第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦导数的概念、几何意义及运算等高考核心考点，按“概念-运算-应用”逻辑梳理知识框架，通过知识解构、题型破译（9类题型含方法技巧）、真题溯源等环节，帮助学生构建系统思维，突破切线方程、参数求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新采用题型分层突破策略，如“在点处切线”通过“求切点-算斜率-写方程”三步法，培养学生数学思维与表达能力，结合课本典例与近三年真题训练，设置基础到综合的变式练习，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1导函数的概念 知识点2导数的几何意义 知识点3基本初等函数的导数公式及运算法则 知识点4复合函数的求导法则 题型破译 (含超链接） 题型1 导数的概念 【方法技巧】导数定义的应用 题型2 导数的和、差、积、商的导数 【方法技巧】利用导数运算法则的解题策略 题型3 复合函数的导数 题型4 在点P处的切线 【方法技巧】求曲线“在”点处的切线方程 题型5 过点P处的切线 【方法技巧】求曲线“过”点处的切线方程 题型6 已知切线或切点求参数 题型7 切线的条数问题 【方法技巧】公切线问题的处理策略 题型8 公切线问题 题型9 利用导数的几何意义求距离最值 【方法技巧】利用导数的几何意义求解最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的运算 —— 全国二卷T3（5分） 全国I卷T18（1）（5分） 全国甲卷（文）T20（1）（5分） 导数的几何意义 —— 全国一卷T12（5分） 天津卷T20（1）（4分） 全国甲卷（理）T6（5分） 全国II卷T16（1）（5分） 全国I卷T13（5分） 天津卷T20（1）（4分） 考情分析 近三年考情显示，导数的概念及其意义、导数运算的考查较为稳定，题型、分值与难度变化不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查导数的几何意义、基本初等函数求导公式、四则运算法则，核心是求曲线在某点处的切线方程，偶尔涉及切线斜率与导数定义的理解，整体属于基础必考内容。 复习目标 1.理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式，能准确表述导数的定义与本质。 2.结合函数图象，理解导数的几何意义，能熟练求解曲线在某点处的切线方程。 3.熟练运用导数四则运算法则进行计算，能正确求解简单函数及简单复合函数的导数。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导函数的概念 1.导函数的概念 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即 2.导函数求法 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数． 自主检测1．设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以， 所以. 知识点2 导数的几何意义 函数在处的导数,就是切线的斜率,即. 自主检测2．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 【答案】 【详解】点处的切线方程是，则， 切线斜率为，则， ． 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 1.基本初等函数的导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则 自主检测3．已知函数，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，得， 则. 4．分别求下列函数的导数： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， ， 因此. （2） . 知识点4 复合函数的求导法则 1.复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 2.掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 自主检测5．函数导数为_________． 【答案】 【详解】函数的定义域为 ， 可看作由与复合而成， 则. 题●型●破●译 题型1 导数的概念 例1-1（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 例1-2（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得瞬时速度, 当位移时，可得，解得：,所以, 所以, 则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为， 故选：A 方法技巧 导数定义的应用 （1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： （2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 【变式1-1】（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 【变式1-2】（2024-25高三上·山西晋中·期中）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图分别作直线，交的图象于点， 则和分别表示函数的图象在点处的切线的斜率， 结合图象可得，即， 而，表示过两点的直线的斜率， 由图知，即. 故选：D. 题型2 导数的和、差、积、商的导数 例2-1（2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为__________. 【答案】 【详解】由， 则. 故答案为：. 例2-2（2024·25高三上·福建·期中）已知函数，则__________. 【答案】/ 【详解】函数，则， 则， 所以，则， 则. 故答案为：. 方法技巧 利用导数运算法则的解题策略 （1）先分析待求导式子的结构，判断适用的求导法则，明确各部分对应的基本初等函数，选用正确的求导公式。 （2）若函数表达式较为复杂，可先化简变形再求导，比如将乘积展开、分式转化、三角恒等变换后再计算。 （3）求导时优先把式子转化为和差形式，尽量使用和差求导法则，减少使用积、商求导法则，降低计算出错概率。 【变式2-1】（2024·25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则__________. 【答案】 【详解】因为，则， 令得，解得， 则， 所以. 故答案为：. 【变式2-2】（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，为奇函数，A错误； 对于选项B，为非奇非偶函数，B错误； 对于选项C，，且，，， 则不是偶函数，C错误； 对于选项D，为偶函数，D正确. 故选：D. 题型3 复合函数的导数 例3-1（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数在处的导数 _____. 【答案】 【详解】由题设，则. 例3-2（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（    ） A．−10 B．0 C．10 D．20 【答案】B 【详解】对原等式两边求导得： ， 再令代入上式：， 又中一次项的系数为：， 所以. 【变式3-1·变题型】（2025·26高三上·河北保定·阶段检测）已知函数，为的导函数，则（    ） A．0 B．2 C． D．2026 【答案】B 【详解】由于 ，所以， 又， 故 ， 则， 所以. 【变式3-2】（2025·26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，则的值为（    ） A．29 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】函数的导函数为， 故，所以， 所以， 所以. 【变式3-3·变考法】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：，所以， 所以， 根据导数的几何意义得， 所以. 题型4 在点P处的切线 例4-1（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 例4-2（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 方法技巧 求曲线“在”点处的切线方程 （1）计算切点的纵坐标；（2）计算切线斜率； （3）计算切线方程.切线过切点，切线斜率； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【变式4-1】（2025·26高三上·湖南·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】由，得， ，得， 故所求切线方程为，即. 【变式4-2】（2026·河北沧州·二模）已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为， 令得轴上的截距为． 题型5 过点P处的切线 例5-1（2024高三·全国·专题练习）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为_______． 【答案】或 【详解】∵，∴. 设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 例5-2（2025·26高三上·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 方法技巧 求曲线“过”点处的切线方程 （1）设切点为；（2）求出函数在点处的导数； （3）利用Q在曲线上和，解出及； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【变式5-1·变载体】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 【变式5-2】（2024·25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 【答案】 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 【变式5-3·变题型】（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切， 则是曲线过原点的切线． 设切点坐标为， 又由，即切点处切线的斜率． 即把切点坐标代入，得，解得， 故，所以，故. 故选：D． 题型6 已知切线或切点求参数 例6-1（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 【答案】 【详解】由题可知，由题意得，， 则，且，化简得， 解得，，即. 例6-2（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 【答案】 【详解】设，，， 因为曲线在点处的切线为， 所以，解得， 又因为点在第三象限内， 所以，， 因为在切线上， 所以，解得． 【变式6-1】（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】/ 【详解】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以． 【变式6-2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【变式6-3·变考法】（2026·辽宁锦州·二模）已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 【答案】0 【详解】，； 曲线上任意一点处切线的斜率为，由于，即斜率的取值范围为. 要使图象上有两条切线互相垂直，即存在，使得. 区间内必须同时包含正数和负数，即，得. 设，则. ，即； ，得； ，； ，解得，得. 当时，斜率的取值范围为，可取，，符合题意. . 题型7 切线的条数问题 例7-1（2024·25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 所以切线方程为， 因为直线过点，则， 化简得， 又因为切线有且仅有1条，即，解得或2， 故选：A 例7-2（2025·26高三·全国·一轮复习）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-1】（2025·26高三上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 【变式7-2】（2025·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________． 【答案】，，，只需写出一个答案即可 【详解】设切点为，因为，所以切线方程为． 因为切线经过点，所以， 由题意关于的方程没有实数解， 则，解得． 因为为整数，所以的取值可能是，，. 故答案为：，，，只需写出一个答案即可 【变式7-3·变考法】（2025·26高三上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点坐标为，曲线的切线方程为， 代入，得  ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，，知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则满足题意． 此时， 对比可得， 故选:． 【变式7-4】（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 题型8 公切线问题 例8-1（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 例8-2（2025·陕西汉中·一模）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 方法技巧 公切线问题的处理策略 解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方程。 【变式8-1】（2025·26高三上·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】（或） 【详解】直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即． 直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 因为直线为曲线与的公切线， 所以， 由得，两边取自然对数得， 即，即， 代入得，即，解得或， 所以或， 所以的方程为或． 故答案为：（或）． 【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 故选：ABD. 【变式8-3】（2025·26高三上·河南南阳·期末）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________ 【答案】1 【详解】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 故答案为：1 题型9 利用导数的几何意义求距离最值 例9-1（2026·广东东莞·模拟预测）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】设与直线平行并与相切的直线为， 则两平行线间的距离即为的最小值， 因为，所以，设切点为， 则，解得，此时，则切点为， 代入中，可得，解得， 则直线方程为，而可化为， 由平行线间距离公式得平行线间距离为. 例9-2（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 方法技巧 利用导数的几何意义求解最值问题 借助数形结合的思想，将代数最值转化为图像上的直观位置关系来分析。这类问题最常用的方法是平移切线法：通过平行移动函数的切线，观察切线与曲线的位置变化，找到临界状态下的切线位置，从而确定对应的最值。 【变式9-1】（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为_________. 【答案】 【详解】由得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，且， 则作出和图像如图： 则曲线上任意一点M到直线的最小距离， 即为斜率为3的切线的切点到直线的距离； 设与直线平行的直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，即切点为， 所以切点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式9-2】（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 【答案】 【详解】由题设，即，故且为常数， 而，则，故， 所以，令， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且时恒成立，， 若是的一条切线，且，而， 所以切线对应为，即， 令，显然，， 所以，在R上恒成立，即在R上恒成立，则， 所以图象恒在和图象的上方，又与平行， 要使最小，等价于求与的最小距离，即为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 5．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1）因为可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，； （2）因为可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. 2．已知函数，且，求． 【答案】 【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得 3．已知函数满足，求在的导数． 【答案】 【详解】解：因为，所以，所以，解得 4．已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）； （2）由（1），，又， 则切线方程满足. 5．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值． 【答案】 【详解】解：， ， 所以在点（0,1）处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直， ， . 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1导函数的概念 知识点2导数的几何意义 知识点3基本初等函数的导数公式及运算法则 知识点4复合函数的求导法则 题型破译 (含超链接） 题型1 导数的概念 【方法技巧】导数定义的应用 题型2 导数的和、差、积、商的导数 【方法技巧】利用导数运算法则的解题策略 题型3 复合函数的导数 题型4 在点P处的切线 【方法技巧】求曲线“在”点处的切线方程 题型5 过点P处的切线 【方法技巧】求曲线“过”点处的切线方程 题型6 已知切线或切点求参数 题型7 切线的条数问题 【方法技巧】公切线问题的处理策略 题型8 公切线问题 题型9 利用导数的几何意义求距离最值 【方法技巧】利用导数的几何意义求解最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的运算 —— 全国二卷T3（5分） 全国I卷T18（1）（5分） 全国甲卷（文）T20（1）（5分） 导数的几何意义 —— 全国一卷T12（5分） 天津卷T20（1）（4分） 全国甲卷（理）T6（5分） 全国II卷T16（1）（5分） 全国I卷T13（5分） 天津卷T20（1）（4分） 考情分析 近三年考情显示，导数的概念及其意义、导数运算的考查较为稳定，题型、分值与难度变化不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查导数的几何意义、基本初等函数求导公式、四则运算法则，核心是求曲线在某点处的切线方程，偶尔涉及切线斜率与导数定义的理解，整体属于基础必考内容。 复习目标 1.理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式，能准确表述导数的定义与本质。 2.结合函数图象，理解导数的几何意义，能熟练求解曲线在某点处的切线方程。 3.熟练运用导数四则运算法则进行计算，能正确求解简单函数及简单复合函数的导数。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导函数的概念 1.导函数的概念 当时,是一个唯一__________的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即__________ 2.导函数求法 由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是： （1）求函数的改变量__________；（2）求平均变化率； （3）取极限，得导数__________． 自主检测1．设函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．1 B．2 C． D．4 知识点2 导数的几何意义 函数在处的导数,就是切线的__________,即. 自主检测2．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______． 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则 1.基本初等函数的导函数 基本初等函数 导函数 （为常数） __________ __________ __________ __________ __________ 2.导数的四则运算 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 __________ 乘法运算 __________ 除法运算 ，则__________ 自主检测3．已知函数，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．分别求下列函数的导数： (1) (2) 知识点4 复合函数的求导法则 1.复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且__________，或写作． 2.掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数__________分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层__________．得到， （3）求积并回代：求出__________：，然后将，即可得到的导数． 自主检测5．函数导数为_________． 题●型●破●译 题型1 导数的概念 例1-1（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 例1-2（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（    ）. A． B． C． D． 方法技巧 导数定义的应用 （1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有： （2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限 【变式1-1】（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-25高三上·山西晋中·期中）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 导数的和、差、积、商的导数 例2-1（2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为__________. 例2-2（2024·25高三上·福建·期中）已知函数，则__________. 方法技巧 利用导数运算法则的解题策略 （1）先分析待求导式子的结构，判断适用的求导法则，明确各部分对应的基本初等函数，选用正确的求导公式。 （2）若函数表达式较为复杂，可先化简变形再求导，比如将乘积展开、分式转化、三角恒等变换后再计算。 （3）求导时优先把式子转化为和差形式，尽量使用和差求导法则，减少使用积、商求导法则，降低计算出错概率。 【变式2-1】（2024·25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则__________. 【变式2-2】（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 题型3 复合函数的导数 例3-1（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数在处的导数 _____. 例3-2（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（    ） A．−10 B．0 C．10 D．20 【变式3-1·变题型】（2025·26高三上·河北保定·阶段检测）已知函数，为的导函数，则（    ） A．0 B．2 C． D．2026 【变式3-2】（2025·26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，则的值为（    ） A．29 B． C．5 D． 【变式3-3·变考法】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 题型4 在点P处的切线 例4-1（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例4-2（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 方法技巧 求曲线“在”点处的切线方程 （1）计算切点的纵坐标；（2）计算切线斜率； （3）计算切线方程.切线过切点，切线斜率； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【变式4-1】（2025·26高三上·湖南·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为__________. 【变式4-2】（2026·河北沧州·二模）已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 题型5 过点P处的切线 例5-1（2024高三·全国·专题练习）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为_______． 例5-2（2025·26高三上·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求曲线“过”点处的切线方程 （1）设切点为；（2）求出函数在点处的导数； （3）利用Q在曲线上和，解出及； （4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【变式5-1·变载体】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式5-2】（2024·25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 【变式5-3·变题型】（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 题型6 已知切线或切点求参数 例6-1（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 例6-2（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 【变式6-1】（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【变式6-2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【变式6-3·变考法】（2026·辽宁锦州·二模）已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 题型7 切线的条数问题 例7-1（2024·25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 例7-2（2025·26高三·全国·一轮复习）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________． 【变式7-1】（2025·26高三上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【变式7-2】（2025·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________． 【变式7-3·变考法】（2025·26高三上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 题型8 公切线问题 例8-1（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 例8-2（2025·陕西汉中·一模）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 方法技巧 公切线问题的处理策略 解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方程。 【变式8-1】（2025·26高三上·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可） 【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·26高三上·河南南阳·期末）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________ 题型9 利用导数的几何意义求距离最值 例9-1（2026·广东东莞·模拟预测）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____. 例9-2（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 利用导数的几何意义求解最值问题 借助数形结合的思想，将代数最值转化为图像上的直观位置关系来分析。这类问题最常用的方法是平移切线法：通过平行移动函数的切线，观察切线与曲线的位置变化，找到临界状态下的切线位置，从而确定对应的最值。 【变式9-1】（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为_________. 【变式9-2】（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求下列函数在给定点的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数． 2．已知函数，且，求． 3．已知函数满足，求在的导数． 4．已知函数. (1)求这个函数的导数； (2)求曲线在点处的切线方程. 5．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $