1.1 探索勾股定理 导学案 2025-2026学生鲁教版（五四制）数学七年级上册

《探索勾股定理》导学案 一、学习目标： 1、认识并记住勾股定理； 2、会用勾股定理求直角三角形的边长。 二、预习指导： （一）情境导入 据说，有一天毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板是由全等的等腰直角三角形构成的，如左图。他圈出三个正方形，发现其中两个较小的正方形的面积之和正好等于较大的正方形的面积！你能验证这一结论吗？ 把等腰直角三角形改成一般的直角三角形，这一结论还成立吗？ （二）合作研讨 1、自主探究：如教材图1-2，小正方形的面积分别是多少，请填写下表，它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的? 教材图3-2 图3-2中SA= ，SB= ，Sc= 。 教材图3-3 图3-3中SA= ，SB= ，Sc= 。 问题：①两图中三个正方形A，B，C的面积有什么关系？ ②两图中三个正方形A，B，C围成的直角三角形的三边有什么关系？ 2、验证猜想：在下列的方格里完成教材“做一做”(1)的问题。 量一量，方格中的直角三角形三边长 做一做，自己动手画一个直角三角形 直角三角形三边长分别是 .这三边的平方的关系是 . 直角三角形三边长分别是 .这三边的平方的关系是 . 2、 得出结论： 通过上面的探索，我们得出勾股定理的内容是: 。 （三）数学文化 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前， 周朝数学家商高就提出“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国著名的勾股定理。不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯，因此勾股定理在西方又称毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯发现勾股定理比商高晚五百多年。　 三、巩固提升： 1．记住勾股定理的内容，完成下列判断： ( )若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长一定为10cm ( )若a,b,c是△ABC的三边，则a2+b2=c2 ( )若a,b,c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2 ( )若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2 ( )若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2 2．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（   ） A． B． C．D． 3．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 4．在中，，，，求的长． 5、利用勾股定理完成课前引例。 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？写出计算过程。 A C B 四、当堂检测 1．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1.5 m的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2 m，树高为多少米？ 思考：在△ABC中，已知AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。 实践：某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图    测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． 请计算：如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 导学案答案 1.××××√ 2.A、S=5+15=20，故不符合题意； B、S=8+6=14，故不符合题意； C、S=8−6=2，故不符合题意； D、S=15−5=10，故符合题意； 故选：D． 3.解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，SB−SA=SE=SC+SD， 又∵A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴SD=SB−SA−SC=16−7−3=6， 故答案为：6． 4.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=5， ． 答：的长是． 5.解：根据题意，， ∴， 答：钢索的长是10米。 当堂检测 1.解：在中，，，， ， ． 故选：B． 2.解：根据题意，， ∴， AC+BC=4m 答：树高是4米。 思考题：作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD=12．分两种情况： ①高AD在三角形内 在Rt△ADC中，由勾股定理得DC=9 在Rt△ADB中，由勾股定理得BD=16 ∴BC=BD+DC=16+9=25，∴S△ABC=0.5×25×12=150； ②高AD在三角形外 在Rt△ADC中，由勾股定理得DC=9 在Rt△ADB中，由勾股定理得BD=16 ∴BC=BD﹣DC=16﹣9=7，∴S△ABC=0.5×7×12=42． 故答案为150或42． 实践：如图所示，风筝沿方向再上升米到点处 连接   根据题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴他应该再放出米线． 学科网（北京）股份有限公司 $