2.2 基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理重要不等式与基本不等式的条件、取等号条件，强调“一正二定三相等”使用原则，结合调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数关系等常用结论，构建从概念到应用的递进学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，从概念理解到求最值的直接法、拼凑法、“1”的妙用等，每种方法配方法总结与实例，培养学生数学思维（推理、运算）和数学语言表达能力。课中助力教师系统授课，课后练习帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

基本不等式 知识点一：基本不等式 不等式 条件 取等号的条件 重要不等式 a2+b2≥2ab Ha、beR 当且仅当a=b时取等号 基本不等式 a+bz√ab a>0,b>0 当且仅当a=b时取等号 a+bzNab 使用基本不等式 需注意“一正二定三相等”，即： 1.a、b均大于0： 0 2.①若y=PP为定值)，则当x=y时，则x+y有最小值2P: CD=ab为几何平均数 0C=学为算术平均数 1s2 ②若x+y=S(S为定值)，则当x=y时，则y有最大值4°： 3.注意等号成立的条件是否满足 知识点二：常用结论 内容 结论1 x+≥2 若x>0,则x (当且仅当x=1时取“=) 结论2 x+1s-2 若x<0,则x (当且仅当x=-1时取“=) 结论3 a+b≥2 若ab>0,则ba2(当且仅当a=b时取“=) 结论4 若a,b∈R,则 bs(4+乌≤02+b2 2 2(当且仅当a=b时取“=) 2,≤Vab≤a+b≤ a2+b2 结论5 1+1 2 \2 若a,b∈R,则a+6 (当且仅当a=b时取“=) [调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数] 题型一对基本不等式的里解 例1.下列不等式一定成立的是() A.3x+,≥6 2x B3+726 1 3r-+2226 1 3+*2+26 例2.下列不等式恒成立的是( ) 1 A.x+-≥2 B.a+b≥2√ab D.d2+bz2ab 题型二利用基本不等式求最值 类型一直接法求最值 2.5 例3.若x>0,y>0,w=10,则xy的最小值为一一一 例4.若a>0,b>0,且a+4b=1,则a2+16b2的最小值是 例5.若实数a,b满足a+b=1,则ab的最大值为( 1 A.2 B.1 C. D.4 例6.已知a>0'b>0'ab=1'且m=6+，n=a41 b则 的最小值是() m+n A.3 B.4 C.5 D.6 2 1 例7.设x>0,y>0,则x+4+灯 的最小值为一 例8.已知x>0,y>0,且x+2y=1,则2+4的最小值是 类型二拼凑法求最值 必备技巧通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面 的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形： (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提， 例9若>-2则x+ x+2的最小值为 例10函数3x+2+4 +1（x>0)的最小值为 例11若0<x<3,则x1-3)取最大值时的值是， 最大值为一， 例12若0<x<2,求'=V6-30的最大值 3 例13当>1时，不等式+一≥a恒成立，则实数a的取伯范用是() A.（-0,2] B.[2,+oo) C.[3,+o) D.(-03] 类型三"1”的炒用(1)：乘"1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用 基本不等式的条件，即积为定值。 主要解决形如“已知化为常数，求+号的景位”与“已知+台化为常数，求灯的最位” 的问题。 先格：+装化为只+) b x+y 1,再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件。 92 例14.若x>0,y>0,且x+2y=5,则x+的最小值为 例15.已知a>0,b>0,ab 名-2，则a+6的品小值为. 例16设0y>0,士2=2，则x+的最小值为（） 1 A.2 B.22 C. D.3 例17.已知a>0,b>0,且a+b=ab,则2ab-a+7b的最小值是（) 4 A.6 B.9 C.16 D.19 0<a< 114 例18.已知 2,则2a'1-2a的最小值是（) A.6 B.8 C.4 D.9 例19.已知 xe0子，则x+-3r的小值具 类型四"1”的炒用(2)：“1”的代换 1 a 例20.已知a>0:b>0:a+b=1,则a+6的最小值为一 2,1 例21.已知实数x,y>0满足x+y=1,则x+w的最小值为（ A.6 B.4+2W2 C.4+2W3 D.8 ,y2+x 例22已知x>0,y>0:且2x+y=1,则y的最小值为（ 5 A.4 B.4V2 C.4V2+1 D.22+1 类型五二次（一次）比一次（二次)型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例如：y=x+2-x+2x+1-=x+1+2≥4(0) xx y=2x+各=2(-0+2导+名=2++2+名 1 1(a>0,c>0) 基本模型：ax2+bx+caK+b+S2Vac+b ,当且仅当x= C时等号成立 X a 3t+3 例23.已知1>0：则21+ +t的最小值为 例24.求下列函数的最小值 （1)y=++x>0: a -(x∈R) 9y242x>0 6 a-1 例25已知a>1,则a2-3a+11的最大值为-一一 类型六换元法 x+y 例26设x,y是正实数，且x+y=1,则x+2十)y中1的最大值是 1,21 例27.已知实数a>0,b>2:且a+十6-23，则2a+b的最小值是 课后练习 1.若正实数x,y满足2x+y=1.则xy的最大值为（) 1 A.4 B.8 C.9 D.16 1 x>2'则函数y=x+ 2.已知 2(x-2)2的最小值是( A.2√2 B.2√2-2 C.2 D.2 3.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy() A.有最大值为1B.有最小值为1 C.有最大值为2 D.有最小值为2 生已知实数x>3,则4x+9 +x-3的最小值是() 7 A.24 B.12 C.6 D.3 5.若0<r<4,求y=Vx8-2 的最大值， 6.(1)已知x>0'y>0'xy 2,求x+y的最办： 1 2)已知0<x<2,求y=xl-2x)的最大值 12 7.已知x>0'y>0:2x+y=2,则+的最小值是( A.1 B.2 C.4 D.6 11=9 8.已知x,y>0,且xy,求2x+4y的最小值 14 9.当0<x<1时，x+1-x的最小值为() A.0 B.9 C.10 D.15 x+1 10.若x>-1,则2x2+4x+4的最大值为一 1 1 11.己知正实数x,y满足4x+3y=2,则2x+13y+2的最小值为（) 1,V2 1.2 1+② B.33 C.23 D.22 1,1 12.若正实数a,b满足a+b=1则a+2b+2a+b最小值为 18.若x>1,则函数y=x+是的最小值为（) A.4B.5C.7 D.9 x2+4 14.2+的最小值是.一 9 基本不等式 知识点一：基本不等式 不等式 条件 取等号的条件 重要不等式 当且仅当时取等号 基本不等式 当且仅当时取等号 使用基本不等式需注意“一正二定三相等”，即： 1.均大于0； 2.①若，则当时，则有最小值； ②若，则当时，则有最大值； 3.注意等号成立的条件是否满足. 知识点二：常用结论 内容 结论1 若，则（当且仅当时取“=”） 结论2 若，则（当且仅当时取“=”） 结论3 若，则（当且仅当时取“=”） 结论4 若，则（当且仅当时取“=”） 结论5 若，则（当且仅当时取“=”） [调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数] 题型一　对基本不等式的理解 例1.下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 例2.下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 题型二 利用基本不等式求最值 类型一 直接法求最值 例3.若，，则的最小值为______． 【答案】2 例4.若，，且，则的最小值是________ 【答案】【详解】，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值. 例5.若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】∵，， ∴，即，当且仅当时等号成立， ∴． 故选：D． 例6.已知，，，且，，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由知，，，， 当且仅当时取等号.故的最小值为4故选：B 例7.设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为 　　． 【答案】4 【解析】解：x+4y≥24（当且仅当x＝4y时，等号成立）， 424（当且仅当4时，等号成立）， 故x+4y4（当且仅当4且x＝4y，即x＝1，y时，等号成立）， 故x+4y的最小值为4， 故答案为：4． 例8.已知，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立 类型二 拼凑法求最值 必备技巧 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 例9.若，则的最小值为 . 【答案】0【解析】由，得， 所以2 -2=0， 当且仅当即时等号成立. 例10.函数（）的最小值为 ． 【答案】【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 例11.若，则取最大值时的值是______，最大值为______． 【答案】 例12.若，求的最大值. 【答案】 例13.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式恒成立，对均成立．由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3， ，则实数a的取值范围是．故选D． 类型三 “1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”与“已知=t(t为常数),求x+y的最值”的问题。 先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 例14.若，且，则的最小值为 ． 【答案】5【解析】因为，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5．故答案为：5． 例15.已知，，则的最小值为_______________； 【答案】 【解析】采用常数1的替换，，当即时等号成立，所以答案为． 例16.设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 例17.已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是.故选：C. 例18.已知，则的最小值是（　　） A．6 B．8 C．4 D．9 【解题思路】根据a给定的范围可判定各因子的符号，然后利用“1＝2a+（1﹣2a）”将转化成（）[2a+（1﹣2a）]，最后利用基本不等式即可求出所求． 【解答过程】解：因为，所以2a＞0，1﹣2a＞0， （）[2a+（1﹣2a）]＝1+459， 当且仅当，即a时取等号， 所以的最小值是9． 故选：D． 例19.已知，则的最小值是______. 【答案】 类型四 “1”的妙用（2）：“1”的代换 例20.已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值． 【详解】依题意． 当且仅当时等号成立． 例21.已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可． 【详解】由条件可得 ． 当且仅当，即时等号成立 例22.已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 类型五 二次（一次）比一次（二次）型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例如：（x>0） 基本模型：，当且仅当时等号成立 例23.已知，则的最小值为 . 【答案】【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 例24.求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 例25.已知，则的最大值为______. 【答案】 类型六 换元法 例26.设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，∴， 即的最大值是. 例27.已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 课后练习 1.若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知，则函数的最小值是(       ) A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题设，，∴，当且仅当时等号成立，∴函数最小值为.故选D. 3.已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【解析】，，且，（1）， 当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：． 4.已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【解题思路】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 5.若，求的最大值. 【答案】 6. (1)已知，，，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 【解析】(1)，， 当且仅当时，等号成立 当时，的最小值为 (2)，求 当且仅当即时，等号成立 当时，的最大值为 7．已知，，，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号； 故选：C 8.已知，且，求的最小值. 【答案】 9.当0＜x＜1时，的最小值为（　　） A．0 B．9 C．10 D．15 【解题思路】由0＜x＜1可得1﹣x＞0，所以（）（1﹣x+x）＝55+2，再进一步分析即可得出的最小值． 【解答过程】解：由0＜x＜1，得1﹣x＞0，所以（）（1﹣x+x）＝55+29， 当且仅当，即x时等号成立，所以的最小值为9． 故选：B． 10.若，则的最大值为______. 【答案】 11.已知正实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 12．若正实数满足，则最小值为________ 【答案】 【详解】由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值 13．若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 14．的最小值是______. 【答案】 【详解】，当且仅当时，即时取等号 学科网（北京）股份有限公司 $