4.1.1 实数指数幂及其运算 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学课件聚焦实数指数幂及其运算，通过毕达哥拉斯学派“第一次数学危机”的历史情境导入，从边长为1的正方形对角线长度问题引出√2，进而过渡到n次方根的定义，搭建从平方根到根式、分数指数幂的知识支架。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心素养，通过“情境导入—知识点梳理—典型例题—通性通法”的教学链条，如例1根式化简、例3指数幂运算等实例，培养学生抽象能力和运算能力。通性通法总结帮助学生形成解题思维，既利于学生夯实基础，也为教师提供系统教学资源。

4.1.1　 实数指数幂及其运算 新课程标准解读 核心素养 通过对有理数指数幂 （ a ＞0，且 a ≠1； m ， n 为 整数，且 n ＞0）、实数指数幂 ax （ a ＞0，且 a ≠1； x ∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指 数幂的运算性质 数学抽象、 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派， 毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石. 而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰. 目录 数学·必修第二册（B版） 对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题： 边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用 整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发 现导致了数学史上第一个无理数的诞生.正因为这一发现，却在当时 的数学界掀起了一场巨大的风暴.史称“第一次数学危机”.希帕索斯 也因发现了 ，撼动了学派的基石而被扔进大海. 【问题】　若 x2＝3，这样的 x 有几个？它们叫作3的什么？怎样表 示？  　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 目录 数学·必修第二册（B版） 知识点一　根式 1. n 次方根 （1）定义：给定大于1的正整数 n 和实数 a ，如果存在实数 x ，使 得 xn ＝ a ，则 x 称为 a 的 n 次方根； （2）表示： n 为奇数 n 为偶数 a ∈R a ＞0 a ＝0 a ＜0 x ＝ ⁠ ⁠ ⁠ 不存在 　 ± 　 0　 目录 数学·必修第二册（B版） 2. 根式 （1）当 有意义时， 　 　称为根式， ⁠称为根指 数， 称为被开方数； （2）性质：①（ ） n ＝ ；② ＝ 　 n 　 a 　 a 　 目录 数学·必修第二册（B版） 【想一想】 1. 对于式子 中 a 一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？ 提示：不一定是非负数，其范围由 n 的奇偶决定；当 n 为奇数时， a ∈R；当 n 为偶数时， a ≥0. 2. （ ） n 与 中的字母 a 的取值范围是否一样？ 提示：取值范围不同.式子（ ） n 中隐含 a 是有意义的，若 n 为 偶数，则 a ≥0，若 n 为奇数， a ∈R；式子 中， a ∈R. 目录 数学·必修第二册（B版） 知识点二　指数幂及其运算性质 1. 分数指数幂的意义 正分数指数幂 n 为正整数， 有意义，且 a ≠0时，规定 ＝ ⁠ 正分数 ， ＝ 　（ ） m 　＝ 　 　 负分数指数幂 s 是正分数， as 有意义且 a ≠0时，规定 a－ s ＝ ⁠ 2. 无理数指数幂 当 a ＞0且 t 是无理数时， at 是一个确定的 ⁠. 　 （ ） m 　 　 　 实数　 目录 数学·必修第二册（B版） 3. 实数指数幂的运算法则（ a ＞0， b ＞0， r ， s ∈R） （1） aras ＝ ；（2）（ ar ） s ＝ ；（3）（ ab ） r ＝ ⁠. ar＋ s 　 ars 　 arbr 　 目录 数学·必修第二册（B版） 提醒　对分数指数幂的进一步理解：（1）分数指数幂是指数概念的 又一推广，分数指数幂 不可理解为 个 a 相乘，它是根式的一种新 的写法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量， 只是形式不同而已； （2）指数的概念扩充到有理数指数后，当 a ≤0时， 有时有意 义，有时无意义.如（－1 ＝ ＝－1，但（－1 就 不是实数了.为了保证在 取任何有理数时， 都有意义， 所以规定 a ＞0； （3）注意幂指数不能随意约分.如（－4 ＝ ＝[（－4）2 ＝2，而（－4 ＝ 在实数范围内无意义. 目录 数学·必修第二册（B版） 1. 若（1－2 x 有意义，则 x 的取值范围是（　　） A. （－∞，＋∞） B. ∪ C. D. 解析： 　因为（1－2 x ＝ ，则1－2 x ＞0，解得 x ＜ .故选D. 目录 数学·必修第二册（B版） 2. 若 m ＝ ， n ＝ ，则 m ＋ n 的值为 （　　） A. －7 B. －1 C. 1 D. 7 解析： 　 m ＋ n ＝π－3＋｜π－4｜＝π－3＋4－π＝1，故选C. 目录 数学·必修第二册（B版） 3. 求值：（1） ＝ ；（2）2 ＝ 　 　；（3）π0＋2－2× ＝ 　 　. 4　 　 　 目录 数学·必修第二册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 根式的概念与性质 【例1】　（1）若 x ＜ ，则 ＝（　B　） A. 3 x －1 B. 1－3 x C. （1－3 x ）2 D. 非以上答案 解析： 因为 x ＜ ，所以1－3 x ＞0， 所以 ＝ ＝｜1－3 x ｜＝1－3 x . B 目录 数学·必修第二册（B版） （2）若81的平方根为 a ，－8的立方根为 b ，则 a ＋ b ＝ ⁠ ⁠； 解析： 因为（±9）2＝81，所以81的平方根为±9，即 a ＝ ±9，又（－2）3＝－8， 所以－8的立方根为－2，所以 b ＝－2， 所以 a ＋ b ＝－9－2＝－11或 a ＋ b ＝9－2＝7. （3）若 有意义，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析： 要使 有意义，则 a －3＞0，即 a ＞3. －11或 7　 （3，＋∞）　 目录 数学·必修第二册（B版） 通性通法 1. 根式概念问题应关注的两点 （1） n 为奇数时，对任意实数 a 都存在 n 次方根； （2） n 是偶数时，只有 a ≥0时才有 n 次方根，表示为± . 目录 数学·必修第二册（B版） 2. 根式化简应遵循的三个原则 （1）被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数是带分数的要化成假分数； （3）被开方数中不能含有分母；使用 ＝ · （ a ≥0， b ≥0）化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的 形式. 目录 数学·必修第二册（B版） 【跟踪训练】 1. 的值是（　　） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 81 解析： 　 ＝｜－3｜＝3. 2. 若 x6＝2 024，则 x ＝ ⁠. 解析：因为 x6＝2 024，所以 x ＝± . ± 　 目录 数学·必修第二册（B版） 题型二 根式与分数指数幂的互化 【例2】　用根式或分数指数幂表示下列各式： ， （ a ＞0）， ， （ a ＞0）， （ a ＞0）. 解： ＝ ； ＝ （ a ＞0）； ＝ ＝ a2； ＝ ＝ （ a ＞0）； ＝ ＝ ＝ （ a ＞0）. 目录 数学·必修第二册（B版） 通性通法 根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数 分数指数的分母，被开方数（式）的指 数 分数指数的分子； （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后 利用有理数指数幂的运算性质解题. 目录 数学·必修第二册（B版） 【跟踪训练】 1. 化简 的结果是（　　） A. B. C. D. x6 解析： 　利用分数指数幂与根式的互化可得 ＝ .故选A. 目录 数学·必修第二册（B版） 2. 下列各式的运算，正确的是（　　） A. － ＝（－ x B. ＝－ C. ＝ D. ＝ 目录 数学·必修第二册（B版） 解析： 　对于A，－ ＝－ ；对于B， ＝ ＝ ；对于 D，等式成立的条件是底数大于等于零.故选项A、B、D均错误， 故选C. 目录 数学·必修第二册（B版） 题型三 指数幂的运算 角度1　利用分数指数幂的运算性质化简与求值 【例3】　计算下列各式： （1） ÷ ； 解： ÷ ＝[4×（－2）÷（－1）] ＝8 . 目录 数学·必修第二册（B版） （2） － －（ －1）0＋（－1）2 025＋2－1. 解： － －（ －1）0＋（－1）2 025＋2－1 ＝ － －1－1＋ ＝ － － ＝－ . 目录 数学·必修第二册（B版） 通性通法 1. 指数幂运算的解题通法 （1）有括号的先算括号内的，无括号的先做指数运算，再乘除， 最后计算加减； （2）负指数幂一般化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数 是带分数，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示， 运用指数幂的运算性质来解答. 目录 数学·必修第二册（B版） 2. 分数指数幂的运算式化简结果的一个要求和两点注意 目录 数学·必修第二册（B版） 【跟踪训练】 1. 化简 的结果是（　　） A. － B. － C. － D. － 解析： 　由题意得 ＝－ ＝ ＝－ ＝ － .故选B. 目录 数学·必修第二册（B版） 2. · （ a ＞0， b ＞0）＝ 　 　. 解析：原式＝ ＝ . 　 目录 数学·必修第二册（B版） 角度2　指数式的条件求值问题 【例4】　已知 ＋ ＝ ，求下列各式的值： （1） a ＋ a－1；（2） a2＋ a－2. 解：（1）将 ＋ ＝ 两边平方， 得 a ＋ a－1＋2＝5， 即 a ＋ a－1＝3. （2）将 a ＋ a－1＝3两边平方， 得 a2＋ a－2＋2＝9， 即 a2＋ a－2＝7. 目录 数学·必修第二册（B版） 【母题探究】 （变设问）在例4条件下， a2－ a－2＝ ⁠. 解析：令 y ＝ a2－ a－2，两边平方，得 y2＝ a4＋ a－4－2＝（ a2＋ a－2）2 －4＝72－4＝45，∴ y ＝±3 ，即 a2－ a－2＝±3 . ±3 　 目录 数学·必修第二册（B版） 通性通法 解决条件求值问题的一般方法 　　对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求 值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当 地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入 法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值常用的变形公 式如下（ a ＞0， b ＞0）： （1） a ±2 ＋ b ＝（ ± ）2； （2） a － b ＝（ ＋ ）（ － ）； （3） ＋ ＝（ ＋ ）（ a － ＋ b ）； （4） － ＝（ － ）（ a ＋ ＋ b ）. 目录 数学·必修第二册（B版） 【跟踪训练】 　若 ， 为方程 x2－3 x ＋ a ＝0的两根，则 ＝ 　 　. 　 解析：因为 ， 为方程 x2－3 x ＋ a ＝0的两根，所以 ＋ ＝ 3，所以 ＋ ＝（ ＋ ）·（ x ＋ x－1－1）＝（ ＋ ）·［（ ＋ ）2－3］＝3×（32－3）＝18， x2＋ x－2＝（ x ＋ x－1）2－2＝［（ ＋ ）2－2］2－2＝（32－2）2－2＝47，所以 ＝ ＝ . 目录 数学·必修第二册（B版） 1. 化简 的结果是（　　） A. B. C. 3 D. 5 解析： 　 ＝ ＝ ＝ ，故选B. 目录 数学·必修第二册（B版） 2. 化简 （2 x ＞1）的结果是（　　） A. 1－2 x B. 0 C. 2 x －1 D. （1－2 x ）2 解析： 　∵2 x ＞1，则1－2 x ＜0，∴ ＝｜1－2 x ｜ ＝2 x －1.故选C. 目录 数学·必修第二册（B版） 3. 计算（2 a－3 ）·（－3 a－1 b ）÷（4 a－4 ）＝（　　） A. － b2 B. b2 C. － D. 解析： 　原式＝ ＝－ b2. 目录 数学·必修第二册（B版） 4. （多选）下列各式错误的是（　　） A. ＝－3 B. ＝ a C. ＝2 D. ＝2 解析：ABD　 ＝3，A错误； ＝｜ a ｜，B错误； ＝2，C正确； ＝－2，D错误.故选A、B、D. 目录 数学·必修第二册（B版） 5. 计算6 － ＋（2－3 ＋16－0.75＝ 　－ 　. 解析：由题得6 ＝ ＝ ，（2－3 ＝2－4＝ ，16－0.75＝1 ＝ ＝ ＝ ，原式＝ －1＋ ＋ ＝－ . － 　 目录 数学·必修第二册（B版） 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $