第一章 三角形（复习课件）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的概念、性质及全等三角形的定义、判定与应用，通过单元知识图谱和考点串讲，将三角形内角和、三边关系、中线高线角平分线等性质与全等三角形的SSS、ASA等判定方法及实际应用有机串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“题型剖析-针对训练”分层设计，如“利用三角形全等测宽度”的实际问题培养应用意识，全等证明题强化推理能力，知识图谱构建发展几何直观。这种设计让学生从基础到综合逐步提升，教师可精准把握复习重点，有效巩固知识。

单元复习课件 第四章 三角形 鲁教版五四制·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解三角形及其内角、中线、高线、角平分线等概念，探索并掌握三角形的内角和及三角形三边之间的关系，了解三角形的稳定性。 3.培养学生合作意识，进一步提高分析的实际问题，领会数学的应用价值，培养学习数学的兴趣。 2.了解图形的全等，理解全等三角形的概念，经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的小组合作意识和合作能力； 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：三角形有关性质 1.不在同一直线上的三条线段首尾_____________所组成的图形叫做_______. 以点A，B，C为顶点的三角形记为_________，读作“三角形ABC”． 2.三角形的内角和为__________. 3.三角形的分类： 按角分： 按边分： 顺次相接 三角形 △ABC 180° 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 考点串讲 考点二：三角形有关性质 4.直角三角形的两个锐角互余． 5.三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 6.三角形的角平分线、中线、高线： ①三角形的三条角平分线交于一点；②三角形的三条中线交于一点、且中线平分面积、线段；③三角形的三条高线交于一点。 B A C F A B C D E F A B C E F D C B A E F O 重心 D B C A E F 垂心 内心 考点串讲 考点三：全等三角形 7.定义：能够完全重合的两个三角形．符号表示：“≌” 8.全等三角形的性质： ①对应边相等，对应角相等。 ②全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等。 考点四：全等三角形的判定 考点五：全等三角形的应用 利用三角形全等测距离。 边边边（SSS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边角边（SAS） 考点串讲 题型一、三角形的有关概念与性质 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，∠BAC的对边是(     ） A． BD B． DC C． BC D． AD C C 题型剖析 题型一、三角形的有关概念与性质 3．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是____________________________________________； （2）以AE为边的三角形有_____________________； （3）∠C分别是△AEC，△ADC，△ABC中_________，_________，_________边的对角； （4）∠B是_________，_________，_________的内角； ∠AED是_________，_________的内角． 6 △ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC △ABE，△ADE，△AEC AE AD AB △ABD △ABC △ABE △ADE △ABE 题型剖析 题型二、三角形的个数问题 B C 1．图中以AB为边的三角形的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．将两块三角板按如图方式叠放在一起，以BC为边的三角形共有(     ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 题型剖析 题型三、三角形的三边关系 1．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（　　） A．23cm、10cm、8cm B．15cm、23cm、8cm C．18cm，10cm、23cm D．18cm、10cm、8cm 2．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有(     ） A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种 C C 题型剖析 题型三、三角形的三边关系 3．已知a，b，c是△ABC的三边．且a=2，b=5． (1)求第三边c的取值范围； (2)若第三边c为奇数，判断△ABC的形状． （1）解：由三角形三边之间的关系可得：b−a<c<b+a， 即：5−2<c<5+2，∴3<c<7， ∴第三边c的取值范围为3<c<7； （2）解：∵第三边c为奇数，且3<c<7，∴c=5， ∴c=b，∴△ABC是等腰三角形． 题型剖析 题型四、三角形的高、中线、角平分线的综合应用 1．如图，∠1=∠2=∠3=∠4，则AD是△ABC的（　　） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 2．如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，以下线段是△ABE的高的是（　　） A．CD B．DE C．AC D．AD B C 题型剖析 题型四、三角形高、中线、角平分线综合应用 3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF=∠CBF B．∠ABC=∠CAD C．S△ABE=S△ACE D．AF=CF D 4．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=100°，则∠EAD的度数是（　　） A．25° B．45° C．50° D．75° A 题型剖析 题型四、三角形高、中线、角平分线综合应用 5.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线． (1)若∠B=32°，∠C=60°，求∠DAC和∠DAE的度数． (2)若AB⊥AC，AC=6，AB=8，BC=10，求AD的长． （1）解： ∵∠B=32°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=88°， ∵AE是角平分线， ∴ ∠EAC=12∠BAC=44°， ∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=60°， ∴∠DAC=90°−∠C=30°， ∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=14° （2）解：∵AB⊥AC，AC=6，AB=8，BC=10，AD是高， ∴ S△ABC=0.5×AB×AC=0.5BC×AD， 即AB×AC=BC×AD， ∴ AD=AB×AC/BC=6×8/10=24/5． 题型剖析 题型五、全等三角形的概念及表示方法 1.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC和△EAD全等，则下列表示正确的是（    ） A．△ABC≌△AED B．△ABC≌△EAD C．△ABC≌△DEA D．△ABC≌△ADE 2.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC和△EAD全等，则下列表示正确的是（    ） A．∠CAD B．∠D C．∠ACD D．∠ACB D B 题型剖析 题型五、全等三角形的概念及表示方法 3.下列说法中，正确的有（    ） ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． B 解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是AC和EC、BC和DC、AB和ED，对应角是∠A和∠E、∠B和∠D、∠ACB和∠ECD. 题型剖析 题型六、利用全等三角形的性质的计算 1.如图，△ABC≌△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点在一条直线上，BD=7cm，DE=3cm，∠A=35°，下列说法不正确的是（   ） A．AB=4cm B．∠ACE=90° C．BC=3cm D．∠CED=65° 2.如图，点B，E在线段AD上，△ABC≌△DEF，若AD=9，BE=6，则AB的长为（  ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 D B 题型剖析 题型六、利用全等三角形的性质的计算 3.如图，若点A，B，D，E在同一条直线上，△ABC≌△DEF， BE=3，AE=8，则BD的长是_________． 4.如图， 在△ABC中，∠ABC=36°，∠C=76°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数． 2 解：∵∠ABC=36°，∠C=76°， ∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=68°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=12×68°=34°， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， ∴∠ABE=180°−∠AEB−∠BAE=56°． 题型剖析 题型七、利用全等三角形的性质证明 1.如图，AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：∠DAC=∠CBD 2.如图，△ABE≌△ACD，D、E分别为AB和AC上的点．求证：BD=CE． 证明：∵△ABE≌△ACD， ∴AE=AD,AC=AB， ∵D、E分别为AB和AC上的点， ∴AC−AE=AB−AD， ∴BD=CE． 证明：∵△ABC≌△BAD， ∴∠DAB=∠CBA，∠CAB=∠DBA， ∴∠DAB−∠CAB=∠CBA−∠DBA， ∴∠DAC=∠CBD． 题型剖析 题型七、利用全等三角形的性质证明 3.如图，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE与BD交于点F，试探究AE与BD有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由. (1)求证：BF=EC； (2)请你判断AC和DF的位置关系，并说明理由． 解：AE=BD且AE⊥BD，理由如下： ∵△ACE≌△BCD， ∴AE=BD,∠A=∠B， 设AE与BC交于点G，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°， ∵∠A+∠AGC=90°，∠AGC=∠BGF， ∴∠BGF+∠B=90°， ∴∠BFG=90°， 即AE⊥BD． 题型剖析 题型八、全等三角形判定的条件 1.如图，已知AB=DE,BC=EF，要使△ABC≌△DEF，可以添加的一个条件是（　　） A．AD=CD B．AD=CF C．∠A=∠F D．DC=CF 2.如图，已知△ABC的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与△ABC全等的三角形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 B B 题型剖析 题型八、全等三角形判定的条件 3.如图，在△ABD和△ACD中，已知∠BAD=∠CAD，下列添加的条件中不能证明△BAD≌△CAD的是（　　） A．AB=AC B．∠ABD=∠ACD C．BD=CD D．∠BDA=∠CDA 4.如图，AB=BD， BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（　　） A．∠ABE=∠DBC B．∠C=∠E C．∠D=∠E D．∠A=∠D C A 题型剖析 题型九、全等三角形的证明 1.如图，AB=AC，BD=CD，则可推出（　　） A．△BAD≌△BCD B．△ABD≌△ACD C．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE 2.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由旋转，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA B B 题型剖析 题型九、全等三角形的证明 3.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF的依据 是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=（　　）cm． A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm D C 题型剖析 题型九、全等三角形的证明 5.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（　　） A．AD=DE B．AC=EC C．AD=CD D．CD=DE D 6.如图，点B，F，C，E在一条直线上，若AC=DF，AB∥DE,AC∥DF，BE=m,BF=5,FC=8，则m的值是（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 C 题型剖析 题型十、全等三角形的开放题 1.如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，有四个条件：①AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；④∠ABC=∠DEF．请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明（写出一种情况即可）． 解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， AB=DE BC=EF AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS）； 解：选择的三个条件是①③④． 说明：∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠ABC=∠DEF BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 题型剖析 题型十、全等三角形的开放题 2.如图，AC与BD相交于E，且AC＝BD． (1)请添加一个条件说明BC＝AD，这个条件可以是：____或_____； (2)请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明BC＝AD的理由． （1）解：∠A＝∠B或∠FCA＝∠FDB 或∠BCA＝∠ADB 或CE＝DE或BE＝AE， （2）方法一：选∠A＝∠B 在△FCA和△FDB中， ∠F=∠F ∠A=∠B AC=BD， ∴△FCA≌△FDB， ∴FC＝FD，FA＝FB， ∴FB﹣FC＝FA﹣FD ，    即BC＝AD， 方法二：选CE＝DE， ∵AC＝BD， 又∵CE＝DE， ∴AC﹣CE＝BD﹣DE，即AE＝BE， 在△BCE和△ADE中， BE=AE∠BEC=∠AEDCE=DE， ∴△BCE≌△ADE， ∴BC＝AD． 题型剖析 题型十一、三角形全等证明两直线的位置关系 1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且AF=CE，连接BE，DF，求证：BE∥DF． 证明：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF和△BCE中， {AD=CB∠DAF=∠BCEAF=CE ， ∴△ADF≌△CBE， ∴∠AFD=∠CEB ∴∠DFC=∠BEA， ∴DF∥BE． 题型剖析 题型十一、三角形全等证明两直线的位置关系 2.如图，D为△ABC的边BC上的一点，E为AD上一点，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AD⊥BC． 证明：在△ABE和△ACE中， ∠1=∠2 ∠3=∠4 AE=AE ∴△ABE≅△ACE(AAS)， ∴AB=AC， ∵ 在△ABD和△ACD中， AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∴ △ABD≅△ACD(SAS)， ∴∠ADB=∠ADC ∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=90°， ∴ AD⊥BC． 题型剖析 题型十二、全等三角形的性质与判定的综合 1.如图，OA=OB，AC=BD，且∠A=∠B，M是CD的中点，求证：OM平分∠AOB． 证明：连接OC、OD, 在△ACO和△BDO中，OA=OB∠A=∠B,AC=BD ∴△ACO≌△BDOSAS, ∴OC=OD,∠AOC=∠BOD． ∵M是CD的中点， ∴CM=DM 在△COM和△DOM中，OC=ODCM=DM,OM=OM ∴△COM≌△DOMSSS， ∴∠COM=∠DOM． ∴∠AOC+∠COM=∠BOD+∠DOM ∴∠AOM=∠BOM ∴OM平分∠AOB. 题型剖析 题型十二、全等三角形的性质与判定的综合 2.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF． (1)求证：△BDE≌△CDF； (2)若AE=13，AF=7，试求DE的长． （1）证明：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∵BE∥CF， ∴∠DBE=∠DCF， 在△BDE和△CDF中， ∠DBE=∠DCF BD=CD ∠BDE=∠CDF， ∴△BDE≌△CDF（ASA）； （2）解：∵AE=13，AF=7， ∴EF=AE−AF=13−7=6， ∵△BDE≌△CDF， ∴DE=DF， ∵DE+DF=EF=6， ∴DE=3． 题型剖析 题型十三、利用三角形全等测高度 1.如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是多少？ 解：如图，过点O作OG⊥地面于点G，则OG＝60cm， 由题意可知，∠ABO＝∠FEO，∠AOB＝∠FOC，AO＝FO， ∴△ABO≌△FEO（AAS）， ∴AB＝EF＝15cm， ∴嘉离地面的高度是OG﹣EF＝60﹣15＝45（cm）. 题型剖析 题型十三、利用三角形全等测高度 2.小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.9m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC=90°，则点C到OA的距离CE为（ ） A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m C 题型剖析 题型十四、利用三角形全等测宽度 1.小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度AB，设计了如图所示的方案．在河边选了一点O，然后在BO的延线上找一点C，使OC=OB，在C点沿与河边垂直的方向直走到点D，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得CD的长，就是河流的宽度AB，小明这种测量方法的原理是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS C 题型剖析 题型十四、利用三角形全等测宽度 2.如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°，∠MCB=40°，测得MB的长是15m，则B点到河对岸的目标A的距离为（ ） A．10m B．15m C．20m D．30m B 题型剖析 题型十五、全等三角形的综合题 1.已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN， (1)求∠AEB的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD=AB； (3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB=5,AC=3，S△ABE−S△ACE=2，求△BDE的面积． 题型剖析 1.如图所示，∠BAC的对边是（　　） A． BD B． DC C． BC D． AD 2.如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 C A 针对训练 3.下列三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（　　） A．23cm、10cm、8cm B．15cm、23cm、8cm C．18cm，10cm、23cm D．18cm、10cm、8cm 4.在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 C C 针对训练 5.已知a，b，c是△ABC的三边．且a=2，b=5． (1)求第三边c的取值范围； (2)若第三边c为奇数，判断△ABC的形状． （1）解：由三角形三边之间的关系可得：b−a<c<b+a， 即：5−2<c<5+2， ∴3<c<7， ∴第三边c的取值范围为3<c<7； （2）解：∵第三边c为奇数，且3<c<7， ∴c=5， ∴c=b， ∴△ABC是等腰三角形． 针对训练 6.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=100°，则∠EAD的度数是（     ） A．25° B．45° C．50° D．75° 7.如图，△ABC≌△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点在一条直线上，BD=7cm，DE=3cm，∠A=35°，下列说法不正确的是（     ） A．AB=4cm B．∠ACE=90° C．BC=3cm D．∠CED=65° A D 针对训练 8.如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE． 证明：在△ABC和△ADE中， AB=AD BC=DE AC=AE ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 针对训练 9.如图，△ABC≌△EFD且AB=EF，CE=2.5，CD=2，∠A=45°． (1)求AC的长度． (2)求∠E的度数． （1）解：∵CE=2.5，CD=2， ∴DE=4.5， ∵△ABC≌△EFD， ∴AC=DE=4.5； （2）解：∵△ABC≌△EFD ∴∠E=∠A=45°． 针对训练 10.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE． (1)求证：BD=DE+CE； (2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE． （1）证明：∵△BAD≌△ACE， ∴AD=CE，BD=AE， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴AE=AD+DE， ∴BD=DE+CE； （2）解：当∠ADB=90°时，BD∥CE， ∵△BAD≌△ACE， ∴∠ADB=∠E=90°， ∴∠BDE=∠E=90° ∴BD∥CE． 针对训练 11.如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：△DEF≌△ABC． 证明：∵DA=EB， ∴DA+AE=AE+EB，即 DE=AB， 在△DEF和△ABC中， EF=BC DF=AC DE=AB， ∴△DEF≌△ABC（SSS）． 针对训练 11.如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED． 证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠C+∠CEA＝90°， ∠CEA+∠DEB＝90°， ∴∠C＝∠DEB， 在△ACE和△BED中， ∵∠A=∠B ∠C=∠DEB CE=ED， ∴△ACE≌△BED（AAS）． 针对训练 12.如图，在▱ABCD中，延长边DA至点E，使得AE=AD，连接CE交AB于点F，求证：△AEF≌△BCF． 证明：在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC， ∴∠E=∠BCF， ∵AE=AD， ∴AE=BC， 在△AEF与△BCF中， ∠E=∠BCF ∠AFE=∠CFB AE=BC ∴△AEF≌△BCF（AAS）． 针对训练 三角形 三角形的基本要素及性质 全等三角形 三角形的概念、表示、分类 三角形的内角关系、三边关系 全等三角形的定义、性质 全等的条件 全等三角形的作图 全等三角形的应用 SSS SAS AAS ASA 课堂总结 感谢聆听! $