第二章 轴对称（知识清单）数学鲁教五四制2024版七年级上册

第二章 轴对称 1.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分_____________________，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线称为它的___________。 2.如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称___________________________，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 3.在轴对称图形或两个图形成轴对称的图形中，对应点所连的线段_______________________________，对应线段相等，________________。 4.线段是轴对称图形，_________________________的直线是它的一条对称轴。 5.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的_________________，简称____________。 6.线段垂直平分线上的点_____________________________________________。 7.线段垂直平分线的作图： ①分别以点 A和B 为圆心，_______________________， 两弧相交于 点C和D ； ②作直线 CD。 直线CD 就是线段AB的垂直平分线。 8.角是轴对称图形，________________________________是它的轴对称。 9.角的平分线上的点到________________________________。 10.角的平分线的作图：（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交_______________，交___________________。 ②分别以M,N为圆心，_______________________为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画______________，射线OC即为所求。 11.等腰三角形顶角的平分线、___________________、__________________重合（也称“_________________”），它们所在的直线是等腰三角形的______________。 12.等腰三角形的两个底角___________。 13.等边三角形是轴对称图形，有________条对称轴。 14.等边三角形的____________都相等、_____________都相等。等边三角形的每个角_______________。 15.三个角都相等的三角形是___________________。 16.如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的_______________。 17._______________________的等腰三角形是等边三角形。 18.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么______________________________________。 易错点1 垂直平分线与角平分线的混淆 错误：在做题中，混淆垂直平分线与角平分线性质的应用场景。 注意：明确垂直平分线和角平分线的性质与判定定理。 例题1如图是某地区三个仓库的示意图，记为A，B，C三地，分别连接，形成一个三角形．若想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，则中转仓的位置应选在 ． 易错点2 等腰三角形漏解 错误：在解等腰三角形的相关题型中，忘记分类讨论而漏解。 注意：解等腰三角形的相关题型中，不要忘记分类讨论。 例题2 等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为 ． 1．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 2．如图，在中，，在的内部求作一点，使得，且． 3．如图，在中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 4．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 6．等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（   ） A．4 B．6 C．4或6 D．10或12 7．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（   ） A．8 B． C．8或 D． 8．已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长分别为 ． 9．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 10．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 轴对称 1.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线称为它的对称轴。 2.如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 3.在轴对称图形或两个图形成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分线，对应线段相等，对应角相等。 4.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 5.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 6.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 7.线段垂直平分线的作图： ①分别以点 A和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧， 两弧相交于 点C和D ； ②作直线 CD。 直线CD 就是线段AB的垂直平分线。 8.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的轴对称。 9.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 10.角的平分线的作图：（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 11.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 12.等腰三角形的两个底角相等。 13.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 14.等边三角形的三条边都相等、三个角都相等。等边三角形的每个角都是60°。 15.三个角都相等的三角形是等边三角形。 16.如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等。 17.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 18.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 易错点1 垂直平分线与角平分线的混淆 错误：在做题中，混淆垂直平分线与角平分线性质的应用场景。 注意：明确垂直平分线和角平分线的性质与判定定理。 例题1如图是某地区三个仓库的示意图，记为A，B，C三地，分别连接，形成一个三角形．若想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，则中转仓的位置应选在 ． 【答案】的平分线的交点处（答案不唯一） 【解析】解：∵想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等， ∴中转仓的位置应选在的平分线的交点处． 故答案为：的平分线的交点处（答案不唯一） 易错点2 等腰三角形漏解 错误：在解等腰三角形的相关题型中，忘记分类讨论而漏解。 注意：解等腰三角形的相关题型中，不要忘记分类讨论。 例题2 等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为 ． 【答案】4或5/5或4 【解析】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则第三边长为4； ②腰长为5时，符合三角形三边关系，则第三边长为5． 所以第三边长为4或5． 故答案为：4或5 1．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【解析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 2．如图，在中，，在的内部求作一点，使得，且． 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，点为所求的点． 由作图可知，垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，在中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【解析】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图：连接， 由作图可知：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【解析】解：∵，垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（   ） A．4 B．6 C．4或6 D．10或12 【答案】B 【解析】解：∵等腰三角形的一边长为4，周长为16， ∴等腰三角形的三边长为4，4，8或6，6，4， 当三边为4，4，8时，，三角形不存在； 当三边为6，6，4时，，三角形存在， 故腰长为：6； 故选：B． 7．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（   ） A．8 B． C．8或 D． 【答案】C 【解析】解：根据题意画出图形，如图所示， 设等腰三角形的腰长， ，是腰上的中线， ． ①若的长为，则， 解得． 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． ②若的长为，则， 解得， 等腰三角形的腰长为， 等腰三角形的底长为． 经检验，均符合三角形三边关系． 故选： C． 8．已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长分别为 ． 【答案】或 【解析】解：根据题意，分类讨论： ①当底边长为cm，则腰长为：cm， ∵， ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm； ②当腰长为cm，则底边长为：cm， ∵ ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm 故答案为：或． 9．如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【解析】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．已知等腰三角形的底边长为，上的中线把其周长分为差是的两部分，求等腰三角形的周长． 【答案】 【解析】解：为的边上的中线， ． 分两种情况讨论： ①当时， 即． ， ， 周长为； ②当时， 即． ， ， 当时，三边长分别为， 而，不能构成三角形，故舍去． 综上，等腰三角形的周长为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$