第14讲导数的概念及其意义、导数的运算讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的概念、几何意义及运算核心考点，按“基础回顾-题型突破-课时精练”逻辑架构，梳理导数定义、公式法则、复合函数求导等知识，通过题型分类（运算、切线方程、参数求解、公切线）和例题精讲，构建从概念到应用的复习体系。 讲义突出数学思维与运算能力培养，如区分“在点处切线”与“过点切线”，通过公切线问题训练方程思想，课时精练分层设计（选择、填空、解答）。助力学生精准突破高频考点，为教师提供系统复习框架，提升复习效率与应考能力。

第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算 题型一 导数的运算 2 题型二 导数的几何意义——求切线方程 2 题型三 导数的几何意义——求参数的值(范围) 5 题型四 两曲线的公切线 7 课时精练 8 【基础回顾】 知识点1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) ＝y′＝ . 知识点2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【特别强调】 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 题型一 导数的运算 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【例题精讲】 1．求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 2．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 3．求下列函数的导函数： (1) (2) (3) 4．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 5．求下列函数的导函数． (1)； (2)，； (3)； (4)． 6．分别求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 7．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 8．求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 9．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 10．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 导数的几何意义——求切线方程 1.明确切点： 若已知切点，直接代入点斜式求切线方程． 若未知切点，需设切点为，通过条件（如切线过某点、切线斜率已知）列方程求解． 2.注意切线与导数的关系： 若函数在处可导，切线唯一；若不可导（如尖点），需通过极限定义分析切线． 3.易错点： 区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”：过点P的切线，点P未必是切点，需设切点后求解． 【例题精讲】 1．已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为（   ） A．1－ln2 B．ln2－1 C．ln2 D．－ln2 3．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图像在点处的切线方程为，则（   ） A． B．3 C．4 D．8 5．已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 6．某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（ ） A． B．函数的零点为 C．曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D．若，且，则 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递减区间是 B．曲线在处的切线与直线垂直 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域是. B．曲线在处的切线方程为 C．若过点至少可以作曲线的三条切线，则 D．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 题型三 导数的几何意义——求参数的值(范围) (1) 处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 【例题精讲】 1．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 4．已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（   ） A．6 B．23 C．6或38 D．23或38 5．若函数的图像在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A． B． C． D． 7．已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 9．已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 10．若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 题型四 两曲线的公切线 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【例题精讲】 1．曲线与曲线的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的图像在点处的切线恰好与函数 的图像切于点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知直线是函数和函数图像的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 4．已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 6．已知函数与的图像在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 7．一条直线与函数和的图像分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 8．若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 9．已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 10．已知直线是曲线与的公切线，则______． 课时精练 一、单选题 1．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．1 D． 2．已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 4．已知曲线在点处的切线与直线平行，则（   ） A．8 B．12 C．13 D．14 5．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 7．已知函数，则的图像在，两点处的切线的位置关系为（    ）． A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交但不垂直 8．曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．曲线在处的切线方程为 B．的极大值点为1 C．的对称中心为 D．方程有三个不同实根时， 10．已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．3是的极小值点 C．当时， D．若，则过点可作两条直线与曲线相切 11．已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．只有一个零点 C．曲线在点处切线的斜率为 D．是偶函数 三、填空题 12．曲线在点处的切线方程为，则___________． 13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 14．如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；……；，，记点的坐标为（），则______（用含的式子表达）. 四、解答题 15．已知函数． (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图像在点处的切线方程 16．已知函数．求曲线在点处的切线方程． 17．（1）求函数的导函数； （2）求曲线在点处的切线方程． 18．已知函数，设直线为函数图像上过点的切线. (1)求直线l的斜率． (2)求直线l的方程． 19．已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算 题型一 导数的运算 2 题型二 导数的几何意义——求切线方程 2 题型三 导数的几何意义——求参数的值(范围) 11 题型四 两曲线的公切线 18 课时精练 22 【基础回顾】 知识点1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) ＝y′＝ . 知识点2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【特别强调】 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 题型一 导数的运算 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【例题精讲】 1．求下列函数的导数： (1)； (2) (3) (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据求导公式、四则运算法则及复合函数求导的方法，逐一求解，即可得答案. 【详解】（1）由，得. （2）由为常数，得. （3）由，得. （4）由，得. （5）由，得. （6）由，令，得， 则. 2．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】借助导数运算法则及基本初等函数导数公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 3．求下列函数的导函数： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2） （3），复合函数求导（链式法则）：   令 ，则 ，. 4．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （2）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （3）利用对数函数的导数公式可求得原函数的导数； （4）利用指数函数的导数公式可求得原函数的导数； （5）化简函数解析式，利用正弦函数的导数公式可求得原函数的导数. 【详解】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 5．求下列函数的导函数． (1)； (2)，； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)，． (3)． (4) ． 【分析】由导数的四则运算求导即可. 【详解】（1）． （2），． （3） （4） ． 6．分别求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】按求导公式和法则逐问求导即可. 【详解】（1） （2）因为，所以． （3）. 7．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求导公式与四则运算的求导法则求解； （2）根据求导公式与四则运算的求导法则求解； （3）利用复合函数的求导法则可求. 【详解】（1）； （2）； （3）令，则. 8．求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂函数与指数函数的求导法则求导即得； （2）利用乘法的求导法则求导即得； （3）利用除法的求导法则求导即得； （4）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2）因为， 所以； （3）因为， 所以 ； （4）因为， 所以 . 9．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由基本初等函数的求导公式，根据求导法则，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 10．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的四则运算法则求导即可. 【详解】（1）． （2） ． （3）． （4）． 题型二 导数的几何意义——求切线方程 1.明确切点： 若已知切点，直接代入点斜式求切线方程． 若未知切点，需设切点为，通过条件（如切线过某点、切线斜率已知）列方程求解． 2.注意切线与导数的关系： 若函数在处可导，切线唯一；若不可导（如尖点），需通过极限定义分析切线． 3.易错点： 区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”：过点P的切线，点P未必是切点，需设切点后求解． 【例题精讲】 1．已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义，推导出时的表达式，通过导数求解切线斜率，再结合点斜式求切线方程. 【详解】设，则，则 因为是奇函数，满足， 所以 当时，即切点为 对求导得，切线斜率 由点斜式得切线方程，整理得. 2．已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为（   ） A．1－ln2 B．ln2－1 C．ln2 D．－ln2 【答案】D 【详解】因为，故可得，， 故在点处的切线方程为：， 令，解得． 故切线在y轴上的截距为． 3．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得； 4．已知函数的图像在点处的切线方程为，则（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以. 5．已知函数在处的切线方程为，则的值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 6．某函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图像可知，函数单调递增，所以图像上每个点的导数都大于0，又函数在某点的导数的几何意义等于该点切线的斜率，从图像可得该函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐增大的，因此函数的切线斜率是递增的，. 7．若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求得，即可得到答案. 【详解】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. 8．已知函数，则（ ） A． B．函数的零点为 C．曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】先根据求出的值，再令求函数零点，对求导分析曲线上切线倾斜角的范围，根据导数判断函数单调性，进而判断各选项的正误. 【详解】已知，所以，解得，A正确； 所以，令（），则， 化简得，即，解得，B错误； 对求导得，其中， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 设切线倾斜角为，则斜率，又， 所以，故倾斜角不小于，C正确； 由知：在和上单调递增， 但不能直接得出，且时，， 如，时， ，D错误. 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的单调递减区间是 B．曲线在处的切线与直线垂直 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 由可得，故函数的单调递减区间是，A对； 对于B选项，因为，且， 故曲线在处的切线方程为，B错； 对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为， 故函数的极大值为，作出函数的图像如下图所示： 由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值， 且最小值为，C对； 对于D选项，设切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，其中，则， 由可得或，由可得， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图像如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图像有三个交点，D对. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域是. B．曲线在处的切线方程为 C．若过点至少可以作曲线的三条切线，则 D．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】对函数求导得出单调性可求得其值域，利用导函数几何意义可求得在处的切线方程，设出切点坐标并根据切线条数构造函数，结合函数图像交点个数可求得，将距离最小值转化为平行直线与曲线相切问题即可. 【详解】由函数可得， 令可得，当时，，当时，， 因此可知在上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，又， 因此函数的值域是，即A正确； 易知，又，所以切线方程为，即，因此B正确； 设过点作切线的切点为， 则斜率为，切线方程为， 代入点坐标整理可得， 令，则， 由可得或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此在处取得极小值，在处取得极大值， 且时，，时，， 因为过点至少可以作曲线的三条切线，所以与函数的图像有三个交点，因此，即C错误； 设与直线平行的切线的切点为， 因为直线斜率为1，所以， 即，又因为函数在上单调递增，可得，即切点为， 因此点到直线距离的最小值即为到该直线距离， 即，所以D正确. 题型三 导数的几何意义——求参数的值(范围) (1) 处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 【例题精讲】 1．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对求导： ， 将切点横坐标代入，得切线斜率. 直线整理为，斜率为， 由于两直线平行，则斜率相等，因此. 2．若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设，则，则. 所以曲线在点处的切线方程为，即． 由得，则，解得（舍去）或． 3．曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 4．已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（   ） A．6 B．23 C．6或38 D．23或38 【答案】C 【分析】由切线斜率求出切点坐标，确定切线方程，即可求解. 【详解】因为切线与直线平行， 所以切线斜率， 对求导得：， 设切点横坐标为，则切线斜率满足： ， 解得或， 切线方程为 ， 因为切线过点 ，将 代入得： ， 当时： ， 当时： ， 因此或. 5．若函数的图像在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等同于其导数在该区间有零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】， 因为函数的图像在上存在平行于轴的切线，说明其导数在内有零点， 即方程在内有解， 令，则在有解， 分离参数可得， 令，则， 所以，则， 即， 所以的取值范围是. 6．已知直线是曲线的一条切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点的坐标为且，又，切线斜率为， 所以，解得，则， 故切点的坐标为，又切点在直线上， 所以，则. 7．已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 8．若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 9．已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 10．若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 【答案】 【分析】对两个曲线函数求导，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程，进而计算即可. 【详解】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得， 设切点，， 因为直线与曲线相切于点P，所以. 因为直线与曲线相切于点Q，所以. 所以，得到， 化简得，解得，所以. 题型四 两曲线的公切线 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 【例题精讲】 1．曲线与曲线的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解. 【详解】的定义域为，则. 的定义域为，则. 设与相切的切点为，切线方程为，即. 设与相切的切点为，切线方程为， 即. 由题意知，，由，得， 代入另一个方程解得，则. 代入中，得，即. 2．若函数的图像在点处的切线恰好与函数 的图像切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设切点，求出导函数进而得出切线斜率得出切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得出切线方程. 【详解】因切线与的切点为， 由可得， 切线方程为：，即① 依题意，切线与的切点为 ，因， 则切线的方程为：，即② 因①，②都是的方程，则有 ， 联立两式消去 并整理得，即，解得. 3．已知直线是函数和函数图像的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图像的切点为，所以，. 设直线与函数的图像的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 4．已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线和的切点分别为、，根据导数的几何意义及切点在切线上列方程求参数值. 【详解】令直线与曲线的切点为， 由，则， 而，故，所以， 令直线与曲线的切点为， 由，则，故， 而，故，所以. 5．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 6．已知函数与的图像在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 7．一条直线与函数和的图像分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 8．若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线，结合公切线的性质进一步求解即可. 【详解】由，得，，故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线重合，则，解得． 9．已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________. 【答案】 【分析】结合导数的几何意义求曲线上过点的切线方程，再求曲线过点的切线方程，结合条件列方程，由此可得结论. 【详解】设曲线上的切点为，因为， 所以直线为，即. 设曲线上的切点为， 因为，所以直线为，即， 所以，解得， 所以， 所以在轴上的截距为. 10．已知直线是曲线与的公切线，则______． 【答案】1 【分析】分别求导，然后设出切点坐标，表示出切线方程，然后用待定系数法即可求解. 【详解】对曲线求导得：，对曲线求导得：， 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为：，即：； 设直线与曲线相切于点， 则过点的切线方程为： ， 即： 因为是公切线，所以 化简得：，即：，所以. 课时精练 一、单选题 1．已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义计算求解. 【详解】函数在处可导，且，则 2．已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以. 故选：B. 3．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为切线方程为，故且， 故. 4．已知曲线在点处的切线与直线平行，则（   ） A．8 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】求导，利用导数的几何意义求出在点处切线斜率，再根据两直线平行得斜率相等，得解. 【详解】由题得，故在点处切线斜率为， 由两直线平行得斜率相等，即. 故选：B. 5．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即． 故选：C． 6．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由题，令，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． 由，得， 设直线与曲线相切于点，则，得， 则，所以，所以． 故选：A. 7．已知函数，则的图像在，两点处的切线的位置关系为（    ）． A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求出两切线的斜率，然后判断两直线的位置关系. 【详解】解：由题意知， 当≤0时， ，则， 所以， 当时，，则， 所以 ， 所以， 所以两直线相交且垂直 故选：B 【点睛】此题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，属于基础题. 8．曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离. 【详解】 如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为， ，所以斜率， 解得，故切点为， 切线方程为，即， 两直线间距离为， 故选：B. 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．曲线在处的切线方程为 B．的极大值点为1 C．的对称中心为 D．方程有三个不同实根时， 【答案】AC 【详解】 选项A， 时，，切点为，切线斜率 ，因此切线方程为 ，A正确； 选项B， 或 时 ，递增； ，递减，因此极大值点为，B错误； 选项C， ，故 是奇函数，奇函数的对称中心为 ，C正确； 选项D，的极大值为 ，极小值为 ， 简图如图所示 当 与 有三个不同交点时，，D错误. 10．已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．3是的极小值点 C．当时， D．若，则过点可作两条直线与曲线相切 【答案】ABD 【分析】已知式中令，求得，再求得，利用求得，从而得解析式，直接计算函数值判断A，利用导数判断BCD. 【详解】对A，令x＝0，得，即， 又，则， 所以，所以，故，A正确； 对B，，时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增，所以3是的极小值点，B正确； 对C，当时，，则，C错误； 对D，设切点为，切线方程为， 点在切线上，所以，化简可得， 因为，所以， 故关于m的方程有两个解，D正确. 11．已知函数，则（   ） A．在上单调递减 B．只有一个零点 C．曲线在点处切线的斜率为 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】对于A，解不等式结合定义域可得的递减区间；对于B，由A分析结合可判断选项正误；对于C，计算可判断选项正误；对于D，由的定义域可判断的奇偶性. 【详解】，定义域为， 则， 对于A，注意到函数都在上单调递增， 知也在上单调递增，又， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，故A正确； 对于B，因为当时，单调递减，当时，单调递增，结合，所以只有一个零点，故B正确； 对于C，，根据导数几何意义可知C正确； 对于D，的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误． 三、填空题 12．曲线在点处的切线方程为，则___________． 【答案】 【分析】根据切点在切线上，得到，由导数几何意义得到，相加得到答案. 【详解】曲线在点处的切线方程为，故， 由导数几何意义得到，所以. 13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 【答案】0或1 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，分析可知方程有且仅有一个解，分析讨论即可. 【详解】令，， 则，可得，， 则在点处的切线方程为， 令，则， 由题意可知方程有且仅有一个解， 若，则有且仅有一个解，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：或1. 14．如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；……；，，记点的坐标为（），则______（用含的式子表达）. 【答案】 【分析】求出通项的表达式，然后再由等比数列的求和公式求解即可. 【详解】设点的坐标是， ，，， 在点处的切线方程是， 令，则（）. ，，， ，于是有 ， 即. 四、解答题 15．已知函数． (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图像在点处的切线方程 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由导数乘法运算法则可得答案； （2）由题设可得切线斜率，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】（1）； （2）由（1）分析，，则对应切线斜率为1， 从而切线方程为：. 16．已知函数．求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求导得切线斜率，再确定切点纵坐标，从而得切线方程． 【详解】函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 17．（1）求函数的导函数； （2）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）使用导数公式与导数运算法则求解； （2）使用切点处的导数值等于切线的斜率求解. 【详解】解：（1）设，根据求导的乘法法则，可得，∴ （2）设，根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得 ∴，∴切线方程为即． 18．已知函数，设直线为函数图像上过点的切线. (1)求直线l的斜率． (2)求直线l的方程． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）函数，求导可得， 设切点坐标为，则切线的斜率为， 因此切线的方程为，化简可得， 因为切线经过点， 代入可得， 化简可得，解得或， 当时，对应点的坐标，切线的斜率为， 当时，，即切点的坐标为， 切线的斜率为， 因此切线的斜率为，. （2）因为切线的斜率为，，且经过点， 所以当切线的斜率为时，切线的方程为，化简可得， 当切线的斜率为时，切线的方程为. 19．已知函数（），且. (1)求函数的解析式； (2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求导，再结合可得，进而求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，即， 则. （2）由，得， 设切点为，则，解得或， 则切点为或，切线斜率为0， 所以该切线的方程为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $