：零点问题之三角函数 15 考点五：零点问题之同构法与取点技巧 17 四、高考真题 22 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数图象交点个数问题 2024 第18题 解答 17分 直接 利用导数研究函数不等式解集与零点问题 2025 第8题 单选 5分 间接 指对数方程根的大小比较，转化为函数图象交点 2026 — — — — 近三年全国一卷对函数的零点问题考查较为频繁，既有客观题中的图象交点与根的大小比较，也有解答题压轴位置的综合探究，分值占比较大. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查利用数形结合判断图象交点个数、利用导数研究函数单调性进而分析零点个数，以及零点与不等式解集的等价转化. （2） 命题趋势：常与三角函数、指对数函数、抽象函数等深度融合，强调同构变形、数形结合思想的应用，解答题中常结合恒成立问题综合考查. （3） 试题特点：思维跨度大，综合性强.客观题侧重直观想象与代数变形，解答题要求具备严密的逻辑推理能力和分类讨论思想. 3. 备考策略 （1） 扎实掌握利用导数研究函数单调性、极值与最值的基本方法，熟练运用零点存在性定理判断零点所在区间. （2） 强化数形结合思想的训练，熟练绘制常见基本初等函数及分段函数的图象，能够将方程根的问题灵活转化为图象交点问题. （3） 注重知识交汇，提升在复杂背景（如三角函数、指对数同构）下剥离出零点本质的能力，刻意培养严密的逻辑推理与分类讨论习惯. 二、知识清单 1. 函数零点的概念与意义 （1） 零点的定义：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点. （2） 零点的意义（三个等价关系）：方程 有实数根等价于函数 的图象与 轴有交点，等价于函数 有零点. （3） 拓展转化：函数 的零点个数等价于方程 的实数根个数，等价于函数 与 图象的交点个数. 2. 零点存在性定理 （1） 定理内容：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根. （2） 唯一性条件：在零点存在性定理的条件下，若函数 在区间 上还是单调函数，则该函数在 内存在且只有一个零点. 3. 函数零点问题的常见题型与求解步骤 （1） 常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. （2） 求解步骤： ① 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与 轴（或直线 ）在某区间上的交点问题. ② 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图象. ③ 第三步：结合图象判断零点或根据零点分析参数. 4. 函数零点的求解与判断方法 （1） 直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. （2） 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点. （3） 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 5. 利用导数研究零点问题 （1） 确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象. （2） 方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题. （3） 利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路： ① 利用最值或极值研究. ② 利用数形结合思想研究. ③ 构造辅助函数研究. 三、典题精讲 考点一：一个零点问题 考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性 例1.（文档23-17）（2025·淮北淮南·二模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） 0个，理由见解析；（2） 【思路】第一问求导后，二次求导判断一阶导的单调性，进而判断原函数的单调性与零点.第二问恒成立问题，转化为函数最小值大于等于0，对参数a进行分类讨论. 【解析】（1） 当 时，. ∵，当 时，，∴ 在 上单调递减. 又 ， ∴ 在 上恒成立，即 在 上单调递减. 又 ，∴ 在 上没有零点. （2） ①当 时，由（1）知 ，与当 时 矛盾，故 不满足题意. ②当 时，，. 令 ，则 ，∴ 在 上单调递增. （i） 若 ，即 ，则 ，∴ 在 上单调递增，则 ，符合题意. （ii） 若 ，即 ，则存在唯一的 ，使得 . 当 时，，∴ 在 上单调递减；当 时，，∴ 在 上单调递增. ∴，满足题意. ③当 时，，，∴ 在 上单调递减. 又 ，若 ，即 ，则存在 ，使得 ，当 时，，不合题意. 若 ，即 ，则 ，符合题意. 综上， 的取值范围为 . 【规律】处理含参函数的零点与恒成立问题时，常需对参数进行分类讨论.若一阶导数符号不易判断，可考虑求二阶导数，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，进而找到极值点或最值. 考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数 例2.（文档190-7）（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】三次函数只有一个零点，可先尝试因式分解.分解出一个一次因式和一个二次因式后，转化为二次方程无实根或有与一次因式相同的重根. 【解析】由题意知 . ∵ 有且只有一个零点，∴方程 没有实数根，或有两个相等的实数根且根为 . 若方程 没有实数根，则 ，解得 . 若方程 有两个相等的实数根且根为 ，则 且 ，显然不成立. 综上所述， 的取值范围为 . 【规律】三次函数零点问题，若能猜根或因式分解，优先降次转化为二次方程的根的分布问题，利用判别式求解，避免复杂的导数讨论. 考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围 例3.（文档127-4）（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先判断函数在定义域内的单调性，再利用零点存在性定理，即区间端点函数值异号，列出关于参数的不等式求解. 【解析】∵ 在 上单调递增， 在 上单调递减， ∴ 在 上单调递减. ∵ 在 上有零点， ∴，即 ， 即 ，解得 . 【规律】对于单调函数的区间零点问题，直接利用零点存在性定理（端点值乘积小于0）即可转化为解参数不等式. 考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小 例4.（文档207-6）（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分别令三个函数为0，转化为两个基本初等函数图象的交点问题.通过画出指数函数、对数函数与一次函数的图象，利用数形结合确定交点横坐标所在的区间. 【解析】由 ，得 ，即 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 . 由 ，得 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 . 由 ，得 ，解得 . ∴. 【规律】判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小. 考法5：零点存在性与不等式证明综合 例5.（文档183-18）（2026·石家庄一中·一模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） 1个；（2） 【思路】第一问利用二阶导数判断一阶导数单调性，结合端点值异号确定极值点，再由极值符号判断零点个数.第二问恒成立问题，对参数a分类讨论，结合极值点处导数为0的条件进行代换化简. 【解析】（1） 当 时，. ∵，∴ 在 上单调递增. 又 ，， ∴存在唯一的 ，使得 . 当 时，， 在 上单调递减. 当 时，， 在 上单调递增. 又 ，∴. 又 ，∴当 时， 在 上有且只有一个零点. （2） ①当 时，，与当 时 矛盾，故 不满足题意. ②当 时，，. 令 ，则 ，. 记函数 ，，则 . 当 时，，∴ 在 上单调递增. 当 时，，∴ 在 上单调递减. ∴，∴. 又∵ 在 上单调递增，∴，∴ 在 上单调递增. （i） 若 ，则 ，∴ 在 上单调递增，则 ，符合题意. （ii） 若 ，则 ，使得 ，即 ，使得 . ∵，且 在 上单调递增，∴存在唯一的 ，使得 . 当 时，，∴ 在 上单调递减. 当 时，，∴ 在 上单调递增. 其中 ，且 . ∴. ∵，∴. 又∵，∴，∴，满足题意. 结合①②可知，当 时，满足题意. 综上， 的取值范围为 . 【规律】在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值. 【考点一 方法总结】 1. 处理含参函数的零点与恒成立问题时，常需对参数进行分类讨论.若一阶导数符号不易判断，可考虑求二阶导数，利用二阶导数确定一阶导数的单调性，进而找到极值点或最值. 2. 三次函数零点问题，若能猜根或因式分解，优先降次转化为二次方程的根的分布问题，利用判别式求解，避免复杂的导数讨论. 3. 对于单调函数的区间零点问题，直接利用零点存在性定理（端点值乘积小于0）即可转化为解参数不等式. 4. 判断不同方程根的大小关系时，常将方程转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.利用函数的单调性及特殊点（如-1, 0, 1）的函数值，确定交点所在的具体区间，从而比较大小. 5. 在处理复杂的恒成立问题时，若极值点无法显式求出，常利用“隐零点”代换，即利用导数为0的等式将指数或对数式替换为多项式，从而将极值转化为关于隐零点的多项式函数求最值. 考点二：二个零点问题 考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数 例6.（文档25-16）（2026·安徽淮北·二模）已知函数 . （1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【思路】第一问常规求导代入求切线.第二问分离参数或直接求导，判断函数的单调性与极值，要使方程有两个不同根，只需极大值大于0或极小值小于0，并结合端点极限分析. 【解析】（1） 当 时，，，得 ，又 ，∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （2） ，当 时，， 在 上单调递增，方程 至多有一个实根，不符合题意舍去；当 时，令 解得 ，当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减； 时，； 时，.要使方程 有两个不同的根则 ，即 ，∴，即 ，令 ，，故 在 上单调递增，又 ，∴.综上： 的取值范围是 . 【规律】判断函数有两个零点或求参数范围时，核心是求出函数的极值，并令极值与0建立不等关系.同时需注意分析函数在区间端点或无穷远处的极限趋势，确保图象能穿过x轴. 考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围 例7.（文档194-19）（2026·河北金科·2月联考）已知函数 . （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ① 求 的解析式； ② 当 时， 恒成立，求 的取值集合. 【答案】（1） ；（2） ① ；② 【思路】第一问转化为函数存在负值，求出极小值令其小于0即可.第二问求出切线方程后，将不等式恒成立转化为新函数在不同区间上的符号问题，通过求导并对参数分类讨论，寻找满足条件的参数值. 【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .∵对于 ，，对于 ，，∴ 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 有零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 . （2） ① ，，∴ 在 处的切线方程为 ，即 .② 当 时， 恒成立，即当 时，；当 时，.令 ，则 .当 时，，当 时，， 单调递增，∴，不合题意.当 时，令 ，得 或 .若 ，即 ，当 时，， 单调递增，∴，不合题意.若 ，即 或 ，当 时，， 单调递减，∴，不合题意.若 ，即 ，当 时，， 单调递减，∴当 时，；当 时，，符合题意.综上， 的取值集合为 . 【规律】处理切线放缩或恒成立问题时，常构造差函数.若差函数在某点处的值为0，则该点往往是极值点，其导数在该点处必为0，由此可作为必要条件先求出参数的疑似值，再进行充分性检验. 考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题 例8.（文档95-6）（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】分段函数零点问题，先分别求出各段函数的值域和单调性，画出函数的大致图象.将方程g（x）=0转化为f（x）=a，即水平直线与f（x）图象的交点个数问题. 【解析】当 时，，则 ，∴当 时，，函数 在 上单调递增.当 时，，∴当 时，，函数 在 上单调递减；当 时，，函数 在 上单调递增.∴当 时，函数 的取值范围为 .作出 的大致图象，如图所示.由 ，得 ，由图可知，当 时，直线 与 的图象恰有 2 个交点，即 恰有 2 个零点.∴ 的取值范围是 .故选 B. 【规律】分段函数的零点或方程解的个数问题，最有效的方法是数形结合.通过求导或基本初等函数性质，准确画出各段函数的图象，明确极值点、端点值及渐近线，再平移直线观察交点个数. 考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和 例9.（文档93-8）（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】观察两个函数的解析式，发现它们涉及指数函数和对数函数，且底数相同.通过变形找到它们对应的方程，利用反函数图象关于y=x对称的性质，得出两个零点之间的关系，再代入目标式求最值. 【解析】由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，而 的图象与 的图象关于直线 对称，函数 的图象也关于直线 对称，因此点 与点 关于直线 对称，则 ，，而当 时，；当 时，，函数 在 上单调递减，∴.故选 C. 【规律】当题目中同时出现同底的指数函数和对数函数，且结构相似时，应高度敏感于反函数的对称性.通过对称性找到两个零点（或交点）的代数关系，可将双变量问题转化为单变量函数求最值. 考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题 例10.（文档147-18）（2025·江西新余·二模）已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围. 【答案】（1） 见解析；（2） 或 【思路】第一问常规求导判断单调性.第二问将g（x）最小值为0转化为f（x）的最小值等于a^m.由第一问知f（x）的单调性，结合条件构造关于a的新函数，利用导数分析其零点唯一性，从而求出m. 【解析】（1） 由 得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.∴ 在 上单调递减，在 上单调递增. （2） 令 ，由（1）可知， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，∴.依题，存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，∴存在唯一实数 使 .令 ，则 .（i） 当 时， 恒成立，故函数 在 单调递增，又∵，∴存在唯一实数 使得 ，符合题意；（ii） 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，故函数 在 单调递增，在 单调递减，∴，解得 .综上，实数 的取值范围是 或 . 【规律】已知函数最值求参数时，先通过导数求出函数的最值表达式，将其转化为关于参数的方程.若方程有唯一解，可再次构造函数，利用导数研究其单调性与极值，寻找满足唯一零点的条件. 考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明 例11.（文档68-19）（2026·山东聊城·二模）已知函数 . （1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围； （2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围； （3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 . 【答案】（1） ；（2） ；（3） 证明见解析 【思路】第一问求导找极值点，令极小值大于0.第二问转化为导数值乘积小于-1有解.第三问证明双变量不等式，先将等式变形，利用单调性放缩，再构造对数平均不等式相关的函数进行证明. 【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .∵对于 ，，对于 ，，∴ 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 无零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 . （2） 由 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，得 使 .当 ，则 ，不符合题意.当 时， 在 上单调递减.∴ 在 内的值域为 .∴，由题意可得 ，解得 .因此， 的取值范围为 . （3） 设 ，则 .∵，∴.当 时，， 在 上单调递增，不合题意，∴.由 ，得 .设 ，则 .∵，∴ 在 上单调递增.又因 ，∴，∴.∴.设 ，则 .∵当 时，，∴ 在 上单调递减，又∵，∴当 时，.即 .∵，∴，即 .又因 ，∴，∴.又∵，，∴. 【规律】双变量不等式证明中，若无法直接消元，常通过等式条件将参数与变量分离，或利用已知的不等式（如对数平均不等式、三角函数放缩）进行放缩替换，将双变量转化为单变量函数的最值问题. 【考点二 方法总结】 1. 判断函数有两个零点或求参数范围时，核心是求出函数的极值，并令极值与0建立不等关系.同时需注意分析函数在区间端点或无穷远处的极限趋势，确保图象能穿过x轴. 2. 处理切线放缩或恒成立问题时，常构造差函数.若差函数在某点处的值为0，则该点往往是极值点，其导数在该点处必为0，由此可作为必要条件先求出参数的疑似值，再进行充分性检验. 3. 分段函数的零点或方程解的个数问题，最有效的方法是数形结合.通过求导或基本初等函数性质，准确画出各段函数的图象，明确极值点、端点值及渐近线，再平移直线观察交点个数. 4. 当题目中同时出现同底的指数函数和对数函数，且结构相似时，应高度敏感于反函数的对称性.通过对称性找到两个零点（或交点）的代数关系，可将双变量问题转化为单变量函数求最值. 5. 已知函数最值求参数时，先通过导数求出函数的最值表达式，将其转化为关于参数的方程.若方程有唯一解，可再次构造函数，利用导数研究其单调性与极值，寻找满足唯一零点的条件. 6. 双变量不等式证明中，若无法直接消元，常通过等式条件将参数与变量分离，或利用已知的不等式（如对数平均不等式、三角函数放缩）进行放缩替换，将双变量转化为单变量函数的最值问题. 考点三：三个零点问题 考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数 例12.（文档100-15）（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【思路】第一问求导求切线.第二问提取公因式发现x=2是一个零点，从而转化为剩余部分构成的方程有两个不为2的根.分离参数后，构造函数求导画图，观察水平直线与图象的交点. 【解析】（1） 时，，∴，∴，，∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （2） ∵，∴ 是 的一个零点，∵ 恰有三个零点，∴方程 有两个不为 2 的实数根，即方程 有两个不为 2 的实数根，令 ，∴，令 ，得 ，令 ，得 ，∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 ，∴，且 ，∴，且 ，∴ 的取值范围是 . 【规律】处理含公因式的函数零点问题，先提取公因式确定一个显式零点，将问题降阶.对于剩余的方程，优先考虑分离参数法，将参数孤立，转化为研究不含参函数图象与水平直线的交点个数. 考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题 例13.（文档216-14）（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是__． 【答案】 【思路】观察函数解析式，含有e^x，可采用换元法，令t=e^x-1，将原超越函数转化为关于t的二次函数（含绝对值）.结合t的范围，将三个零点问题转化为二次方程根的分布问题. 【解析】设 ，故 ，即 .对函数 ，其函数图象单调递增，且过点 .令 ，故要满足题意，只需 在 内有一个实数根，且另一个根为 0；或 在 内有一个实数根，且在 内也有一个实数根.∴ 或 或 .即 或 或 .解得 . 【规律】对于复合函数的零点问题，换元法是核心技巧.换元后，必须明确新变量的取值范围以及新旧变量的对应关系（如一个t对应几个x），从而将复杂的零点个数转化为简单多项式方程的根的分布. 考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题 例14.（文档124-14）（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是__. 【答案】 【思路】将方程g（x）=0转化为a|x| = f（x）+2，即绝对值函数图象与分段函数图象的交点个数问题.画出分段函数的图象，通过旋转直线y=a|x|，观察交点个数，注意相切时的临界状态. 【解析】由函数 恰有 3 个零点，则方程 ，即 有 3 个不同的实数根，等价于 图象有 3 个交点，.如图由 图象要有 3 个交点，根据图象可知：，当 时，∴，即 .当直线 与 相切时，，设切点为 ，且 ，∴，可得 ，∴，可得 或 （舍），∴可知 . 【规律】含有绝对值或分段函数的零点问题，常转化为两个函数图象的交点问题.作图时需准确标出端点和顶点，利用导数求出相切时的斜率作为临界值，结合图象直观确定参数范围. 考法18：三个零点背景下的不等式证明 例15.（文档286-19）（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 . （1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值； （2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值； （3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 . 【答案】（1） 3；（2） 3；（3） 证明见解析 【思路】第一问利用切线斜率和切点坐标求参数.第二问将恒成立问题转化为求函数最小值，通过求导放缩寻找参数的整数最小值.第三问求导后二次求导，判断一阶导的零点，进而确定极值点和零点，最后通过构造函数证明不等式. 【解析】（1） 由 ，可得 .∵曲线 在点 处的切线方程为 ，∴，解得 . （2） 由 ，且 ，由 ，可得 .当 时，，，不符合，故 .当 时，.当 时，.令 ，可得 .∴ 在 递增，在 递减.又 ，，∴，即 .当 时，可得 ，∴.∴当 时，均有 对 恒成立.综上所述，整数 的最小值为 3. （3） 证明：由 ，可得 .令 ，可得 .当 时， 在 上递增.而 ，，∴存在 ，使得 .∴ 在 单调递减，在 单调递增.又 ，，∴存在 ，使得 .∴ 在 递减，在 递增.∴ 是 在 上的唯一极小值点.此时 ，，∴在 ，即 上存在唯一零点 ，使得 .下证：.∵，∴，又∵ 在 递增，只需证 .∵ 是 的唯一极小值点，可得 ，即 ，可得 .又∵，即 .∵，只需证明：.令 ，其中 ，则 .∴ 在 上单调递增，.∴ 成立，证毕.∴ 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 . 【规律】在证明零点存在且满足特定不等关系时，先利用导数确定函数的单调区间和极值点，结合零点存在性定理确定零点位置.对于零点间的不等式，常利用函数的单调性，将自变量的大小比较转化为函数值的大小比较. 【考点三 方法总结】 1. 处理含公因式的函数零点问题，先提取公因式确定一个显式零点，将问题降阶.对于剩余的方程，优先考虑分离参数法，将参数孤立，转化为研究不含参函数图象与水平直线的交点个数. 2. 对于复合函数的零点问题，换元法是核心技巧.换元后，必须明确新变量的取值范围以及新旧变量的对应关系（如一个t对应几个x），从而将复杂的零点个数转化为简单多项式方程的根的分布. 3. 含有绝对值或分段函数的零点问题，常转化为两个函数图象的交点问题.作图时需准确标出端点和顶点，利用导数求出相切时的斜率作为临界值，结合图象直观确定参数范围. 4. 在证明零点存在且满足特定不等关系时，先利用导数确定函数的单调区间和极值点，结合零点存在性定理确定零点位置.对于零点间的不等式，常利用函数的单调性，将自变量的大小比较转化为函数值的大小比较. 考点四：零点问题之三角函数 考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数 例16.（文档296-7）（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【思路】将方程移项，转化为两个三角函数图象的交点问题.分别确定两个三角函数的周期和振幅，在给定区间内画出它们的大致图象，通过观察交点个数得出结论. 【解析】令 ，即 ，移项可得 .对于 ，其周期 ；对于 ，其周期 .当 时，画出两个函数的图象为： 由图象可以看出，方程 在给定区间 内的解的个数为 6，∴函数 的零点个数为 6. 【规律】三角函数的零点个数问题，若直接解方程困难，常移项构造两个熟悉的三角函数.利用周期性、振幅和特殊点，画出它们在指定区间内的图象，数形结合寻找交点个数. 考法20：三角函数零点求和与参数求解 例17.（文档246-6）（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称 C. 的一个零点为 D. 在 单调递减 【答案】D 【思路】根据两个三角函数图象的对称轴完全相同，列出对称轴的表达式并令其相等，结合参数的范围求出未知参数.然后写出目标函数的解析式，逐项验证周期、对称轴、零点和单调性. 【解析】令 ，则 为 的对称轴方程.令 ，则 为 的对称轴方程.由 与 的对称轴完全相同，则 ，即对称轴为 .∴.且 ，则 .∴，其最小正周期 ，故 也是一个周期，A 对；，故 的图象关于直线 对称，B 对；，当 时，，∴ 的一个零点为 ，C 对；，则 ，显然 在给定区间内不单调，D 错.故选 D. 【规律】处理三角函数对称轴重合问题，直接利用公式求出各自的对称轴方程，令其相等并比较系数，求出周期和初相.判断三角函数的性质时，整体代入法是最基本且有效的方法. 【考点四 方法总结】 1. 三角函数的零点个数问题，若直接解方程困难，常移项构造两个熟悉的三角函数.利用周期性、振幅和特殊点，画出它们在指定区间内的图象，数形结合寻找交点个数. 2. 处理三角函数对称轴重合问题，直接利用公式求出各自的对称轴方程，令其相等并比较系数，求出周期和初相.判断三角函数的性质时，整体代入法是最基本且有效的方法. 考点五：零点问题之同构法与取点技巧 考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式 例18.（文档264-8）（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【思路】分别将两个零点代入对应的方程，通过代数变形，发现两个零点对应的点分别在指数函数和对数函数的图象上，且同时在一个圆上.利用反函数图象的对称性得出两个零点的关系，再用三角换元求最值. 【解析】已知 是 的正零点，，代入 得：，通分整理得：.即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.再代入 （ 是 的正零点）得：，两边平方整理得：，即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.又 与 互为反函数，图象关于直线 对称，且圆 也关于 对称，因此点 关于 的对称点 ，一定在 上，且仍在圆 上.∵ 时 单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点 就是 ，因此：，代入 得：.设 ，代入得：.正弦最大值为 1，因此 的最大值为 6. 【规律】当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系. 考法22：结合导数证明零点差不等式 例19.（文档161-18）（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 . （1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数； （2） 已知直线 与曲线 相交于 两点. ① 求 的取值范围； ② 证明：. 【答案】（1） 1个；（2） ① ；② 证明见解析 【思路】第一问构造函数求导判断单调性，确定交点个数.第二问将交点问题转化为方程有两个根，求出参数范围.证明不等式时，将目标不等式转化为两根之和小于0，利用函数的单调性及构造对称差函数进行证明. 【解析】（1） 解：令 ，则 . 由 ，得 . 当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增. 则 ，从而直线 与曲线 的公共点个数为 1. （2） ① 解：令 ，则 . 由 ，得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增. 则 ，且当 时，，当 时，. ∵直线 与曲线 相交于 两点，∴，得 . 故 的取值范围为 . ② 证明：由题可知 是 的零点，不妨设 ，则 ，. 从而要证 ，只需证 ，即证 . 由①可知 在 上单调递减，则只需证 . ∵，∴只需证 ，即证 . 令 ，则 . ∵，且当仅当 时，等号成立.∴ 在 上恒成立. 则 在 上单调递增，则 . 从而 . ∴. 【规律】极值点偏移或双零点不等式证明中，常需证明两根之和小于0（或大于0）.一般方法是构造对称差函数，利用导数判断其单调性与符号，进而比较函数值的大小，结合原函数的单调性得出结论. 考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在 例20.（文档280-19）（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 . （1） 设函数 ，讨论 的单调性； （2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围； （3） 求函数 的最小值. 【答案】（1） 见解析；（2） ；（3） 0 【思路】第一问常规求导讨论单调性.第二问设出两个切点，分别写出切线方程，比较系数得到关于切点横坐标的方程，转化为新函数与水平直线的交点问题.第三问求导后，利用隐零点代换，结合同构思想求出最小值. 【解析】（1） ，. 当 时，，， 在 上单调递减； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 . ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减. （2） 设公切线 与 相切于点 ，与 相切于点 . 由 得公切线 的方程为 ，整理得 ① 由 得公切线 的方程为 ，整理得 ② 由①②得 ，整理得 . 设 ，则 . ∴，得 或 ；，得 . ∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减. 又 时，， 时，，，. 故要使 有三个不同的根，需 ，即 . 综上可得， 的取值范围为 . （3） ∵，∴. 又∵，∴，∴ 在 上单调递增. 又∵，，∴ 存在唯一零点 ，且 . 故当 时，；当 时，. 即 在 上单调递减，在 上单调递增. ∴ 的最小值为 . ∵，∴. 又∵，令 ，则 . ∵，∴ 在 上单调递增，∴，即 . 故 的最小值 . 【规律】处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式. 考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数 例21.（文档288-8）（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】将复合函数g（x）=0转化为关于f（x）的二次方程.画出f（x）的图象，观察水平直线与f（x）交点个数.要使总共有8个零点，二次方程的两个根必须落在f（x）图象能产生4个交点的区间内，由此列出根的分布不等式. 【解析】作出 的大致图象如下， 设 ，则关于 的方程 有 2 个不同的根 和 ，且关于 的方程 分别有 4 个不同的根. 不妨设 ，易知关于 的方程 的判别式 ，，. （1） 若 ，则 ，∴，且 ，即 ，得 . （2） 若 ，则 ，此时 ，符合题意. 故 ，选 A. 【规律】复合方程的零点问题，采用“由外及内”的换元法.先解外层方程确定内层函数的值（即水平直线的高度），再结合内层函数的图象，根据总交点个数逆推外层方程根的分布范围. 考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题 例22.（文档86-8）（2026·华师附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先判断函数的奇偶性，发现其为偶函数，因此零点关于原点对称.求出x>0时的两个零点，结合等差数列的性质（相邻两项差相等）列出方程，解出参数m. 【解析】函数 ，定义域为 . 又 ，∴函数 为偶函数. 当 时，， 令 ，得 ，显然 ，，解得 或 . 由 有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为 . 因零点成递增等差数列，故排序为 ， 设公差为 ，则：，， 即 ，化简得 ，两边同乘 得 ，故 . 故选：D. 【规律】遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解. 【考点五 方法总结】 1. 当题目中出现结构复杂的指数与对数方程，且难以直接求解时，尝试通过同构变形，将其转化为点在已知曲线（如圆、直线）与指对数函数图象上的交点.利用反函数的对称性寻找变量间的联系. 2. 极值点偏移或双零点不等式证明中，常需证明两根之和小于0（或大于0）.一般方法是构造对称差函数，利用导数判断其单调性与符号，进而比较函数值的大小，结合原函数的单调性得出结论. 3. 处理公切线问题，标准步骤是“设两切点、写两切线、同系数联立”.在求最值遇到无法解出的极值点时，利用导数为0的条件进行整体代换，常结合常见同构形式化简目标式. 4. 复合方程的零点问题，采用“由外及内”的换元法.先解外层方程确定内层函数的值（即水平直线的高度），再结合内层函数的图象，根据总交点个数逆推外层方程根的分布范围. 5. 遇到绝对值函数或对数平方等具有对称性的函数零点问题，优先考察函数的奇偶性.利用对称性可大幅减少计算量，将四个零点简化为求正半轴的两个零点，再结合等差数列定义求解. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当 时，曲线 与 的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】∵函数 的的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ，∴在 上函数 有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. 2.（2024·全国一卷）已知函数 . （1） 若 ，且 ，求 的最小值； （2） 证明：曲线 是中心对称图形； （3） 若 当且仅当 ，求 的取值范围. 【答案】（1） -2；（2） 证明见解析；（3） 【解析】（1） 时，，其中 ，则 ，∵，当且仅当 时等号成立，∴，而 成立，∴ 即 ，∴ 的最小值为-2. （2） 的定义域为 ，设 为 图象上任意一点， 关于 的对称点为 ，∵ 在 图象上，∴，而 ，∴ 也在 图象上，由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 . （3） ∵ 当且仅当 ，∴ 为 的一个解，∴ 即 ，先考虑 时， 恒成立.此时 即为 在 上恒成立，设 ，则 在 上恒成立，设 ，则 ，当 ，，∴ 恒成立，∴ 在 上为增函数，∴ 即 在 上恒成立.当 时，，∴ 恒成立，∴ 在 上为增函数，∴ 即 在 上恒成立.当 ，则当 时，，∴在 上 为减函数，∴，不合题意，舍；综上， 在 上恒成立时 .而当 时，由上述过程可得 在 递增，∴ 的解为 ，即 的解为 . 3.（2025·全国一卷）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设 ，∴.根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数 的图象，以上方程的根分别是函数 的图象与直线 的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着 的变化可能出现：，，，.故选B. 第 2 页，共 17 页 $