第二章 轴对称（必备知识+4大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学“图形的轴对称”单元知识清单系统梳理了轴对称的核心内容，涵盖轴对称图形与轴对称的定义性质、等腰及等边三角形性质、线段垂直平分线和角平分线性质，构建了从概念到应用的递进式学习支架。 清单以“易错点分类突破”和“例题变式联动”为特色，如将折叠问题的“对应关系乱”等易错点总结并附注意事项，结合光线反射、将军饮马等跨学科与实际问题，培养几何直观和应用意识。教师可利用分层例题设计教学，学生能通过易错提示高效自主复习，提升推理与解决问题能力。

第二章 图形的轴对称 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 易错点1 根据成轴对称图形的特征进行求解 易错总结 1. 对称轴误判：错将图形的对称轴当成中线或角平分线，忽略轴对称中对应点连线被轴垂直平分的本质。 2. 对应点错配：在复杂图形中，对称点、对称线段找错，导致相等关系误用。 3. 性质混淆：将轴对称与中心对称性质混淆（如中心对称对应点连线过对称中心，轴对称则垂直平分）。 4. 多解遗漏：题目未指定对称轴时，可能有多条对称轴（如正方形），漏解情况常出现。 注意事项： - 明确对称轴：先确定哪条直线是轴，再找对应点、对应线段。 - 利用垂直平分：对称点的连线被对称轴垂直平分，据此列方程。 - 对应元素相等：对称图形中对应线段、对应角相等。 - 分类讨论：对称轴不确定时，按可能位置分类画图求解。 - 坐标法辅助：在坐标系中，点关于x轴、y轴、直线y=x等对称有固定公式。 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分线段 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先根据轴对称的性质得出，再根据，求出的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出，再根据求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （3）解：直线垂直平分线段．理由如下：如图， ∵，关于直线对称， ∴直线垂直平分线段． 【变式】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 【答案】(1) (2) (3)16 (4) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据对称性得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）同法（1）即可得出结果； （3）根据对称性得到，进而得到的周长为线段的长即可； （4）根据对称性得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小，得到与点重合，最小等于图中线段的长即可． 【详解】（1）解：由对称性可知：， ∴， 即：； 故答案为：； （2）同（1）可知：； （3）由对称性可知：， ∴的周长； 故答案为16； （4）由对称性可知：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴当与点重合，最小等于图中线段的长； 故答案为：． 易错点2 轴对称中的折叠问题 易错总结 1. 对应关系乱：折叠后哪些点重合、哪些边相等标记不清，导致全等条件找不准。 2. 折痕性质误用：折痕是对应点连线的垂直平分线，但误当成角平分线或中线使用。 3. 方程列错：设未知数时未利用折叠后长度相等，或勾股定理用在了非直角三角形上。 4. 多情况漏解：折叠方式不同（如沿不同直线折叠）时只考虑一种情形。 注意事项： - 标对应点：折叠后重合的点用相同字母标记（如A与A'）。 - 折痕性质：折痕垂直平分对应点连线，且折痕上的点到对应点距离相等。 - 找直角三角形：折叠问题常在折叠形成的直角三角形中用勾股定理列方程。 - 分情况画图：折叠方式不同时，画出每种折叠后的图形分别求解。 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）实验与操作： 【课本回顾】在北师大版七年级上册数学课本第122页，小亮通过折叠的方法，找到一个角的平分线．如图1，折痕平分； 【操作实践】若点O，E分别是长方形纸片边上的点，将长方形纸片沿翻折，点落在点处，点落在点处． (1)如图2，当点恰好落在线段上时，的度数为_____； (2)如图3，点落在的内部，若，求的度数； (3)当点均落在的内部时，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质，得到，，根据，即可求解； （2）由折叠的性质，得到，，根据，，根据即可求解； （3）由折叠的性质，得到，，分当点在内部时，当点在外部时，两种情况得出结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质，得到，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质，得到，． ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 【答案】（1），理由见解析（2）10 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据折叠的性质和平角的定义，推出，即可得出结论； （2）延长交于点，根据翻折的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：（1），理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）延长交于点，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 易错点3 轴对称中的光线反射问题 易错总结 1. 法线位置错误：反射问题中，误将反射面当成法线，忘记作法线辅助（法线垂直于反射面）。 2. 入射角与反射角混淆：将光线与反射面的夹角当作入射角，正确应为与法线的夹角。 3. 对称点作错：作某点关于反射面的对称点时，对称轴（反射面）选错或垂足找不准。 4. 多次反射漏段：光线经过多次反射时，未按路径依次作对称，导致光路画错。 注意事项： - 作法线：过入射点作反射面的垂线（法线），入射角=反射角。 - 对称转化：作光源关于反射面的对称点，连接对称点与入射点可确定光路。 - 多次反射：依次作对称点，将折线转化为直线求解。 - 画标准图：用直尺规范作图，标出入射角、反射角。 【例3】（25-26七年级上·山东济南·期末）光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，的度数为；当时，的度数为 【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角得，再由是直角可得结论； （2）①延长，交于点G，作，求出，由三角形内角和定理可得结论； ②当时，的度数为；当时，的度数为 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴, 故答案为： （2）解：①延长，交于点G，作 ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴, ∴ ②当时，， ∴，此时，与重合， 当时，， ∴ ∴， ∴， 即的度数为； 当时，如图， 同理可得， ∴ ∵， ∴， 即的度数为． 【变式】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 易错点4 利用轴对称求解将军饮马河问题 易错总结 1. 对称点选取错误：将定点关于直线作对称时，对称轴选错（应为动点所在直线），或两个点弄反。 2. 动点位置误判：认为动点只能在已知直线上某一侧，忽略直线延伸方向，导致最优点定错。 3. 多线段和转化不全：求多条折线段和（如A→P→Q→B）最小时，需连续作多次对称，每一步都易出错。 4. 几何画图不准：凭感觉画光路图不检验是否真正共线，导致最值结论不可靠。 注意事项： - 定直线：动点在哪个线上运动，就作哪个线的对称。 - 化折为直：作对称后，两点间直线段最短，交点即为最优点。 - 一次一对称：多动点问题按路径依次作对称，转化为两点间距离。 - 验证共线：判断最优点时，检查对称点与另一点连线是否与反射面相交。 - 分清类型：两定点一侧、两侧、河两侧等不同问题对称策略不同。 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）【问题呈现】如图①，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点都看作一个点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图②． 【解决问题】（1）按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①如图③，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短； ②请利用图④解决题干中的问题． 【能力迁移】（2）如图⑤，四边形EFGH是一个长方形的台球桌，有黑、白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH，反弹后再碰撞台边EF，最后击中白球？请你认真思考，将黑球移动的路线作在图上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）①见解析②见解析（2）见解析 【分析】本题考查了将军饮马模型，熟练掌握该模型是解题的关键； （1）①根据两点之间线段最短即可求解；②根据对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）根据对称的性质以及两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：（1）①如图①，点C即为所求． ②如图②，点C即为所求． （2）如图③，黑球移动的路线为A→M→N→B． 【变式】（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短 【解决问题】图见解析． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 一、单选题 1．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 3．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补进行求解． 【详解】解：由折叠可知， 又， ， 在长方形中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 二、填空题 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点之间的距离的最小值是______________，点之间的距离的最大值是______________． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，由对称性得出三点共线，得出，由此得到当时，最小，进而由等面积法求出即可得到答案；当点与点重合时，最大，为． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点和点关于对称， ， ∵点和点关于对称， ， ， ， ， 三点共线， ， ∴当最小时，最小， 是上一点， 时，最小，此时， ，解得， 的最小值为； 是上一点， ∴当点与点重合时，最大， 的最大值为； ∴点之间的距离最小值是，点之间的距离最大值是． 三、解答题 7．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点到对应点的距离相等． 根据轴对称的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵点、关于对称，点、关于对称， ∴，， ∵， ∴的周长． 8．（25-26八年级上·云南临沧·期中）如图，是轴对称图形，对称轴是． (1)找出所有对应点、对应边、对应角． (2)如果，求和． (3)如果，求． 【答案】(1)对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，熟记相关结论即可； （1）根据图形即可求解； （2）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； （3）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 （2）解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等），（对应角相等）， ∵， ∴； （3）解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等）， ∵， ∴； 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；② 【分析】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导． （1）根据镜面反射中“法线垂直镜面”得出，再结合“反射角等于入射角”，利用角的和差关系，即，推导出． （2）①由（1）的结论，设，，先得出；再根据平角定义求出，；最后利用三角形内角和，求出，进而推导出．②设，，先求出，；再根据角的差求出，同时得出，从而推导出． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ， ， 即． （2）解：①由（1）可知． 设， ． ，， ； ， 即． ②设，． ，．．． ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山西太原·月考）问题呈现 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点A，B分别落在点，处．如果，那么是多少度？ 方法应用 （2）①如图2，将长方形分别沿，折叠，点A落在点处，点B，C分别落在上的点，处，则的度数为________． ②如图3，将长方形分别沿，折叠，使点B，C分别落在点，处，，不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查折叠的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可知，再根据平角的定义即可求解； （2）①由折叠可知，，再根据平角的定义即可求解； ②根据，得出，由折叠可知，则，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可知， 因为， 所以， 所以． （2）①由折叠可知， ∵， ∴． ②因为， 所以， 由折叠可知， 所以， 所以． 11．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）在中，点D是的边的中点． (1)如图1，连接，过点D作交延长线于点E，若的面积是12，，求线段的长； (2)如图2，点F是线段上一点，连接并延长交延长线于G．若，，求证：； (3)如图3，点M是延长线上一点，连接，连接，点H为所在直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接，若，当线段最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，从而即可得出，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）在上取一点，使得，连接，由题意可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）设，则，由折叠的性质可得，即可得出点在以为圆心，为半径的圆上，结合，可得当、、在同一直线上时，最大，为，连接，作的垂直平分线交直线于，连接、，由折叠的性质可得，由题意可得，从而可得 ，设点到直线的距离为，由三角形面积公式可得，求出，设点到直线的距离为，再由三角形面积公式可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵点D是的边的中点， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∵过点D作交延长线于点E，， ∴，即， ∴； （2）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵点D是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， 由折叠的性质可得：， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当、、在同一直线上时，最大，为， 连接，作的垂直平分线交直线于，连接、， 由折叠的性质可得：， ∵点D是的边的中点， ∴， ∴， ∴， 设点到直线的距离为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到直线的距离为， ∵，， ∴， 即． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 图形的轴对称 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 易错点1 根据成轴对称图形的特征进行求解 易错总结 1. 对称轴误判：错将图形的对称轴当成中线或角平分线，忽略轴对称中对应点连线被轴垂直平分的本质。 2. 对应点错配：在复杂图形中，对称点、对称线段找错，导致相等关系误用。 3. 性质混淆：将轴对称与中心对称性质混淆（如中心对称对应点连线过对称中心，轴对称则垂直平分）。 4. 多解遗漏：题目未指定对称轴时，可能有多条对称轴（如正方形），漏解情况常出现。 注意事项： - 明确对称轴：先确定哪条直线是轴，再找对应点、对应线段。 - 利用垂直平分：对称点的连线被对称轴垂直平分，据此列方程。 - 对应元素相等：对称图形中对应线段、对应角相等。 - 分类讨论：对称轴不确定时，按可能位置分类画图求解。 - 坐标法辅助：在坐标系中，点关于x轴、y轴、直线y=x等对称有固定公式。 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【变式】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 易错点2 轴对称中的折叠问题 易错总结 1. 对应关系乱：折叠后哪些点重合、哪些边相等标记不清，导致全等条件找不准。 2. 折痕性质误用：折痕是对应点连线的垂直平分线，但误当成角平分线或中线使用。 3. 方程列错：设未知数时未利用折叠后长度相等，或勾股定理用在了非直角三角形上。 4. 多情况漏解：折叠方式不同（如沿不同直线折叠）时只考虑一种情形。 注意事项： - 标对应点：折叠后重合的点用相同字母标记（如A与A'）。 - 折痕性质：折痕垂直平分对应点连线，且折痕上的点到对应点距离相等。 - 找直角三角形：折叠问题常在折叠形成的直角三角形中用勾股定理列方程。 - 分情况画图：折叠方式不同时，画出每种折叠后的图形分别求解。 【例2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）实验与操作： 【课本回顾】在北师大版七年级上册数学课本第122页，小亮通过折叠的方法，找到一个角的平分线．如图1，折痕平分； 【操作实践】若点O，E分别是长方形纸片边上的点，将长方形纸片沿翻折，点落在点处，点落在点处． (1)如图2，当点恰好落在线段上时，的度数为_____； (2)如图3，点落在的内部，若，求的度数； (3)当点均落在的内部时，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【变式】（24-25七年级下·广东深圳·期末）折纸中的数学 【知识背景】我们在第五章《图形的轴对称》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图，将纸片折叠使与重合，得到折痕，此时与重合，即，所以射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图1．小明发现通过折纸的方法可以得到两条互相垂直的线段（长方形自有的直角的两边除外），他的做法是指长方形纸片分别沿射线，折叠成如图所示的样子，此时点B，C，D分别落在点，，处，且和在同一条直线上，这样就得到了两条相互垂直的线段，请你写出这两条互相垂直的线段，并说明理由； 【类比再探】 （2）如图2，在四边形的纸片中，，，，连接，小亮将四边形的纸片进行折叠，首先折出了的角平分线，又将沿折叠，点的对应点恰好落在射线上，求线段的长度． 易错点3 轴对称中的光线反射问题 易错总结 1. 法线位置错误：反射问题中，误将反射面当成法线，忘记作法线辅助（法线垂直于反射面）。 2. 入射角与反射角混淆：将光线与反射面的夹角当作入射角，正确应为与法线的夹角。 3. 对称点作错：作某点关于反射面的对称点时，对称轴（反射面）选错或垂足找不准。 4. 多次反射漏段：光线经过多次反射时，未按路径依次作对称，导致光路画错。 注意事项： - 作法线：过入射点作反射面的垂线（法线），入射角=反射角。 - 对称转化：作光源关于反射面的对称点，连接对称点与入射点可确定光路。 - 多次反射：依次作对称点，将折线转化为直线求解。 - 画标准图：用直尺规范作图，标出入射角、反射角。 【例3】（25-26七年级上·山东济南·期末）光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 【变式】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 易错点4 利用轴对称求解将军饮马河问题 易错总结 1. 对称点选取错误：将定点关于直线作对称时，对称轴选错（应为动点所在直线），或两个点弄反。 2. 动点位置误判：认为动点只能在已知直线上某一侧，忽略直线延伸方向，导致最优点定错。 3. 多线段和转化不全：求多条折线段和（如A→P→Q→B）最小时，需连续作多次对称，每一步都易出错。 4. 几何画图不准：凭感觉画光路图不检验是否真正共线，导致最值结论不可靠。 注意事项： - 定直线：动点在哪个线上运动，就作哪个线的对称。 - 化折为直：作对称后，两点间直线段最短，交点即为最优点。 - 一次一对称：多动点问题按路径依次作对称，转化为两点间距离。 - 验证共线：判断最优点时，检查对称点与另一点连线是否与反射面相交。 - 分清类型：两定点一侧、两侧、河两侧等不同问题对称策略不同。 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）【问题呈现】如图①，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点都看作一个点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图②． 【解决问题】（1）按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①如图③，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短； ②请利用图④解决题干中的问题． 【能力迁移】（2）如图⑤，四边形EFGH是一个长方形的台球桌，有黑、白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH，反弹后再碰撞台边EF，最后击中白球？请你认真思考，将黑球移动的路线作在图上（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式】（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 一、单选题 1．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，是两个互相垂直的平面镜，，入射光线经过两次反射后，得到反射光线，若，则________． 5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点之间的距离的最小值是______________，点之间的距离的最大值是______________． 三、解答题 7．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 8．（25-26八年级上·云南临沧·期中）如图，是轴对称图形，对称轴是． (1)找出所有对应点、对应边、对应角． (2)如果，求和． (3)如果，求． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）光线镜面反射时，入射光线、反射光线、法线（经过入射点并垂直于反射面的直线）在同一平面内并且入射光线、反射光线在法线的两侧，反射角等于入射角．如图①，为一镜面，为入射光线、入射点为，为法线，为反射光线，此时． (1)如图①，求证：； (2)两平面镜，相交于点，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点． ①如图②，若两束光线，相交于点，请探究与之间的数量关系； ②如图③，若两束光线，所在的直线相交于点，与之间满足的等量关系是______． 10．（24-25七年级下·山西太原·月考）问题呈现 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点A，B分别落在点，处．如果，那么是多少度？ 方法应用 （2）①如图2，将长方形分别沿，折叠，点A落在点处，点B，C分别落在上的点，处，则的度数为________． ②如图3，将长方形分别沿，折叠，使点B，C分别落在点，处，，不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分，若，求的度数． 11．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）在中，点D是的边的中点． (1)如图1，连接，过点D作交延长线于点E，若的面积是12，，求线段的长； (2)如图2，点F是线段上一点，连接并延长交延长线于G．若，，求证：； (3)如图3，点M是延长线上一点，连接，连接，点H为所在直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接，若，当线段最大时，直接写出的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $