专题06位置与坐标暑假预习讲义2026-2027学年北师大版八年级数学上册.

专题06位置与坐标 暑假预习讲义 ✺知识框架 位置确定基础：平面内确定位置的方法、有序数对的概念与应用 平面直角坐标系：坐标系构成、坐标轴与象限、原点特征、点与坐标的一一对应关系 点的坐标特征：各象限内点、坐标轴上点、特殊直线上点的坐标规律 坐标与轴对称变换：关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律、图形轴对称的坐标应用 ✅本章遵循基础定位—坐标系建模—坐标规律—图形变换的递进学习逻辑。以有序数对定位为基础，搭建平面直角坐标系模型，归纳各类特殊点的坐标判定规律；通过坐标轴轴对称变换，实现静态识点到动态图形变换的进阶，是数形结合思想的入门核心，也是后续函数、几何综合学习的必备基础。 ✺学习目标 基础认知：1.理解有序数对的定义与有序性，掌握平面内确定物体位置的基本方法，能规范运用有序数对表示平面内点的位置。 2. 熟知平面直角坐标系的完整组成要素，明晰横轴、纵轴、原点、象限的定义与划分规则，能够规范绘制标准平面直角坐标系。 3.熟练掌握各象限内、坐标轴上、平行于坐标轴直线及象限角平分线上点的坐标特征，实现“由坐标判位置、由位置写坐标”的双向转化。 4.牢固熟记点关于x轴、y轴对称的坐标变换规律，可快速求解对称点坐标，能依托坐标规律完成简单平面图形的轴对称绘制与变换。 思维素养：1.经历从实际定位问题抽象为平面直角坐标系的建模过程，建立数形结合核心数学思想，培养几何直观与图形认知能力。2.通过自主探究坐标特征、对称变换规律，提升观察归纳、逻辑推理、数形转化的能力，养成规范解题、精准判图的学习习惯。 ✺题型归纳 题型1.用有序数对表示位置 题型2.用有序数对表示路线 题型3.用方向角和距离确定物体的位置 题型4.根据方位描述确定物体的位置 题型5.写出直角坐标系中点的坐标 题型6.求点到坐标轴的距离 题型7.判断点所在的象限 题型8.已知点所在的象限求参数 题型9.坐标系中描点 题型10.已知两点坐标求两点距离 题型11.实际问题中用坐标表示位置 题型12.点坐标规律探索 题型13.中点坐标 题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型15.由平移方式确定点的坐标 题型16.坐标系中的对称 题型17.坐标与图形变化——轴对称 题型18.坐标系中的动点问题（不含函数） 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、平面内位置的确定与有序数对 1.定位核心原理：平面是二维平面，仅依靠一个数据无法精准确定位置，确定平面内任意一个物体的位置，必须需要两个独立数据。 2.有序数对标准定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，称为有序数对，记作(a,b)。 3. 核心特征 有序性：数对中两个数字顺序固定、不可颠倒，前数对应横向位置，后数对应纵向位置；若a≠b，则(a,b)与(b,a)代表平面内两个完全不同的位置。 唯一性：平面内一个有序数对唯一对应一个点，一个点唯一对应一个有序数对。 4.常见定位方式：行列定位法（教室座位、棋盘位置）、方位角+距离定位法（平面点位定位），均需两个数据完成定位。 知识点二、平面直角坐标系的构成 1.标准定义：在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 2.四大组成要素 横轴（x轴）：水平方向的数轴，向右为正方向。 纵轴（y轴）：竖直方向的数轴，向上为正方向。 原点：x轴与y轴的公共交点，坐标为O(0,0)。 单位长度：同一坐标系中，x轴、y轴的单位长度保持一致。 3.象限划分 横轴与纵轴将平面分割为四个区域，依次定义为第一、二、三、四象限（如下图）； 特别注意：x轴、y轴上的所有点，均不属于任何一个象限， 第一象限：平面右上方区域；第二象限：平面左上方区域 第三象限：平面左下方区域；第四象限：平面右下方区域 知识点三、点的坐标的意义与读写 1.坐标定义：对于平面内任意一点P，分别过点P 向x轴、y轴作垂直垂线，垂足在x轴上对应的数为点的横坐标，垂足在y轴上对应的数为点的纵坐标，该点的坐标统一记作 P(a,b)。 2.坐标书写与读写规范 横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，整体用括号包裹。 读法规范：先读横坐标，后读纵坐标，例：(2,3) 读作：点二、三。 3.点与坐标的一一对应关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的关系。任意一个点唯一对应一组有序实数，任意一组有序实数唯一对应平面内一个点。 知识点四、各类点的坐标特征 1. 各象限内点的坐标符号规律 第一象限：(+,+)，横坐标为正，纵坐标为正 第二象限：(-,+)，横坐标为负，纵坐标为正 第三象限：(-,-)，横坐标为负，纵坐标为负 第四象限：(+,-)，横坐标为正，纵坐标为负 2.坐标轴上点的坐标特征 x轴上的点：纵坐标恒为0，坐标通用形式 (x,0)（x为任意实数） y轴上的点：横坐标恒为0，坐标通用形式 (0,y)（y为任意实数） 原点：横、纵坐标均为0，坐标为 (0,0)，同时属于x轴和y轴 3.特殊直线上点的坐标特征 平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等、横坐标不等，直线水平分布 平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等、纵坐标不等，直线竖直分布 4.象限角平分线上的点 一、三象限角平分线：横、纵坐标数值相等，满足 x=y 二、四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数，满足x=-y 5.点到坐标轴的距离 设平面内任意一点 P(x,y)： 点 P到x轴的距离：等于纵坐标的绝对值，即 |y|； 点 P到y轴的距离：等于横坐标的绝对值，即 |x|。 知识点五、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） 点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） 点P与点p’关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） ✺题型精讲 题型1.用有序数对表示位置 1．根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．横店电影城1号厅6排 B．曲靖市罗平县 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据平面内确定一个具体位置需要两个独立的有序数据逐项进行判断． 【详解】解：平面内确定具体位置需要两个有序的唯一数据， A 选项，横店电影城1号厅6排，缺少具体座位号，无法确定具体位置； B 选项，曲靖市罗平县是一个大范围区域，无法确定具体位置； C 选项，北纬，东经，两个数据可以唯一确定具体位置； D 选项，南偏西，缺少距离信息，无法确定具体位置． 2．如图，雷达探测器在一次探测中，发现两个目标，，若目标的位置可以用来表达，那么目标B的位置可以表示为______．    【答案】 【分析】根据题意可知表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【详解】解：由图可得目标在自内向外第4环上，角度为， 因此目标的位置可以表示为． 3．如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于平面直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角那个棋子的位置可以表示为．请选择图中的几个棋子并写出它们的“位置”(至少写出四个)． 【答案】如图， ， ， ， ，（答案不唯一）． 【分析】据题目给出的示例可得位置表示规则：位置的第一个数是棋子对应横向上方的列数字，第二个数是棋子对应纵向左侧的行序数汉字，按照规则写出所选棋子的位置即可． 【详解】略 题型2.用有序数对表示路线 1．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 3．如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)从点到点应记为． 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负可得出结论； （2）根据题意：，如图1； （3）令与对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】（1）解：图中； 故答案为：； （2）解：点的位置如图所示． （3）解：，， ，， 从点到点应记为． 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点，解决本题的关键是理解题意，明确每一个坐标的对应点． 题型3.用方向角和距离确定物体的位置 1．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 【答案】B 【分析】确定观测点为学校，明确上北下南左西右东的方位规则，根据学校处正西与正北方向夹角为，进而计算出正北方向与小明家所在方向的夹角，结合已给出的两点距离，匹配对应的方位描述选项即可． 【详解】解：由图可知，小明家在学校的南偏西方向，小明家所在方向与正南方向向西的夹角为， 因此，小明家在学校南偏西，处． 2．据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 【答案】 南 西 3 【分析】根据方向角的定义，以天璇为观测点建立方向坐标系，结合图形中的角度标注确定天玑相对于天璇的方向，根据比例尺和线段上的刻度确定两点间的距离． 【详解】解：由图可知，方向标指示向上为北，则向下为南，向左为西，向右为东， 以天璇为观测点，天玑位于天璇的左下方，即南偏西方向， 图中标注的角表示天璇与天玑连线与正南方向的夹角， ∴方向为南偏西， 观察天璇与天玑之间的线段，该线段被短竖线分为段，根据右下角比例尺可知每段长度为， ∴天璇与天玑之间的距离为， 综上所述，天玑在天璇的南偏西方向处． 故答案为：南，西，3． 3．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【答案】(1)中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； (2)见解析 【分析】（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案； （2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图形得： 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）解：如图所示： ． 题型4.根据方位描述确定物体的位置 1．下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 【答案】B 【分析】平面内确定一个物体的位置需要两个独立的有序信息，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A、电影院5排8号，有排数和号数两个信息，可以确定位置； 选项B、只有方向“南偏西”，没有距离信息，缺少确定位置的必要条件，不能确定物体位置； 选项C、无终东街1586号，有街道名称和门牌号两个信息，可以确定位置； 选项D、东经，北纬，有经度和纬度两个信息，可以确定位置． 2．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 【答案】 西北 东南 【分析】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息，即可进行填写． 【详解】解：（1）在☆的东南面画△如，下图所示； （2）在☆的西面画□，如图所示； （3）在☆的东北面画○，如图所示； （4）在☆的西北面，☆在的东南面． 故答案为：西北，东南． 【点睛】本题主要考查了方向和方位的知识，熟练掌握“上北下南，左西右东”是解题关键． 3．一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置． （1）画出坐标系确定宝藏的位置； （2）确定点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）点P的坐标是（500，250）． 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，按照所走路径，即可求得P点位置； （2）根据（1）中的平面直角坐标系，不难求出P点的坐标． 【详解】解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系． （1）如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示． （2）通过图像观察出点P到x、y轴的距离分别为250,500 因此P点坐标是(500，250) ． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系的画法以及点坐标的求法是解题的关键． 题型5.写出直角坐标系中点的坐标 1．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点均在格点上．若点，，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，确定平面直角坐标系原点的位置，再读出点的坐标． 【详解】解：已知，： 由横坐标为、横坐标为，得出所在竖直线为轴；、横纵坐标确定每个方格边长为， 则原点在向上1格的位置，从而建立平面直角坐标系． 观察网格，点在原点向右格的位置，因此的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 【答案】0 【分析】根据x轴上点的坐标特征，纵坐标为0，即可求出结果． 【详解】解：∵点在轴上， 点的纵坐标为，即． 3．如图是某景区的分布示意图，小天和小河在游玩过程中通过建立平面直角坐标系，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小天：“竹海听风”的坐标是． 小河：“荷塘月色”位于原点的西北方向． 实际上，小天和小河的说法都是正确的． (1)在图中建立平面直角坐标系并填空：根据小天和小河的描述，则“桃花源”的坐标是_____________； (2)已知“松韵亭”的坐标是，用表示方向的角描述“松韵亭”与“桃花源”的位置关系． 【答案】(1)， (2)“桃花源”位于“松韵亭”的东北方向（或“松韵亭”位于“桃花源”的西南方向） 【分析】（1）根据小天和小河的描述建立平面直角坐标系，再写出“桃花源”的坐标即可； （2）根据“桃花源”和“松韵亭”的坐标，结合方向角的定义解答即可． 【详解】（1）解：在图中建立平面直角坐标系：略． 则“桃花源”的坐标是． （2）解：在平面直角坐标系中标出“松韵亭”如下： 则“桃花源”位于“松韵亭”的东北方向（或“松韵亭”位于“桃花源”的西南方向）． 题型6.求点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，任意一点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点到轴的距离为． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上，到轴的距离为3，则点的坐标为________． 【答案】 或 【分析】先根据x轴上点的坐标特征得到点A的纵坐标，再利用点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标的所有可能值，即可得到点A的坐标． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为. 设点的横坐标为，由点到轴的距离为可得， 解得， 点的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点的坐标为，且直线轴，求线段的长； (2)若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)7； (2)或． 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，理解点的横、纵坐标的意义是解题的关键． （1）根据轴，得到，求出的值，进而算出，即可求得点M的坐标； （2）根据点M到x轴、y轴的距离相等，得到，进而求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，且直线轴， ，解得， ， ∴点的坐标为， ； （2）∵点到轴、轴的距离相等， ， 当时， 解得， ，即点的坐标为； 当时，解得， ，， 即点的坐标为， 故点的坐标为或． 题型7.判断点所在的象限 1．点在第一象限，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第一象限点的坐标符号特点判断选项即可． 【详解】解：平面直角坐标系中，第一象限内点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标大于0，即符号符合， 逐个判断选项： 选项A，点的横、纵坐标都为正，符合第一象限点的特征，故该选项符合题意； 选项B，点的横坐标为负，属于第二象限，故该选项不符合题意； 选项C，点的横、纵坐标都为负，属于第三象限，故该选项不符合题意； 选项D，点的纵坐标为负，属于第四象限，故该选项不符合题意． 2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 【答案】第一象限 【分析】判断点横纵坐标的正负，结合平面直角坐标系各象限点的符号特征即可求解． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∵点的横坐标，纵坐标， ∵第一象限内点的横纵坐标都为正数， ∴点所在的象限是第一象限． 3．已知点P坐标为，那么点P能否是第三象限内的点？请说明理由． 【答案】点不可能在第三象限，见解析 【分析】本题主要考查点的坐标，根据第三象限的点的横坐标和纵坐标均小于0解答即可． 【详解】解：当时，解得， 则， ∴， ∴点不可能在第三象限. 题型8.已知点所在的象限求参数 1．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的值可以是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】解：点在第三象限， ，选项中只有满足． 2．如果在x轴上，那么m的值是____________． 【答案】1 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0的坐标特征，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 3．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求a的值； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值. 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：． 题型9.坐标系中描点 1．下列各点中，与点距离最近的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，正确在坐标系中描出各点是解题的关键． 在坐标系中描出各点,根据垂线段最短和坐标系中各点位置即可比较距离，得出结论． 【详解】解：如图, 由图可知：与点距离最近的是距离是2， 故选：B. 2．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．已知：在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在坐标系中描出点、、，并画出三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据平面直角坐标系坐标的含义，逐个定位，，三点完成描点，顺次连线画出三角形； （2）采用补形法，取三点横、纵坐标极值围成外接矩形，算出矩形总面积，分别求出矩形内3块外围直角三角形的面积，用矩形面积减掉三处外围三角形面积，得到的面积． 【详解】（1）解：先在平面直角坐标系中描出点，，，再依次连接，，三点，得到； （2）以，，三点的最左、最右、最上、最下坐标为边界，构造矩形，如图： ∵， ， ， ， ∴ =． 题型10.已知两点坐标求两点距离 1．平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：∵ 点，原点坐标为， ∴根据勾股定理，点到原点的距离为 ． 2．在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【答案】6 【分析】根据点A和点B纵坐标相同，线段平行于轴，线段长度可通过横坐标差的绝对值计算． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 3．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 【答案】(1)13 (2)8 【分析】（1）将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可； （2）点A、B两点间的距离为，进行计算即可． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离； （2） 解：由题意，得：A，B两点间的距离． 题型11.实际问题中用坐标表示位置 1．如图，某地有3棵古松树，，，为加强对古树的保护，园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为，，则第3棵古松树的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则第3棵古松树的位置用坐标表示为． 2．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，即可得出结果. 【详解】解：由题意，画出坐标系如下所示， 由图可知：表示棋子“馬”的点的坐标为. 3．如图是某公园的平面示意图，已知梅苑的位置是，揽月亭的位置是． (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则湖心岛的位置是__________，松亭的位置是__________； (2)在图上标出荷塘月色的位置，若1个单位长度代表，则求出竹苑到荷塘月色的实际距离． 【答案】(1)；，； (2)； 【分析】（1）根据梅苑和揽月亭的位置确定原点和坐标轴的位置，进而建立平面直角坐标系即可得到答案； （2）根据（1）先标出荷塘月色的位置，再根据荷塘月色与竹苑在坐标系中的距离即可求出对应的实际距离． 【详解】（1）解：平面直角坐标系见答案， 则湖心岛的位置是，松亭的位置是； （2）解：图见答案， 则竹苑到荷塘月色的实际距离为． 题型12.点坐标规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到点P的横，纵坐标的规律，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得，、、、，， ∴横坐标和序号相同，纵坐标的变化是以1，0，，0，4个数为一组循环变化， ∵， ∴点的纵坐标和的纵坐标相同， ∴的坐标为． 2．如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 【答案】 【详解】解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 【答案】(1)画图见解析，第4个正方形上有16个整点 (2)第20个正方形的四条边上的整点个数为80个 (3)点在第7个正方形边上；在第个正方形边上 【分析】（1）观察图形，分别计算出各边上的整点数的和， （2）根据分析可以发现第n个正方形的整点有个，据此规律进行解答即可． （3）通过观察前3个正方形上的整点，得出核心结论，计算该点横、纵坐标的绝对值之和即可解答． 【详解】（1）解：画出由里向外的第4个正方形如图所示， 解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； 第4个正方形上有个整点； （2）解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； … 第n个正方形有个整点； 所以第20个正方形有个整点． （3）观察第1个正方形上的点，、，横纵坐标绝对值之和 ，． 观察第2个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 观察第3个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 结论：若点在第个正方形的边上，则． 计算点： 横坐标，纵坐标． 计算绝对值之和：． 所以点在第7个正方形的边上． 计算点： 横坐标，纵坐标（为正整数）． 计算绝对值之和：． ∴点在第7个正方形边上；在第个正方形边上． 题型13.中点坐标 1．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 2．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 3．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． (2)【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； (3)【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，或 【分析】（1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）分类与中点重合时，与中点重合时，与中点重合时三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ， 解得：， 即点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时， ， ，， 此时； ②与中点重合时， ， ，， 此时； ③与中点重合时， ， ，， 此时， 点的坐标为，或． 题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 2．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 3．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为． 故答案为： 题型15.由平移方式确定点的坐标 1．点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标的平移问题，熟悉坐标平移左减右加，上加下减是解题的关键． 由点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到即可求解． 【详解】根据点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到， 所以点． 故选：D． 2．的三个顶点的坐标分别是，，，如果将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到，则的顶点坐标为______，______，______． 【答案】 【分析】考查坐标的平移变换问题；左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．把各点的横坐标都减，纵坐标都加即可得到所求的坐标． 【详解】解：，，， ，，， 即，，， 故答案为：，，． 3．已知三个顶点坐标为：、、． (1)将向右平移，，，的对应点分别为，，，且、交点坐标．请根据所提供的信息确定平移后的坐标 ， ， ． (2)求出四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题考查了平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据题意画出和平移后的，然后求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴，，； 故答案为：，，； （3） 解：四边形的面积． 题型16.坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解． 【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 【答案】 【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据规律先求点的坐标，再求点的坐标即可． 【详解】解：点与点关于轴对称，已知点， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 3．平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，对称变换，解题的关键是掌握对称的定义和性质． （1）设，根据点C是点A关于的对称点，利用对称的性质即可求解； （2）设，利用对称的性质求出，得到，再根据且，可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得， 则； （2）解：设， ∵点关于直线的对称点是点，，过点作直线轴， ∴， ∴， ∵且， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型17.坐标与图形变化——轴对称 1．已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是． 2．已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 【答案】5 【分析】根据关于轴对称的点的坐标性质：关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求出和的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)若在内部有一个点，则点P在内部的对应点的坐标是 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)4 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据关于轴对称的点的特征即可解答； （3）利用割补法即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据对称的性质可得点P在内部的对应点的坐标是； （3）解：的面积． 题型18.坐标系中的动点问题（不含函数） 1．如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据垂线段最短可知，当时，最小，由点的坐标可求出的最小值． 【详解】解：如图， 当时，最小， ∵，， ∴轴， ∵点P在y轴上，且， ∴， ∴． ∴的最小值是2． 2．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 3．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周） (1)写出点B的坐标（__，___）； (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，描点如下： (3)2秒或5秒 【分析】（1）根据图形及坐标的定义直接求解即可得到答案； （2）根据时间得到路程即可得到点的坐标，再描点； （3）根据距离列式求解即可得到答案. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，A点的坐标为，C点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：当点P移动了4秒时，点P移动了个单位长度， ∵C点的坐标为， ∴， ∴， ∴此时，点P的位置在线段上，且， ∴点P的坐标为． 画图略 （3）解：当点P在上时，， 此时所用时间为； 当点P在上时，，， ∵A点的坐标为， ∴， ∵C点的坐标为， ∴，， 此时所用时间为：； 综上所述，当点P移动2秒或5秒时，点P到x轴的距离为4个单位长度． ✺巩固测试 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 2．下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 【答案】C 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可判断点A的横纵坐标的符号，据此可判断A；点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可判断B；根据题意可得或，据此可判断C；平行于轴的直线上的点的横坐标相同，再结合点B在第一象限和求出点B的坐标，即可判断D． 【详解】解：A选项： ∵，， ∴，， ∴ 点横坐标为正，纵坐标为负，即点A在第四象限，原说法正确； B选项： 点到轴的距离为，原说法正确； C选项： ∵， ∴或， ∴点在轴或轴上，并非一定在轴上，原说法错误； D选项： ∵轴，， ∴点的横坐标为， ∵点在第一象限，， ∴点的纵坐标为，即，说法正确． 3．已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 4．抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得解． 【详解】解：∵表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为， ∴建立的平面直角坐标系如下图所示： ∴表示脚踏船售票处的点的坐标应是． 5．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 6．已知点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点纵坐标为，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为 ， 即 ， 解得：. 7．如图，已知，则的面积是___________． 【答案】12 【分析】求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴． 8．点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 - 平移，熟练掌握点的平移规律（右加左减横坐标，上加下减纵坐标）是解题的关键．根据点平移的逆过程，将点反向平移得到点的坐标． 【详解】解：横坐标： 纵坐标： 故点的坐标为． 故答案为：． 9．中国象棋中的“马”沿“日”字形对角线走，俗称“马走日”，现有三个棋子的位置如图所示，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，则马直接走到第一象限时，对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】直接利用已知点得出平面直角坐标系，进而得出马直接走到第一象限时所在点的坐标． 【详解】解：直角坐标系如图所示： 马直接走到第一象限时所在点的坐标是． 10．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的横坐标为．则下列说法： ，，三点均在轴上； 若，则； 若是线段的中点，则； 若，则． 其中正确的是________．（填写序号） 【答案】 【分析】根据点的坐标特征，结合数轴上两点距离公式，中点坐标性质，逐一判断每个说法即可． 【详解】解：由题意得，，，轴，横坐标为，则， ，，三点的横坐标均为，故三点均在轴上，因此正确； 当时，，，， ，，， ，， ，因此正确； 若是线段的中点， 根据中点坐标公式，可得 整理得， 解得，因此正确； 若，横坐标为，横坐标为，两点纵坐标相同， ， 解得或， ，， ， 当时，； 当时，， 或，因此错误． 三、解答题 11．如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，她们发现自己所在的位置正好在景区示意图的格点上，借助平面直角坐标系确定点的位置的方法，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述．小芳：如果以我们的位置为原点，在示意图上建立平面直角坐标系，“竹海听风”的坐标为．妈妈：“荷塘月色”位于原点的西北方向． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“桃花源”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“荷塘月色”的位置． 【答案】(1)； (2) (3)“碧波潭”在“荷塘月色”的正南方向，且与“荷塘月色”相距 【分析】（1）根据“竹海听风”的坐标确定原点和坐标轴的位置，画出平面直角坐标系，进而可得“桃花源”的坐标； （2）根据（1）所求描点即可； （3）根据“碧波潭”和“荷塘月色”的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：平面直角坐标系见答案，则“桃花源”的坐标为； （2）略 （3）解：∵“荷塘月色”的坐标为，“碧波潭”的坐标为， ∴“碧波潭”与“荷塘月色”在平面直角坐标系中相距6个单位长度，且二者所在的位置在垂直于x轴的一条直线上， ∴“碧波潭”在“荷塘月色”的正南方向，且与“荷塘月色”相距． 12．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）轴上所有点的横坐标为，因此令横坐标，求出后代入纵坐标计算即可． （2）平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，因此点纵坐标等于点纵坐标，先求，再算横坐标． （3）第二象限内点特征：横坐标，纵坐标；点到轴距离=纵坐标绝对值，到轴距离=横坐标绝对值；距离相等即，结合第二象限正负去绝对值列方程求解． 【详解】（1）解：点在轴上， 横坐标为， 即， 解得：， 将代入纵坐标：， 点的坐标为． （2）解：轴， 、两点纵坐标相等， 即， 解得：， 将代入横坐标：， 点的坐标为． （3）解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∵点到轴、轴距离相等， ∴， 移项得：， ， 解得：， 验证：时，，，符合第二象限条件． ． 13．在平面直角坐标系中，点构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)如下图，四边形即为所求，该四边形为长方形 (2)12 (3)或 【分析】（1）根据四点坐标在坐标系中画出该四边形，然后判断其形状即可； （2）根据矩形的面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，设与轴交于点，则点坐标为，易得，然后根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴四边形的面积； （3）设点P的坐标为，如下图，设与轴交于点，则点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒后，轴，此时P，Q两点的横坐标相等，据此列方程求解即可； （4）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，且轴， 点的横坐标为9， 点是第一象限的点，且点到轴的距离是5， 点的纵坐标为5， 点的坐标为； （2）解：过点作轴的平行线，动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动， 当时，点向左移动3个单位长度，且点的纵坐标为5， 点的坐标为，即； 动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动， 当时，点的坐标为； （3）解：设经过t秒，轴，此时P，Q两点的横坐标相等， 由题意可知，P、Q两点的横坐标分别为、t， 则， 解得： （4）解：设经过t秒，四边形的面积为30，此时，， ， ，， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06位置与坐标 暑假预习讲义 ✺知识框架 位置确定基础：平面内确定位置的方法、有序数对的概念与应用 平面直角坐标系：坐标系构成、坐标轴与象限、原点特征、点与坐标的一一对应关系 点的坐标特征：各象限内点、坐标轴上点、特殊直线上点的坐标规律 坐标与轴对称变换：关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律、图形轴对称的坐标应用 ✅本章遵循基础定位—坐标系建模—坐标规律—图形变换的递进学习逻辑。以有序数对定位为基础，搭建平面直角坐标系模型，归纳各类特殊点的坐标判定规律；通过坐标轴轴对称变换，实现静态识点到动态图形变换的进阶，是数形结合思想的入门核心，也是后续函数、几何综合学习的必备基础。 ✺学习目标 基础认知：1.理解有序数对的定义与有序性，掌握平面内确定物体位置的基本方法，能规范运用有序数对表示平面内点的位置。 2.熟知平面直角坐标系的完整组成要素，明晰横轴、纵轴、原点、象限的定义与划分规则，能够规范绘制标准平面直角坐标系。 3.熟练掌握各象限内、坐标轴上、平行于坐标轴直线及象限角平分线上点的坐标特征，实现“由坐标判位置、由位置写坐标”的双向转化。 4.牢固熟记点关于x轴、y轴对称的坐标变换规律，可快速求解对称点坐标，能依托坐标规律完成简单平面图形的轴对称绘制与变换。 思维素养：1.经历从实际定位问题抽象为平面直角坐标系的建模过程，建立数形结合核心数学思想，培养几何直观与图形认知能力。2.通过自主探究坐标特征、对称变换规律，提升观察归纳、逻辑推理、数形转化的能力，养成规范解题、精准判图的学习习惯。 ✺题型归纳 题型1.用有序数对表示位置 题型2.用有序数对表示路线 题型3.用方向角和距离确定物体的位置 题型4.根据方位描述确定物体的位置 题型5.写出直角坐标系中点的坐标 题型6.求点到坐标轴的距离 题型7.判断点所在的象限 题型8.已知点所在的象限求参数 题型9.坐标系中描点 题型10.已知两点坐标求两点距离 题型11.实际问题中用坐标表示位置 题型12.点坐标规律探索 题型13.中点坐标 题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型15.由平移方式确定点的坐标 题型16.坐标系中的对称 题型17.坐标与图形变化——轴对称 题型18.坐标系中的动点问题（不含函数） 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、平面内位置的确定与有序数对 1.定位核心原理：平面是二维平面，仅依靠一个数据无法精准确定位置，确定平面内任意一个物体的位置，必须需要两个独立数据。 2.有序数对标准定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，称为有序数对，记作(a,b)。 3. 核心特征 有序性：数对中两个数字顺序固定、不可颠倒，前数对应横向位置，后数对应纵向位置；若a≠b，则(a,b)与(b,a)代表平面内两个完全不同的位置。 唯一性：平面内一个有序数对唯一对应一个点，一个点唯一对应一个有序数对。 4.常见定位方式：行列定位法（教室座位、棋盘位置）、方位角+距离定位法（平面点位定位），均需两个数据完成定位。 知识点二、平面直角坐标系的构成 1.标准定义：在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 2.四大组成要素 横轴（x轴）：水平方向的数轴，向右为正方向。 纵轴（y轴）：竖直方向的数轴，向上为正方向。 原点：x轴与y轴的公共交点，坐标为O(0,0)。 单位长度：同一坐标系中，x轴、y轴的单位长度保持一致。 3.象限划分 横轴与纵轴将平面分割为四个区域，依次定义为第一、二、三、四象限（如下图）； 特别注意：x轴、y轴上的所有点，均不属于任何一个象限， 第一象限：平面右上方区域；第二象限：平面左上方区域 第三象限：平面左下方区域；第四象限：平面右下方区域 知识点三、点的坐标的意义与读写 1.坐标定义：对于平面内任意一点P，分别过点P 向x轴、y轴作垂直垂线，垂足在x轴上对应的数为点的横坐标，垂足在y轴上对应的数为点的纵坐标，该点的坐标统一记作 P(a,b)。 2.坐标书写与读写规范 横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，整体用括号包裹。 读法规范：先读横坐标，后读纵坐标，例：(2,3) 读作：点二、三。 3.点与坐标的一一对应关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的关系。任意一个点唯一对应一组有序实数，任意一组有序实数唯一对应平面内一个点。 知识点四、各类点的坐标特征 1. 各象限内点的坐标符号规律 第一象限：(+,+)，横坐标为正，纵坐标为正 第二象限：(-,+)，横坐标为负，纵坐标为正 第三象限：(-,-)，横坐标为负，纵坐标为负 第四象限：(+,-)，横坐标为正，纵坐标为负 2.坐标轴上点的坐标特征 x轴上的点：纵坐标恒为0，坐标通用形式 (x,0)（x为任意实数） y轴上的点：横坐标恒为0，坐标通用形式 (0,y)（y为任意实数） 原点：横、纵坐标均为0，坐标为 (0,0)，同时属于x轴和y轴 3.特殊直线上点的坐标特征 平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等、横坐标不等，直线水平分布 平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等、纵坐标不等，直线竖直分布 4.象限角平分线上的点 一、三象限角平分线：横、纵坐标数值相等，满足 x=y 二、四象限角平分线：横、纵坐标互为相反数，满足x=-y 5.点到坐标轴的距离 设平面内任意一点 P(x,y)： 点 P到x轴的距离：等于纵坐标的绝对值，即 |y|； 点 P到y轴的距离：等于横坐标的绝对值，即 |x|。 知识点五、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） 点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） 点P与点p’关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） ✺题型精讲 题型1.用有序数对表示位置 1．根据下列表述，能确定具体位置的是（     ） A．横店电影城1号厅6排 B．曲靖市罗平县 C．北纬，东经 D．南偏西 2．如图，雷达探测器在一次探测中，发现两个目标，，若目标的位置可以用来表达，那么目标B的位置可以表示为______．    3．如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于平面直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角那个棋子的位置可以表示为．请选择图中的几个棋子并写出它们的“位置”(至少写出四个)． 题型2.用有序数对表示路线 1．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 3．如下图，一个点在的正方形网格（每个小方格的边长均为1）上沿着网格线运动，规定向上、向右走均为正，向下、向左走均为负．如：从点到点记为，从点到点记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动的距离． (1)图中___________，___________），___________，___________）； (2)若这个点从点到点的行走路线依次为，请在图中标出点的位置； (3)若图中另有两个格点，，且，，则从点到点应记为什么？ 题型3.用方向角和距离确定物体的位置 1．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（     ） A．北偏东，处 B．南偏西，处 C．北偏东，处 D．距离学校处 2．据古籍《鹖（hé）冠子》记载：“斗柄东指，天下皆春；斗柄南指，天下皆夏；斗柄西指，天下皆秋；斗柄北指，天下皆冬．”古人通过观察北斗七星斗柄的不同指向就可以确定季节．如图是北斗七星的部分平面模型图． 天玑在天璇的______偏__________方向______处． 3．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 题型4.根据方位描述确定物体的位置 1．下列选项中不能确定物体位置的是（     ） A．电影院5排8号 B．南偏西 C．无终东街1586号 D．东经，北纬 2．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 3．一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置． （1）画出坐标系确定宝藏的位置； （2）确定点P的坐标． 题型5.写出直角坐标系中点的坐标 1．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点均在格点上．若点，，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 3．如图是某景区的分布示意图，小天和小河在游玩过程中通过建立平面直角坐标系，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述： 小天：“竹海听风”的坐标是． 小河：“荷塘月色”位于原点的西北方向． 实际上，小天和小河的说法都是正确的． (1)在图中建立平面直角坐标系并填空：根据小天和小河的描述，则“桃花源”的坐标是_____________； (2)已知“松韵亭”的坐标是，用表示方向的角描述“松韵亭”与“桃花源”的位置关系． 题型6.求点到坐标轴的距离 1．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在轴上，到轴的距离为3，则点的坐标为________． 3．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点的坐标为，且直线轴，求线段的长； (2)若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 题型7.判断点所在的象限 1．点在第一象限，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 3．已知点P坐标为，那么点P能否是第三象限内的点？请说明理由． 题型8.已知点所在的象限求参数 1．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的值可以是（     ） A．0 B．1 C． D．2 2．如果在x轴上，那么m的值是____________． 3．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求a的值； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值. 题型9.坐标系中描点 1．下列各点中，与点距离最近的是(　　) A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 3．已知：在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在坐标系中描出点、、，并画出三角形； (2)求三角形的面积． 题型10.已知两点坐标求两点距离 1．平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A．3 B．2 C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   3．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，试求A，B两点间的距离； (2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 题型11.实际问题中用坐标表示位置 1．如图，某地有3棵古松树，，，为加强对古树的保护，园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为，，则第3棵古松树的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 2．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 3．如图是某公园的平面示意图，已知梅苑的位置是，揽月亭的位置是． (1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则湖心岛的位置是__________，松亭的位置是__________； (2)在图上标出荷塘月色的位置，若1个单位长度代表，则求出竹苑到荷塘月色的实际距离． 题型12.点坐标规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 题型13.中点坐标 1．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 3．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． (2)【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； (3)【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 3．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 题型15.由平移方式确定点的坐标 1．点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．的三个顶点的坐标分别是，，，如果将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到，则的顶点坐标为______，______，______． 3．已知三个顶点坐标为：、、． (1)将向右平移，，，的对应点分别为，，，且、交点坐标．请根据所提供的信息确定平移后的坐标 ， ， ． (2)求出四边形的面积． 题型16.坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点A与点关于x轴对称，点A与点关于y轴对称，已知点的坐标为，则点的坐标为_____________ 3．平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标． 题型17.坐标与图形变化——轴对称 1．已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)若在内部有一个点，则点P在内部的对应点的坐标是 ； (3)求的面积． 题型18.坐标系中的动点问题（不含函数） 1．如图，直线经过点，，动点P在y轴上，则的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 3．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周） (1)写出点B的坐标（__，___）； (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P移动的时间． ✺巩固测试 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 3．已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是(     ) A． B． C． D． 5．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知点在轴上，则的值为_____． 7．如图，已知，则的面积是___________． 8．点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 9．中国象棋中的“马”沿“日”字形对角线走，俗称“马走日”，现有三个棋子的位置如图所示，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，则马直接走到第一象限时，对应点的坐标是______． 10．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的横坐标为．则下列说法： ，，三点均在轴上； 若，则； 若是线段的中点，则； 若，则． 其中正确的是________．（填写序号） 三、解答题 11．如图是某景区的分布示意图（图中小方格都是边长为个单位长度的正方形）．小芳和妈妈在游玩的过程中，她们发现自己所在的位置正好在景区示意图的格点上，借助平面直角坐标系确定点的位置的方法，分别对“竹海听风”和“荷塘月色”的位置做出如下描述．小芳：如果以我们的位置为原点，在示意图上建立平面直角坐标系，“竹海听风”的坐标为．妈妈：“荷塘月色”位于原点的西北方向． 实际上，小芳和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出“桃花源”的坐标； (2)若“松韵亭”的坐标为，“碧波潭”的坐标为，请在平面直角坐标系中用点，表示这两个景区的位置； (3)如果个单位长度代表长，请你用表示方向的角和距离描述“碧波潭”相对于“荷塘月色”的位置． 12．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 13．在平面直角坐标系中，点构成一个四边形． (1)请在坐标系中画出这个四边形，并判断其形状； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $