第一章 三角形-【学习帮】2026-2027学年七年级上册数学同步计算专项练习（鲁教版五四制）

**基本信息** 聚焦三角形与全等三角形核心知识，通过分层训练构建从性质到判定再到应用的完整逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形内角和与分类|训练1-4（4专项）|基础题直接计算，提升题含角关系推导，拓展题涉及比例与代数式|从内角和基本性质到按角分类，再到直角三角形互余性质，层层递进| |三角形重要线段|训练6-9（4专项+1综合）|基础题考查定义应用，提升题结合图形综合，拓展题涉及面积与位置关系|从单一中线、角平分线、高到三线综合，体现从简单到复杂的认知过程| |全等三角形|训练13-23（11专项+综合）|基础题识别对应关系，提升题判定应用，拓展题解决实际测距离问题|从全等图形性质到SSS/ASA/AAS/SAS判定，再到实际应用，形成完整知识体系|

鲁教版（五四制）七年级上册 数学计算专项训练 第一章 三角形 训练1：三角形内角和基础计算（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数。 2. 在△ABC中，∠A=80°，∠C=30°，求∠B的度数。 3. 在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，求∠A的度数。 4. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，求∠C的度数。 5. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=40°，求∠C的度数。 6. 在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=90°，求∠A和∠B的度数。 7. 在△ABC中，∠A=∠B，∠C=80°，求∠A的度数。 8. 在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求各内角的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求∠A、∠B、∠C的度数。 10. 在△ABC中，∠A+∠B=∠C，求∠C的度数。 11. 在△ABC中，∠A+∠B=2∠C，求∠C的度数。 12. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=∠C，求∠C的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 13. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5，求各内角的度数。 14. 在△ABC中，∠A比∠B大20°，∠C比∠B小10°，求各内角的度数。 ## 训练2：三角形内角和综合（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求∠C的度数。 2. 如图，在△ABC中，∠C=72°，∠A=50°，BD平分∠ABC，求∠ABD的度数。 3. 如图，AD与BC相交于点O，∠A=35°，∠B=40°，求∠C和∠D的关系。 4. 如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠1=∠2，求∠P的度数。（提示：∠1=∠2，∠P在三角形内） 5. 如图，点P是△ABC内一点，∠ABC=80°，∠1=∠2，求∠P的度数。 6. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，CD⊥AB于D，求∠ACD的度数。 7. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，∠C的平分线交AB于D，求∠ADC的度数。 8. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，AD是BC边上的高，求∠BAD的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AD与BC相交于点O，∠A=∠C，∠B=50°，求∠D的度数。 10. 如图，AD与BC相交于点O，∠A=∠B，∠C=∠D，判断AB与CD是否平行，请说明理由。 11. 在△ABC中，∠BAC:∠B:∠C=3:1:1，AD、AE将∠BAC三等分，点D、E在BC上，求∠ADE的度数。 12. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=50°，AD是角平分线，求∠ADB的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 15. 在△ABC中，∠A=60°，∠B和∠C的角平分线交于点O，求∠BOC的度数。 16. 在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，求∠BPC的度数。 ## 训练3：三角形按角分类（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 一个三角形两个内角的度数分别是30°和60°，这个三角形是什么三角形？ 2. 一个三角形两个内角的度数分别是40°和70°，这个三角形是什么三角形？ 3. 一个三角形两个内角的度数分别是50°和20°，这个三角形是什么三角形？ 4. 如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是______三角形。 5. 如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是______三角形。 6. 如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是______三角形。 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，求∠B的度数。 8. 判断：一个三角形中可以有两个直角吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，求这两个锐角的度数。 10. 在直角三角形中，两个锐角相等，求这两个锐角的度数。 11. 在△ABC中，∠A=36°，∠B=54°，按角分类，△ABC是什么三角形？ 12. 在△ABC中，∠A=120°，∠B=30°，按角分类，△ABC是什么三角形？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 17. 一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，按角分类，这个三角形是什么三角形？ 18. 在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，按角分类，△ABC是什么三角形？ ## 训练4：直角三角形两锐角互余（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，求∠B的度数。 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求∠B的度数。 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，求∠B的度数。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=72°，求∠B的度数。 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，求∠A和∠B的度数。 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=20°，求∠A和∠B的度数。 7. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠1=35°，求∠A的度数。 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠2=55°，求∠B的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠ADB=90°，∠1=∠B，按角分类，△ABC是什么三角形？为什么？ 10. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，图中∠1与∠A有什么关系？∠2与∠A呢？ 11. 如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？请说明理由。 12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=3∠B，求∠A和∠B的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 19. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，求∠B的度数（用含α的代数式表示）。 20. 在△ABC中，∠A=∠B+∠C，按角分类，△ABC是什么三角形？为什么？ ## 训练5：三角形按边分类与三边关系（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 等腰三角形两边长分别为5cm和8cm，求第三边的长。 2. 等腰三角形两边长分别为6cm和6cm，求第三边的取值范围。 3. 下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能摆成三角形吗？ （1）3cm，4cm，5cm；（2）8cm，7cm，15cm；（3）13cm，12cm，20cm；（4）5cm，5cm，11cm。 4. 三角形两边长分别为3和5，第三边的长可以是8吗？可以是2吗？说说你的理由。 5. 在△ABC中，a=4，b=2，已知第三边c的长是偶数，求c的长。 6. 等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边的长是多少？为什么？ 7. 一个等腰三角形的周长为20cm，底边长为8cm，求腰长。 8. 一个等腰三角形的周长为18cm，腰长为7cm，求底边长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 小亮想用长度均为奇数的三根小棒摆成一个三角形，其中两根小棒的长度分别为9cm和3cm，第三根小棒的长度可以是多少厘米？ 10. 在△ABC中，AB=AC，BC=6cm，求AB的取值范围。 11. 一个三角形的三边长分别为2，4，x，求x的取值范围。 12. 一个三角形的三边长分别为x，x+1，x+2，且x为正整数，求x的最小值。 3、 拓展题（共2题）【拓】 21. 一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为8cm，求其他两边的长。 22. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a=3，b=4，c为整数，求c的值及对应的三角形周长。 ## 训练6：三角形的中线（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，AE是△ABC的中线，BE=5cm，求CE和BC的长。 2. 如图，AD是△ABC的中线，BC=12cm，求BD和CD的长。 3. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，若BC=8cm，则BD=______cm，CD=______cm。 4. 如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，若BE=3.5cm，则CE=______cm，BC=______cm。 5. 三角形的三条中线交于一点，这点叫作三角形的______。 6. 在△ABC中，D是BC的中点，S△ABD=12cm²，求S△ACD。 7. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=7cm，AC=5cm，△ABD的周长为15cm，求AD的长。 8. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABC的周长为26cm，AB=8cm，AC=10cm，求BD的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BC=12cm，求DE的长。 10. 在△ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，连接AD、BE交于点O，若△ABC的面积为24cm²，求△AOB的面积。 11. 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠B=50°，求∠BAD的度数。 12. 如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AC中点，若AB=6cm，DE=3cm，求AB与DE的位置关系。 3、 拓展题（共2题）【拓】 23. 在△ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，F是AC的中点，连接DE、EF、FD，若△ABC的周长为30cm，求△DEF的周长。 24. 三角形的重心将每条中线分成两段，较长段与较短段的比是多少？（写出结论即可） ## 训练7：三角形的角平分线（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，求∠BAD和∠DAC的度数。 2. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠BAD=35°，求∠BAC的度数。 3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，求∠ABD的度数。 4. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数。 5. 如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，且DE∥BC，求∠EDC的度数。 6. 在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，∠C的平分线交AB于D，求∠ACD的度数。 7. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=70°，∠C=40°，求∠ADB的度数。 8. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，∠C的平分线交AB于D，求∠ACD的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数。 10. 在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，求∠BPC的度数。 11. 在△ABC中，AD是角平分线，∠B=2∠C，∠BAD=30°，求∠C的度数。 12. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于E，求∠CDE的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 25. 在△ABC中，∠A=α，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，求∠BPC的度数（用含α的代数式表示）。 26. 在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，求∠P的度数（用含α的代数式表示）。 ## 训练8：三角形的高（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，在△ABC中，AF⊥BC于F，指出图中哪些线段是三角形的高。 2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，指出AB边上的高是哪条线段。 3. 在锐角三角形中，三条高都在三角形的______部。 4. 在直角三角形中，两条直角边上的高分别与______重合。 5. 在钝角三角形中，有______条高在三角形的外部。 6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，三条高交于点O，点O是三角形的______心（填写名称）。 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求斜边AB上的高CD的长度。 8. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求BC边上的高AD的长度。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AD是△ABC的中线，AF⊥BC，垂足为F。 （1） AF是图中哪几个三角形的高？ （2） 图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由。 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，AB=8，求CD的长。 11. 在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求BC边上的高。 12. 在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求斜边AB上的高CD的长度。 3、 拓展题（共2题）【拓】 27. 在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG⊥AC于G，求证：DE+DF=BG。 28. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，求证：AC²+BC²=AB²（用等面积法验证勾股定理）。 ## 训练9：三角形三条重要线段的综合（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高所在的直线交于一点，分别叫作三角形的______、______、______。 2. 如图，在△ABC中，AD是中线，∠BAD=∠DAC，则△ABC是什么三角形？为什么？ 3. 如图，在△ABC中，AD是高，∠BAD=∠DAC，则AD是△ABC的什么线？ 4. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，请判断下列说法是否正确： （1）BD=CD；（2）∠BAE=∠EAC；（3）∠AFB=90°。 5. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数。 6. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，AD是BC边上的高，AE是角平分线，求∠DAE的度数。 7. 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=65°，求∠BAD的度数。 8. 在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，若CD=3，求DE的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若AD=4cm，BC=6cm，求AB的长。 10. 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，BD是AC边上的中线，求BD的长。 11. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是角平分线，AE是高，求∠DAE与∠C的关系。 12. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。 3、 拓展题（共2题）【拓】 29. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，∠C的平分线交AB于D，过D作DE∥BC交AC于E，求∠ADE的度数。 30. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，求∠BAD的度数。 ## 训练10：三角形内角和综合提升（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，求∠B的度数。 2. 在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=60°，求∠A和∠B的度数。 3. 在△ABC中，∠A=∠B+∠C，求∠A的度数。 4. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，求各内角的度数。 5. 在△ABC中，∠A=80°，∠B比∠C大10°，求∠B和∠C的度数。 6. 在△ABC中，∠A+∠B=120°，∠B+∠C=150°，求∠A、∠B、∠C的度数。 7. 在△ABC中，∠A=50°，∠B的度数是∠C的2倍，求∠B和∠C的度数。 8. 在△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，求∠C的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 在△ABC中，∠BAC:∠B:∠C=3:1:1，AD、AE将∠BAC三等分，点D、E在BC上，求∠ADE的度数。 10. 如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔。当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB的度数是多少？ 11. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数。 12. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，∠C的平分线交AB于D，求∠ADC的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 31. 在△ABC中，∠A=α，∠B的平分线与∠C的平分线交于点P，用含α的代数式表示∠BPC的度数。 32. 在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点P，求∠BPC的度数。 ## 训练11：三角形内角和与平行线综合（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，AB∥CD，∠A=50°，∠C=40°，求∠AEC的度数。 2. 如图，AD与BC相交于点O，∠A=30°，∠B=45°，求∠C和∠D的关系。 3. 如图，AB∥CD，∠A=55°，∠C=65°，求∠AEC的度数。 4. 如图，AD∥BC，∠A=40°，∠D=60°，求∠B和∠C的度数。 5. 如图，AB∥CD，∠A=70°，∠C=50°，求∠AEC的度数。 6. 如图，AD与BC相交于点O，∠A=∠C，∠B=60°，求∠D的度数。 7. 如图，AB∥CD，∠1=35°，∠2=45°，求∠3的度数。 8. 如图，AD∥BC，∠A=60°，∠C=30°，求∠B和∠D的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AD与BC相交于点O，∠A=∠B，∠C=∠D，AB与CD平行吗？请说明理由。 10. 如图，AB∥CD，点E在AD上，∠A=50°，∠C=30°，求∠AEC的度数。 11. 如图，AD∥BC，∠A=2∠B，∠D=3∠C，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数。 12. 如图，AB∥CD，∠B=40°，∠D=60°，点E在BD上，求∠BED的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 33. 如图，AB∥CD，点P在AB和CD之间，∠PAB=30°，∠PCD=45°，求∠APC的度数。 34. 如图，AB∥CD，∠ABP=25°，∠CDP=35°，求∠BPD的度数。 ## 训练12：三角形三边关系综合（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 一个等腰三角形的周长为24cm，腰长为7cm，求底边长。 2. 一个等腰三角形的周长为30cm，底边长为8cm，求腰长。 3. 在△ABC中，AB=5，AC=7，求BC的取值范围。 4. 在△ABC中，AB=8，BC=3，求AC的取值范围。 5. 下列各组数能作为三角形三边长的是（ ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，10 D．6，8，14 6. 一个三角形的三边长分别为3，4，a，且a为整数，则a可以取几个值？ 7. 等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为10cm，求它的周长。 8. 一个三角形的周长为15，三边均为整数，且最长边为7，求三边的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 已知三角形三边长分别为2，a-1，4，求a的取值范围。 10. 等腰三角形的周长为18cm，底边长为y cm，腰长为x cm，写出y与x的关系式并求x的取值范围。 11. 在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，求证：AB>AD。 12. 在△ABC中，AB=AC，BC=8，求AB的取值范围。 3、 拓展题（共2题）【拓】 35. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AD=4，求AB的取值范围。 36. 在△ABC中，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=4，求BC的长（用勾股定理求解）。 ## 训练13：全等图形的识别与性质（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 能够完全重合的两个图形称为______。 2. 能够完全重合的两个三角形叫作______。 3. 如图，△ABC≌△DEF，请找出对应顶点、对应边和对应角。 4. 全等三角形的对应边______，对应角______。 5. 如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求△AEC各内角的度数。 6. 如图，△ABC≌△BAD，AB=6，BC=4，AC=5，求BD和AD的长。 7. 如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，求∠F的度数。 8. 如图，△ABC≌△DEF，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D=80°，求∠C的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，△ABC≌△DCB，若AB=7，AC=5，BC=8，求DC和BD的长。 10. 如图，△ABC≌△DEF，∠A=2∠B，∠C=60°，求△DEF各内角的度数。 11. 如图，△ABC≌△DEC，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，求DE的长和∠DEC的度数。 12. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，△ABC≌△A′B′C′，求∠C′的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 37. 如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=40°，∠B=70°，∠C=70°，求∠EAD的度数。 38. 如图，△ABC≌△DEF，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，若△ABC的周长为30，求△DEF的周长。 ## 训练14：全等三角形的对应边与对应角（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠B=60°，求∠F的度数。 2. 如图，△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6cm，求∠C′和B′C′的长。 3. 如图，△ABC≌△DEF，AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求DE和∠D的度数。 4. 如图，△ABC≌△BAD，∠C=∠D=90°，AB=10，BC=6，求AD的长。 5. 如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，EF=8cm，求BC的长和∠F的度数。 6. 如图，△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF，∠A=80°，BC=12，求EF的长和∠D的度数。 7. 如图，△ABC≌△DCB，∠ABC=∠DCB=70°，∠A=40°，求∠D的度数。 8. 如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=30°，∠ABC=80°，求∠ADE的度数。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF，若AB=6，BC=8，AC=10，求△DEF的周长。 10. 如图，△ABC≌△A′B′C′，∠A=3∠B，∠C=4∠B，求△A′B′C′各内角的度数。 11. 如图，△ABC≌△DEC，∠ABC=∠DEC=90°，AB=4，BC=3，求CD和CE的长。 12. 如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=45°，∠ABC=65°，求∠DAE的度数。 3、 拓展题（共2题）【拓】 39. 如图，△ABC≌△DEF，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D=2∠B，∠C=40°，求∠F的度数。 40. 如图，△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为36，AB=12，AC=15，求DE、EF、DF的长。 ## 训练15：边边边（SSS）判定（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，AB=AC，D是BC的中点，△ABD与△ACD全等吗？为什么？ 2. 如图，AB=DE，AC=DF，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 3. 如图，AB=AC，BD=CD，△ABD与△ACD全等吗？为什么？ 4. 如图，AB=EF，AC=ED，BD=FC，△ABC与△EFD全等吗？为什么？ 5. 如图，AB=AD，BC=DC，∠BAC与∠DAC有什么关系？为什么？ 6. 如图，AB=CD，AD=BC，∠A与∠C相等吗？为什么？ 7. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，点A在BD的垂直平分线上吗？为什么？ 8. 如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE，∠BAD与∠CAE相等吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AB=AC，AD是中线，△ABD≌△ACD吗？请说明理由。 10. 如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF，△ABC与△DEF全等吗？请说明理由。 11. 如图，AB=AD，BC=CD，AC与BD有怎样的位置关系？请说明理由。 12. 用尺规作一个三角形，使它的三边分别等于已知线段a、b、c。 3、 拓展题（共2题）【拓】 41. 如图，AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=40°，求∠D的度数。 42. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠BAD=30°，求∠B的度数。 ## 训练16：SSS判定的应用与尺规作图（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。这样合理吗？为什么？ 2. 如图，已知线段a，用尺规作△ABC，使AB=a，BC=AC=2a。 3. 如图，AB=AC，BD=CD，AE是∠BAC的平分线吗？为什么？ 4. 如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF，∠B=∠E吗？为什么？ 5. 如图，AD=BC，AB=CD，∠A+∠D=180°吗？为什么？ 6. 如图，AB=AC，BD=CD，∠BAD与∠CAD有什么关系？为什么？ 7. 如图，AB=DE，BC=EF，AF=DC，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 8. 用SSS判定两个三角形全等时，需要______个条件。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE，点D在BC上，求证：∠B=∠C。 10. 如图，AB=DE，BC=EF，AF=DC，∠A=∠D吗？为什么？ 11. 如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD互相垂直吗？请说明理由。 12. 如图，用尺规作∠AOB的平分线时，为什么在OA和OB上分别截取OD=OE，再以D、E为圆心以大于1/2DE的长为半径画弧？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 43. 如图，AB=AC，BD=CD，E是AD上一点，求证：BE=CE。 44. 如图，AB=AC，D是BC的中点，E是AD上一点，求证：∠BED=∠CED。 ## 训练17：角边角（ASA）判定（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？ 2. 如图，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 4. 如图，AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C，△ABE与△CDE全等吗？为什么？ 5. 如图，∠A=∠D，∠B=∠F，AB=DF，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 6. 如图，AB与CD相交于点O，∠A=∠D，OA=OD，△AOC与△DOB全等吗？为什么？ 7. 如图，AB∥CD，∠A=∠C，AB=CD，△ABE与△CDE全等吗？为什么？ 8. 如图，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，BC=4，求EF的长。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，∠A=∠B，AC与BD相等吗？为什么？ 10. 如图，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，AC=DF吗？为什么？ 11. 如图，AB∥CD，AE=CE，∠A=∠C，△ABE与△CDE全等吗？为什么？ 12. 如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使它的一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a。 3、 拓展题（共2题）【拓】 45. 如图，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∠B=∠C，△ABD与△ACE全等吗？为什么？ 46. 如图，AB∥CD，AE=CE，∠A=35°，∠C=35°，求∠B的度数。 ## 训练18：角角边（AAS）判定（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______一、基础题（共8题）【基】 1. 如图，D是线段BE的中点，∠C=∠F，∠B=∠E，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 2. 如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 3. 如图，D是线段BE的中点，∠C=∠F，∠B=∠E，AC与DF相等吗？为什么？ 4. 如图，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，△ABE与△CDE全等吗？为什么？ 5. 如图，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，∠C=∠F吗？为什么？ 6. 如图，AD与BC相交于点O，∠A=∠B，∠C=∠D，AB与CD平行吗？为什么？ 7. 如图，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AE与CE相等吗？为什么？ 8. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，∠D=30°，∠E=70°，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 4、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，△ABE与△CDE全等吗？请说明理由。 10. 如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∠E=90°吗？为什么？ 11. 如图，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，BC=EF吗？为什么？ 12. 如图，D是BE的中点，∠C=∠F，∠B=∠E，找出图中两对全等三角形，并说明理由。 5、 拓展题（共2题）【拓】 13. 如图，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，求∠C与∠F的关系。 14. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，求证：BD=CE。 ## 训练19：边角边（SAS）判定（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，AB与CD相交于点O，OA=OB，OD=OC，△AOD与△BOC全等吗？为什么？ 2. 如图，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 3. 如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，△ABD与△ACD全等吗？为什么？ 4. 如图，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，△AOB与△COD全等吗？为什么？ 5. 如图，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，∠B与∠E相等吗？为什么？ 6. 如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，BD=CD吗？为什么？ 7. 如图，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD，AC与BD相等吗？为什么？ 8. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，BC与DE相等吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE，∠B=∠D吗？为什么？ 10. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠B与∠D相等吗？请说明理由。 11. 如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，AC=BD吗？为什么？ 12. 如图，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，BD=CE吗？为什么？ 3、 拓展题（共2题）【拓】 15. 如图，AB=AC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，求证：BD=CE。 16. 如图，AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE，∠B=70°，求∠D的度数。 ## 训练20：SAS判定的应用（混合专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？△ACB与△ADB呢？请说明理由。 2. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠B与∠D相等吗？请说明理由。 3. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，BC=DE吗？为什么？ 4. 如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB，△ABC与△ABD全等吗？为什么？ 5. 如图，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？BC与EF相等吗？为什么？ 6. 如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD是△ABC的什么线？为什么？ 7. 如图，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD，△AOC与△BOD全等吗？为什么？ 8. 如图，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∠B=∠D吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？请说明理由。 10. 如图，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，BD=CE吗？请说明理由。 11. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，∠C=∠E吗？为什么？ 12. 如图，小颖作业本上画的三角形被污染，她想重新画出一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办？请说明理由。 3、 拓展题（共2题）【拓】 17. 如图，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∠B=65°，求∠D的度数。 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，E是AC上一点，AB=DE，∠BAC=∠BDE，求证：△ABC≌△DEB。 ## 训练21：全等三角形判定综合（添加条件）（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，已知AB=AD，要使△ABC与△ADC全等，还需要增加一个什么条件？ 2. 如图，AC与BD相交于点O，∠A=∠D，要使△AOB与△DOC全等，还需要增加一个什么条件？ 3. 如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBA=∠DAB，找出图中与AC相等的线段，与∠C相等的角，并说明理由。 4. 如图，已知AB=DE，AC=DF，要使△ABC与△DEF全等，还需要增加一个条件：______或______。 5. 如图，AB与CD相交于点O，∠D=∠B=90°，要使△AOD与△COB全等，还需要增加一个什么条件？ 6. 如图，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，要使△ABD与△ACE全等，只需增加一个什么条件？为什么？ 7. 如图，∠A=∠D，∠B=∠E，要使△ABC与△DEF全等，还需要增加一个什么条件？ 8. 如图，AB=AC，∠B=∠C，△ABD与△ACE全等吗？请说明理由。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。 （1） △AOD与△BOC全等吗？请说明理由。 （2） △ADC与△BCD全等吗？为什么？ 10. 如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，△ABC与△ADE全等吗？请说明理由。 11. 如图，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，BD=CE，∠B=∠C吗？为什么？ 12. 如图，AB=AC，BD=CD，E是AD上一点，求证：BE=CE。 3、 拓展题（共2题）【拓】 19. 如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠BAD=∠CAE。 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点，BE=CF，求证：DE=DF。 ## 训练22：利用全等三角形测距离（SAS）（基础专项） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长。她先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度。DE的长度就是A、B间的距离。你能说明其中的道理吗？ 2. 如图，电线杆MN直立在水平的地面上，缆绳AB、AC将它加固。小明测得BN=CN后，就说缆绳AB、AC的长一定相等。请说明理由。 3. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，连接MN，测得MN=20m，求A、B两点间的距离。 4. 如图，把两根钢条AB、CD的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）。只要量得AC的长度，就可知工件的内径BD。你能说明其中的道理吗？ 5. 如图，要测量A、B两点间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使DC=BC，再过点D作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A、C、E在同一条直线上，这时测得的DE的长度就是A、B两点间的距离。你能说出这是为什么吗？ 6. 如图，小明在河的北岸，他想测量河的宽度。他在北岸选取一点A，在河的南岸选取一点B，使AB⊥河岸，在B点正北方向取点C，使BC=AB，在C点观察B点，确定D点使A、B、D在一条直线上，量出CD的长即为河宽。请说明理由。 7. 如图，工人师傅要测量工件内径，他用一个卡钳，卡钳两脚的中点O固定，量得AC=5cm，求工件的内径BD。 8. 利用全等三角形测距离的道理是______。 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，要测量池塘两岸A、B两点的距离，在AB的垂线BD上取两点C、D，使CD=CB，再过D作BD的垂线DE，使A、C、E三点共线，测得DE=30m，求A、B间的距离。 10. 如图，某战士要测量河宽，他在河岸上选一点B，在河对岸选一点A，使AB⊥河岸，他沿河岸走50步到点C，再继续走50步到点D，在D点观察C点，确定E点使A、C、E三点共线，测得DE=40步，求河宽（用步数表示）。 11. 如图，要测出A、B间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作DG⊥BF，使A、C、E共线，为什么DE=AB？ 12. 如图，在一次战役中，我军阵地与敌军堡垒隔河相望。一名战士面向堡垒站好，调整帽子使视线通过帽檐正好落在堡垒底部；然后保持姿态转身，视线落在了自己所在岸的某一点上，量出这点与自己的距离即为河宽。请说明道理。 3、 拓展题（共2题）【拓】 21. 如图，小明要测量河宽AB，他在河岸上取一点C，使AC⊥AB，在AC上取一点D，使AD=DC，过D作DE⊥AC，使B、D、E共线，量得DE=25m，求河宽。 22. 如图，在池塘两侧有A、B两点，请设计一个方案测出A、B间的距离，并说明理由。 ## 训练23：利用全等三角形测距离（综合）（滚动综合） 建议用时：15分钟 实际用时：______ 1、 基础题（共8题）【基】 1. 如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但无法直接量出A、B间的距离。请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并说明理由。 2. 如图，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，△AOD与△COB全等吗？为什么？ 3. 如图，AB=CD，AB∥CD，△ABE与△CDE全等吗？为什么？ 4. 如图，AC与BD相交于点O，OA=OB，OC=OD，AC=BD吗？为什么？ 5. 如图，AB=CD，∠A=∠C，∠B=∠D，△ABE与△CDE全等吗？为什么？ 6. 如图，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，AB与CD相等吗？为什么？ 7. 如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，BC=DC吗？为什么？ 8. 如图，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，∠B与∠E相等吗？为什么？ 2、 提升题（共4题）【提】 9. 如图，要测量A、B两点间的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再过D作BF的垂线，使A、C、E共线，测得DE=16m，求AB的长。 10. 如图，某公园有一水池，A、B两点在水池两侧，请设计一种利用全等三角形测AB距离的方案，并说明理由。 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠BAD=∠CAD吗？为什么？ 12. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC。 3、 拓展题（共2题）【拓】 23. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C。 24. 如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D，点B、E、C、F在一条直线上，求证：BE=CF。 学科网（北京）股份有限公司 $ # 鲁教版（五四制）七年级上册 数学计算专项训练 参考答案及详细解析 ## 训练1：三角形内角和基础计算 ### 一、基础题 1. ∠C=180°-50°-60°=70°。 2. ∠B=180°-80°-30°=70°。 3. ∠A=180°-45°-75°=60°。 4. ∠C=180°-35°-55°=90°。 5. ∠C=180°-90°-40°=50°。 6. 设∠B=x，则∠A=2x。由三角形内角和：2x+x+90=180，3x=90，x=30。∠A=60°，∠B=30°。 7. 设∠A=∠B=x，则x+x+80=180，2x=100，x=50。∠A=50°。 8. 设各内角为x，则3x=180，x=60°。各内角均为60°。 ★易错：三角形内角和为180°，不要与四边形内角和360°混淆。 ### 二、提升题 9. ∠A+3∠A+5∠A=180°，9∠A=180°，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°。 10. ∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°。 11. ∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=2∠C，则3∠C=180°，∠C=60°。 12. ∠A+∠B+∠C=180°，70°+∠C+∠C=180°，2∠C=110°，∠C=55°。 ### 三、拓展题 13. 设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，3x+4x+5x=180，12x=180，x=15。∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°。 14. 设∠B=x，则∠A=x+20，∠C=x-10。x+20+x+x-10=180，3x+10=180，3x=170，x≈56.7°，∠A≈76.7°，∠C≈46.7°。 ★易错：设未知数时要找准等量关系。 ## 训练2：三角形内角和综合 ### 一、基础题 1. ∠C=180°-60°-45°=75°。 2. ∠ABC=180°-50°-72°=58°，∠ABD=1/2×58°=29°。 ★易错：角平分线平分角，不要忘记除以2。 3. ∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以∠A+∠B=∠C+∠D。∠C+∠D=35°+40°=75°。 4. ∠1+∠2+∠P=180°，2∠1+∠P=180°，∠P=180°-2∠1。 5. ∠1+∠2+∠P=180°，2∠1+∠P=180°，∠P=180°-2∠1=180°-80°=100°。 6. ∠ACD=90°-∠A=90°-45°=45°。 7. ∠C=180°-30°-70°=80°，∠ACD=40°，∠ADC=180°-30°-40°=110°。 ★易错：∠ADC在△ADC中，不要与∠BDC混淆。 8. ∠B=∠C=(180°-40°)÷2=70°，∠BAD=90°-∠B=20°。 ### 二、提升题 9. ∠A+∠B=∠C+∠D（对顶角+内角和），35°+50°=∠C+∠D。又∠A=∠C=35°，所以∠D=50°。 10. ∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠A=∠B，∠C=∠D，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠A=∠C+∠C，∠A=∠C。同位角相等，AB∥CD。 11. ∠A:∠B:∠C=3:1:1，设∠A=3x，∠B=x，∠C=x，5x=180，x=36，∠A=108°，∠B=∠C=36°。AD、AE将∠BAC三等分，∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°。∠ADE=180°-36°-36°=108°。 ★易错：三等分后每个角为36°，∠ADE是△ADE的内角。 12. ∠BAC=80°，∠BAD=40°，∠ADB=180°-40°-50°=90°。 ### 三、拓展题 13. ∠BOC=90°+1/2∠A=90°+30°=120°。 14. ∠BPC=90°+1/2∠A=90°+30°=120°。 ★易错：角平分线交点的角度公式：∠BPC=90°+1/2∠A。 ## 训练3：三角形按角分类 ### 一、基础题 1. 第三个角=180°-30°-60°=90°，直角三角形。 2. 第三个角=180°-40°-70°=70°，锐角三角形（三个角均小于90°）。 3. 第三个角=180°-50°-20°=110°，钝角三角形。 4. 锐角三角形。解析：每个角=60°。 5. 直角三角形。解析：设∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°。 6. 钝角三角形。解析：两个内角都小于40°，则第三个角大于100°。 7. ∠B=90°-35°=55°。 8. 不可以。解析：如果有两个直角，第三个角为0°，不能构成三角形。 ### 二、提升题 9. 设较小锐角为x，较大锐角为2x，x+2x=90°，3x=90°，x=30°，另一个为60°。 10. 设每个锐角为x，x+x=90°，2x=90°，x=45°。 11. ∠C=180°-36°-54°=90°，直角三角形。 12. ∠C=180°-120°-30°=30°，钝角三角形（有一个角为120°）。 ### 三、拓展题 13. 设三个角为x，2x，3x，x+2x+3x=180，6x=180，x=30°，三个角为30°，60°，90°，直角三角形。 ★易错：比例要设未知数，不要直接用比例数相加。 14. ∠A=2∠B=3∠C，设∠A=6x，∠B=3x，∠C=2x，6x+3x+2x=180，11x=180，x≈16.36°，∠A≈98.18°，钝角三角形。 ## 训练4：直角三角形两锐角互余 ### 一、基础题 1. ∠B=90°-45°=45°。 2. ∠B=90°-60°=30°。 3. ∠B=90°-25°=65°。 4. ∠B=90°-72°=18°。 5. 设∠B=x，∠A=2x，x+2x=90°，3x=90°，x=30°，∠A=60°，∠B=30°。 6. 设∠B=x，∠A=x+20，x+x+20=90，2x=70，x=35°，∠A=55°，∠B=35°。 7. ∠1+∠A=90°，∠A=90°-35°=55°。 8. ∠2+∠B=90°，∠B=90°-55°=35°。 ★易错：在Rt△中，两个锐角互余，不要忘记90°的角是直角。 ### 二、提升题 9. ∠ADB=90°，∠1+∠2=90°。又∠1=∠B，所以∠BAC=∠1+∠2=∠B+∠2=90°，△ABC是直角三角形。 10. ∠1=∠A，∠2+∠A=90°。解析：∠1+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，所以∠1=∠A；∠2+∠A=90°。 11. 是直角三角形。解析：设两个角互余为∠A+∠B=90°，则∠C=180°-90°=90°。 12. 设∠B=x，∠A=3x，x+3x=90，4x=90，x=22.5°，∠A=67.5°，∠B=22.5°。 ### 三、拓展题 13. ∠B=90°-α。 14. ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，则2∠A=180°，∠A=90°，直角三角形。 ## 训练5：三角形按边分类与三边关系 ### 一、基础题 1. 第三边为5cm或8cm。解析：等腰三角形两边相等，第三边可能是5cm或8cm，均满足三角形三边关系。 ★易错：要验证两种情况是否都满足三边关系。 2. 第三边x满足0<x<12。解析：6-6<x<6+6。 3. （1）能（3+4>5）；（2）不能（7+8=15）；（3）能（12+13>20）；（4）不能（5+5<11）。 ★易错：判断是否能摆成三角形，只要验证两短边之和大于第三边即可。 4. 第三边x满足2<x<8，8不可以（8>2+5? 8>7不满足），2不可以（2<2+5? 2<7但2+3>5? 2+3=5不满足）。解析：3+5>x，3+x>5，5+x>3，得2<x<8。 5. 4-2<c<4+2，2<c<6，c为偶数，c=4。 5. 第三边为9cm。解析：若4cm为腰，4+4=8<9，不能构成三角形，所以腰为9cm，第三边为9cm。 ★易错：等腰三角形注意分类讨论腰和底。 6. 腰长=(20-8)÷2=6cm。 7. 底边长=18-7×2=4cm。 ### 二、提升题 8. 第三边x为奇数，9-3<x<9+3，即6<x<12，x=7，9，11。 9. AB>3cm。解析：AB+AB>6，2AB>6，AB>3。 11. 4-2<x<4+2，2<x<6。 10. x+(x+1)>x+2，2x+1>x+2，x>1。又x+(x+2)>x+1，x+(x+1)>x+2均成立。x为正整数，x最小为2。 ### 三、拓展题 11. 若8cm为腰，底边=30-16=14cm，8+8>14，成立；若8cm为底边，腰=(30-8)÷2=11cm，8+11>11，成立。两种情况都成立。 ★易错：等腰三角形要分类讨论腰和底边，并验证三边关系。 12. 由三边关系：4-3<c<4+3，1<c<7，c为整数，c=2，3，4，5，6。对应周长分别为9，10，11，12，13。 ## 训练6：三角形的中线 ### 一、基础题 1. CE=5cm，BC=10cm。解析：中线平分BC，BE=CE=1/2BC。 2. BD=CD=6cm。 3. BD=4cm，CD=4cm。 4. CE=3.5cm，BC=7cm。 5. 重心。 6. S△ACD=12cm²。解析：中线将三角形面积平分。 7. BD=CD，△ABD周长=AB+BD+AD=7+BD+AD=15，BD+AD=8。AC+CD+AD=5+BD+AD=5+8=13，AD=8-BD。 ★易错：利用周长关系建立方程。 8. BD=4cm。解析：BC=26-8-10=8，BD=1/2BC=4。 ### 二、提升题 9. DE=3cm。解析：D是BC中点，BC=12，BD=DC=6，E是BD中点，DE=1/2BD=3。 10. S△AOB=8cm²。解析：两条中线交于重心，重心将中线分为2:1，△AOB是△ABC面积的1/3? 重心将三角形分成6个等面积小三角形，△AOB占2个小三角形，面积为24×2/6=8cm²。 ★易错：重心将三角形分成六个面积相等的小三角形。 11. ∠BAD=40°。解析：AB=AC，AD是中线也是高和角平分线，∠BAD=1/2∠A=1/2(180°-2×50°)=40°。 12. D、E分别是BC、AC中点，DE∥AB，DE=1/2AB=3cm。 ### 三、拓展题 13. △DEF的周长=1/2△ABC的周长=15cm。解析：D、E、F分别是各边中点，DE∥AC且DE=1/2AC，EF∥AB且EF=1/2AB，FD∥BC且FD=1/2BC。 14. 重心将中线分成2:1（较长段:较短段=2:1）。 ## 训练7：三角形的角平分线 ### 一、基础题 1. ∠BAD=∠DAC=30°。 2. ∠BAC=2×35°=70°。 3. ∠ABC=180°-50°-72°=58°，∠ABD=29°。 4. ∠C=75°，∠ADB=180°-30°-45°=105°。解析：∠BAD=30°，∠ADB=180°-30°-45°=105°。 5. ∠ACB=180°-62°-74°=44°，∠BCD=22°，DE∥BC，∠EDC=∠BCD=22°。 ★易错：平行线得到内错角相等。 6. ∠ACB=60°，∠ACD=30°。 7. ∠C=70°，∠CAD=35°，∠ADB=180°-70°-35°=75°。 8. ∠ACB=60°，∠ACD=30°。 ### 二、提升题 9. ∠C=72°，∠ABC=72°，∠ABD=36°，∠BDC=180°-36°-72°=72°。 ★易错：∠BDC在△BDC中，∠DBC=36°，∠C=72°。 10. ∠BPC=90°+1/2∠A=90°+1/2×(180°-80°-60°)=90°+20°=110°。 11. ∠BAD=30°，∠BAC=60°。∠B=2∠C，∠B+∠C=120°，2∠C+∠C=120°，∠C=40°。 12. ∠ACB=70°，∠ACD=35°，DE∥BC，∠CDE=∠BCD=35°。 ### 三、拓展题 13. ∠BPC=90°+1/2α。 14. ∠P=1/2α。 ★易错：外角平分线交点的角度公式为∠P=90°-1/2∠A，或∠P=1/2∠A（取决于具体图形）。 ## 训练8：三角形的高 ### 一、基础题 1. AF、BE、CD都是三角形的高。 2. AC。解析：AB边上的高是从C向AB作垂线，即AC。 3. 内。解析：锐角三角形三条高都在三角形内部。 4. 直角边。解析：两条直角边上的高分别与另外两条直角边重合。 5. 两条。解析：钝角三角形有两条高在三角形的外部。 6. 垂心。 7. AB=5（勾股定理），CD=AC×BC÷AB=3×4÷5=12/5=2.4。 ★易错：用面积法求高，S=1/2AC×BC=1/2AB×CD。 8. BD=3，AD=√(5²-3²)=4。 ### 二、提升题 9. （1）AF是△ABC、△ABD、△ABF、△ADF、△ADC、△AFC的高； （2）S△ABD=S△ACD。理由：BD=DC，等高AF，S△ABD=1/2BD·AF，S△ACD=1/2DC·AF。 10. ∠A=30°，AB=8，BC=4。CD=AC×BC÷AB，AC=√(8²-4²)=4√3，CD=4√3×4÷8=2√3。 ★易错：含30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 11. BD=5，AD=√(13²-5²)=12。 12. AB=√(5²+12²)=13，CD=5×12÷13=60/13。 ### 三、拓展题 13. 连接AD，S△ABC=S△ABD+S△ACD=1/2AB·DE+1/2AC·DF=1/2AC(DE+DF)，又S△ABC=1/2AC·BG，所以DE+DF=BG。 14. S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD，所以AC·BC=AB·CD。需结合勾股定理进一步证明。 ## 训练9：三角形三条重要线段的综合 ### 一、基础题 1. 内心、重心、垂心。 2. AD是中线，BD=DC，又∠BAD=∠DAC，AD是角平分线。在△ABC中，等腰三角形三线合一，所以△ABC是等腰三角形，AB=AC。 3. AD是高、角平分线，也是中线（三线合一）。 4. （1）正确；（2）正确；（3）正确。 5. ∠BAC=180°-70°-40°=70°，∠BAE=35°，∠BAD=90°-∠B=20°，∠DAE=35°-20°=15°。 ★易错：先求角平分线和高与边的夹角，再求差值。 6. ∠BAC=60°，∠BAE=30°，∠BAD=90°-70°=20°，∠DAE=30°-20°=10°。 7. ∠BAD=90°-∠B=25°。 8. ∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，CD=DE=3（角平分线上的点到角两边距离相等）。 ### 二、提升题 9. BD=3，AB=√(4²+3²)=5。 10. AC=√(6²+8²)=10，BD=1/2AC=5（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。 11. ∠DAE=1/2(∠B-∠C)。解析：∠DAE=∠EAC-∠DAC=1/2∠A-∠C? 具体推导：设∠C=x，∠B=2x，∠A=180°-3x，∠DAE=90°-∠B-1/2∠A? 最终可得∠DAE=1/2(∠B-∠C)=1/2x。 12. 连接AD，DE⊥AB，DF⊥AC。S△ABD=1/2AB·DE，S△ACD=1/2AC·DF。D是中点，S△ABD=S△ACD，AB=AC，所以DE=DF。 ### 三、拓展题 13. ∠C=80°，∠ACD=40°，∠ADC=180°-60°-40°=80°，DE∥BC，∠ADE=∠B=40°。 ★易错：平行线得到同位角相等。 14. AB=AC，∠BAC=120°，∠B=∠C=30°，∠BAD=60°。 ## 训练10：三角形内角和综合提升 ### 一、基础题 1. ∠B+∠C=140°，∠B=∠C=70°。 2. ∠A=2∠B，∠C=60°，∠A+∠B=120°，2∠B+∠B=120°，∠B=40°，∠A=80°。 3. ∠A=∠B+∠C，2∠A=180°，∠A=90°。 4. 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，6x=180，x=30°，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。 5. 设∠B=x，∠C=x-10，80+x+x-10=180，2x=110，x=55°，∠B=55°，∠C=45°。 6. ∠A+∠B=120°，∠B+∠C=150°，∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°。 7. 设∠C=x，∠B=2x，50+2x+x=180，3x=130，x≈43.3°，∠B≈86.7°，∠C≈43.3°。 8. ∠C=40°。 ### 二、提升题 9. ∠A:∠B:∠C=3:1:1，∠A=108°，∠B=∠C=36°。AD、AE三等分∠A，∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°。∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=180°-36°-? ∠AED=180°-∠EAC-∠C=180°-36°-36°=108°，∠ADE=36°。 10. 根据具体图形，∠ACB=∠A-∠B的差值。 11. ∠BPC=90°+1/2∠A=90°+30°=120°。 12. ∠C=80°，∠ACD=40°，∠ADC=180°-30°-40°=110°。 ### 三、拓展题 13. ∠BPC=90°+1/2α。 14. 外角平分线交点，∠BPC=90°-1/2∠A=90°-40°=50°。 ★易错：外角平分线与内角平分线交点公式不同。 ## 训练11：三角形内角和与平行线综合 ### 一、基础题 1. ∠AEC=∠A+∠C=50°+40°=90°。 2. ∠C+∠D=∠A+∠B=30°+45°=75°。 3. ∠AEC=∠A+∠C=55°+65°=120°。 4. ∠B=∠A=40°，∠C=∠D=60°。 5. ∠AEC=∠A+∠C=70°+50°=120°。 6. ∠D=∠B=60°。解析：∠A+∠B=∠C+∠D，∠A=∠C，所以∠D=∠B。 7. ∠3=∠1+∠2=35°+45°=80°。 8. ∠B=∠A=60°，∠D=∠C=30°。 ### 二、提升题 9. AB∥CD。理由：∠A+∠B=∠C+∠D，∠A=∠B，∠C=∠D，∠A=∠C，同位角相等。 10. ∠AEC=50°+30°=80°。 11. 设∠B=x，∠A=2x，∠D=3x，∠C=x，2x+x+3x+x=360，7x=360，x≈51.4°，∠A≈102.8°，∠B≈51.4°，∠C≈51.4°，∠D≈154.3°。 12. ∠BED=40°+60°=100°。 ### 三、拓展题 13. ∠APC=30°+45°=75°。 14. ∠BPD=25°+35°=60°。 ## 训练12：三角形三边关系综合 ### 一、基础题 1. 底边长=24-7×2=10cm。 2. 腰长=(30-8)÷2=11cm。 3. 7-5<BC<7+5，即2<BC<12。 4. 8-3<AC<8+3，即5<AC<11。 3. 选B。解析：2+3>4。 6. 4-3<a<4+3，1<a<7，a为整数，a可取2，3，4，5，6，共5个。 4. 若腰为6cm，底为10cm，周长为22cm；若腰为10cm，底为6cm，周长为26cm。 5. 设三边为a、b、7，a+b=8，a≤7，b≤7，a、b为正整数。可能为1、7、7；2、6、7；3、5、7；4、4、7。 ### 二、提升题 6. 由三边关系：a-1>2且a-1<6，即a>3且a<7，3<a<7。 10. 2x+y=18，y=18-2x。由三边关系：2x>y，2x>18-2x，4x>18，x>4.5。又y>0，x<9。所以4.5<x<9。 7. 在△ABD中，AB<AD+BD，在△ACD中，AC<AD+CD，AB=AC，两式相加可得AB>AD。 8. AB>4。解析：AB+AB>8，2AB>8，AB>4。 ### 三、拓展题 9. 在△ABD中，AB>AD=4，所以AB>4。又AB+AB>BC，BC=2BD，BD=√(AB²-AD²)，需进一步求解。 10. 延长AD到E使DE=AD，连接BE。△ADC≌△EDB（SAS），BE=AC=3。在△ABE中，AE=8，AB=5，BE=3，AB+BE=8=AE，不能构成三角形？题目数据有误或需用中线长公式：AD²=(2AB²+2AC²-BC²)/4，16=(50+18-BC²)/4，64=68-BC²，BC²=4，BC=2。 ## 训练13：全等图形的识别与性质 ### 一、基础题 1. 全等图形。 2. 全等三角形。 3. 对应顶点：A与D，B与E，C与F；对应边：AB与DE，BC与EF，AC与DF；对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 4. 相等，相等。 5. △AEC中，∠E=∠B=30°，∠ACE=∠ACB=85°，∠CAE=180°-30°-85°=65°。 ★易错：全等三角形对应角相等，注意对应关系。 6. BD=AC=5，AD=BC=4。 7. ∠F=∠C=180°-50°-70°=60°。 8. ∠C=180°-80°-80°=20°。 ### 二、提升题 9. DC=AB=7，BD=AC=5。 10. ∠C=60°，∠A+∠B=120°，∠A=2∠B，3∠B=120°，∠B=40°，∠A=80°。△DEF各内角为80°，40°，60°。 11. DE=AB=6，∠DEC=∠ABC=90°。 12. ∠C′=180°-50°-60°=70°。 ### 三、拓展题 13. △ABC≌△ADE，∠EAD=∠BAC=40°。 14. △DEF的周长=△ABC的周长=30。 ## 训练14：全等三角形的对应边与对应角 ### 一、基础题 1. ∠F=∠C=180°-40°-60°=80°。 2. ∠C′=∠C=25°，B′C′=BC=6cm。 3. DE=AB=5cm，∠D=∠A=60°。 4. ∠C=∠D=90°，△ABC≌△BAD，AD=BC=6。 5. BC=EF=8cm，∠F=∠C=60°。 6. EF=BC=12，∠D=∠A=80°。 7. ∠D=∠A=40°。 8. ∠ADE=∠ABC=80°。 ### 二、提升题 9. △DEF的周长=6+8+10=24。 10. 设∠B=x，∠A=3x，∠C=4x，8x=180，x=22.5°，∠A=67.5°，∠B=22.5°，∠C=90°。△A′B′C′各内角相同。 11. CD=AB=4，CE=BC=3。 12. ∠DAE=∠BAC=45°。 ### 三、拓展题 13. ∠C=∠F=40°。 14. DE=AB=12，EF=BC=36-12-15=9，DF=AC=15。 ## 训练15：边边边（SSS）判定 ### 一、基础题 1. 全等。理由：AB=AC，AD=AD，BD=CD（D是中点），SSS。 ★易错：中线得到BD=CD，不是AD=BD。 2. 全等。理由：三边对应相等（SSS）。 3. 全等。理由：AB=AC，BD=CD，AD=AD，SSS。 4. 全等。理由：BD=FC，BD+DC=FC+DC，BC=FD。AB=EF，AC=ED，BC=FD，SSS。 5. ∠BAC=∠DAC。理由：△ABD≌△ACD（SSS），对应角相等。 6. ∠A=∠C。理由：△ABD≌△CDB（SSS），对应角相等。 7. 点A在BD的垂直平分线上。理由：AB=AD，A到BD两端距离相等。 8. ∠BAD=∠CAE。理由：△ABD≌△ACE（SSS），对应角相等。 ### 二、提升题 9. 全等。理由：AB=AC，BD=CD，AD=AD，SSS。 10. 全等。理由：BE=CF，BE+EC=CF+EC，BC=EF。AB=DE，AC=DF，BC=EF，SSS。 11. AC垂直平分BD。理由：AB=AD，A在BD垂直平分线上；BC=CD，C在BD垂直平分线上；AC是BD的垂直平分线。 12. 按尺规作图步骤：作线段BC=a，分别以B、C为圆心以c、b为半径画弧交于A，连接AB、AC。 ### 三、拓展题 13. ∠D=∠A=40°。 14. ∠B=60°。解析：AB=AC，∠B=∠C，∠B+∠C=120°，∠B=60°。 ## 训练16：SSS判定的应用与尺规作图 ### 一、基础题 1. 合理。理由：AB=AD，BC=DC，AC=AC，△ABC≌△ADC（SSS），∠BAC=∠DAC。 2. 按尺规作图步骤完成。 3. AE是∠BAC的平分线。理由：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。 4. ∠B=∠E。理由：BE=CF，BC=EF，AB=DE，AC=DF，SSS，对应角相等。 5. ∠A+∠D=180°。理由：△ABD≌△CDB（SSS），∠A=∠C，∠ADB=∠CBD，AD∥BC，∠A+∠D=180°。 6. ∠BAD=∠CAD。理由：△ABD≌△ACD（SSS）。 7. 全等。理由：AF=DC，AF+FC=DC+FC，AC=DF。AB=DE，BC=EF，AC=DF，SSS。 8. 三个。 ### 二、提升题 9. 证明：△ABD≌△ACE（SSS? AB=AC，AD=AE，BD=CE? 题目给BD=CE，直接SSS），∠B=∠C。 10. ∠A=∠D。理由：△ABC≌△DEF（SSS）。 11. AC垂直平分BD。理由：AB=AD，BC=CD，A和C都在BD的垂直平分线上，AC是BD的垂直平分线。 12. 保证D、E两点到O的距离相等，且CD=CE，使得△OCD≌△OCE（SSS），∠COD=∠COE。 ### 三、拓展题 13. 证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。又AE=AE，AB=AC，∠BAE=∠CAE，△ABE≌△ACE（SAS），BE=CE。 14. 证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。又AE=AE，AB=AC，∠BAE=∠CAE，△ABE≌△ACE（SAS），∠BED=∠CED。 ## 训练17：角边角（ASA）判定 ### 一、基础题 1. 全等。理由：O是AB中点，AO=BO，∠A=∠B，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），ASA。 2. 全等。理由：∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，ASA。 3. 全等。理由：斜边和一个锐角相等，则另一个锐角也相等，加上斜边相等，可证全等（AAS或ASA）。 4. 全等。理由：AB∥CD，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。 5. 全等。理由：∠A=∠D，AB=DF，∠B=∠F，ASA。 6. 全等。理由：∠A=∠D，OA=OD，∠AOC=∠DOB（对顶角相等），ASA。 7. 全等。理由：AB∥CD，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。 8. EF=BC=4。 ### 二、提升题 9. AC=BD。理由：△AOC≌△BOD（ASA），对应边相等。 10. AC=DF。理由：△ABC≌△DEF（ASA），对应边相等。 11. 全等。理由：AE=CE，∠A=∠C，∠AEB=∠CED（对顶角相等），ASA。 12. 按尺规作图步骤完成（先作∠A=∠α，截AB=a，再作∠B=2∠α，交于C）。 ### 三、拓展题 13. 全等。理由：∠BAD=∠CAE，∠B=∠C，AB=AC，ASA。 14. ∠B=∠D=35°? 需要更多条件。 ## 训练18：角角边（AAS）判定 ### 一、基础题 1. 全等。理由：D是BE中点，BD=DE，∠C=∠F，∠B=∠E，AAS。 2. 全等。理由：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，AAS。 3. AC=DF。理由：△ABC≌△DEF（AAS），对应边相等。 4. 全等。理由：∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AAS。 5. ∠C=∠F。理由：三角形内角和，∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E。 6. AB∥CD。理由：∠A=∠B，∠C=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D，2∠A=2∠C，∠A=∠C，同位角相等。 7. AE=CE。理由：△ABE≌△CDE（AAS），对应边相等。 8. 全等。理由：∠A=∠D=30°，∠B=∠E=70°，BC=EF，AAS。 ### 二、提升题 9. 全等。理由：∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AAS。 10. ∠E=90°。理由：AB∥CD，∠BAC+∠ACD=180°，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∠EAC+∠ACE=90°，∠E=90°。 11. BC=EF。理由：△ABC≌△DEF（AAS），对应边相等。 12. △ABC≌△DEF（AAS），△ABD≌△FED? 具体根据图形判断。 ### 三、拓展题 13. ∠C=∠F。理由：三角形内角和。 14. 证明：∠ABC=∠ACB，∠ABD=1/2∠ABC，∠ACE=1/2∠ACB，∠ABD=∠ACE。又∠A=∠A，AB=AC，△ABD≌△ACE（ASA），BD=CE。 ## 训练19：边角边（SAS）判定 ### 一、基础题 1. 全等。理由：OA=OB，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），OD=OC，SAS。 2. 全等。理由：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，SAS。 3. 全等。理由：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，SAS。 4. 全等。理由：OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，SAS。 5. ∠B=∠E。理由：△ABC≌△DEF（SAS），对应角相等。 6. BD=CD。理由：△ABD≌△ACD（SAS），对应边相等。 7. AC=BD。理由：△AOC≌△BOD（SAS），对应边相等。 8. BC=DE。理由：△ABC≌△ADE（SAS），对应边相等。 ### 二、提升题 9. ∠B=∠D。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。 10. ∠B=∠D。理由：∠BAC=∠DAE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∠BAD=∠CAE。AB=AD，AC=AE，△ABD≌△ACE（SAS），∠B=∠D。 11. AC=BD。理由：△AOC≌△BOD（SAS）。 12. BD=CE。理由：△ABD≌△ACE（SAS）。 ### 三、拓展题 13. 证明：∠BAC=60°，∠DAE=60°，∠BAC=∠DAE，∠BAD=∠CAE。AB=AC，AD=AE，△ABD≌△ACE（SAS），BD=CE。 14. ∠D=∠B=70°。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。 ## 训练20：SAS判定的应用 ### 一、基础题 1. △ACE≌△ADE（SAS），△ACB≌△ADB（SAS）。 2. ∠B=∠D。理由：AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，△ABC≌△ADE（SAS）。 3. BC=DE。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。 4. 全等。理由：AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB，SAS。 5. 全等，BC=EF。理由：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，SAS。 6. AD是角平分线也是中线和高（三线合一）。 7. 全等。理由：OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，SAS。 8. ∠B=∠D。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。 ### 二、提升题 9. 全等。理由：∠BAE=∠DAC，∠BAC=∠DAE（公共角加减），AB=AD，AC=AE，SAS。 10. BD=CE。理由：△ABD≌△ACE（SAS）。 11. ∠C=∠E。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。 12. 测量未被污染的两条边和它们的夹角，用SAS画全等三角形。 ### 三、拓展题 13. ∠D=∠B=65°。理由：△ABD≌△ACE（SAS）。 14. 证明：AB=AC，AB=DE，AC=DE。∠BAC=∠BDE，∠ABC=∠DBE（公共角），△ABC≌△DEB（ASA或AAS）。 ## 训练21：全等三角形判定综合 ### 一、基础题 1. BC=DC或∠BAC=∠DAC或∠BCA=∠DCA。 2. OB=OC或∠B=∠C或AB=DC。 3. AC=BD，∠C=∠D。理由：△ABC≌△BAD（ASA）。 4. ∠A=∠D或∠B=∠E或BC=EF。 5. OA=OC或AB=CD或∠A=∠C。 6. BD=CE或∠BAD=∠CAE或AD=AE。 7. AB=DE或AC=DF或BC=EF。 8. 全等。理由：AB=AC，∠B=∠C，∠A=∠A，ASA。 ### 二、提升题 9. （1）全等。理由：OA=OB，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），OD=OC，SAS。 （2）全等。理由：△AOD≌△BOC，AD=BC。又OA=OB，OC=OD，AC=BD，△ADC≌△BCD（SSS）。 10. 全等。理由：AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，SAS。 11. ∠B=∠C。理由：△ABD≌△ACE（SSS? AB=AC，BD=CE，AD=AE? 需先证AD=AE）。或△BCD≌△CBE（SSS?）。 12. 证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。又AE=AE，AB=AC，∠BAE=∠CAE，△ABE≌△ACE（SAS），BE=CE。 ### 三、拓展题 13. 证明：△ABD≌△ACE（SSS），∠BAD=∠CAE。 14. 证明：△BDE≌△CDF（SAS）? BD=DC，BE=CF，∠B=∠C，SAS，DE=DF。 ## 训练22：利用全等三角形测距离（SAS） ### 一、基础题 1. 在△ABC和△DEC中，AC=DC，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=EC，△ABC≌△DEC（SAS），AB=DE。 2. BN=CN，AN=AN，∠ANB=∠ANC=90°，△ABN≌△ACN（SAS），AB=AC。 3. MN是△ABC的中位线，MN∥AB，MN=1/2AB，AB=40m。 4. 钢条中点O，AO=BO，CO=DO，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），△AOC≌△BOD（SAS），AC=BD。 5. ∠ABC=∠CDE=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），△ABC≌△EDC（ASA），AB=DE。 6. ∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB，∠ACB=∠DCB? 需具体分析。 7. △AOC≌△BOD（SAS），BD=AC=5cm。 8. 构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等。 ### 二、提升题 9. AB=DE=30m。 10. AB=DE=40步。 11. △ABC≌△EDC（ASA），AB=DE。 12. 利用全等三角形：两次观察中，视线方向相同，角度相等，步测距离相等，构成全等三角形。 ### 三、拓展题 13. AB=DE=25m。 14. 方法1：在池塘外选点C，使AC=DC，BC=EC，用SAS构造全等三角形。方法2：选点C使AB∥DE，用ASA。 ## 训练23：利用全等三角形测距离（综合） ### 一、基础题 1. 方案：在池塘外选一点C，使AC=DC，BC=EC，连接DE并测量。理由：△ABC≌△DEC（SAS）。 2. 全等。理由：OA=OC，∠AOD=∠COB（对顶角相等），OD=OB，SAS。 3. 全等。理由：AB∥CD，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。 4. AC=BD。理由：△AOD≌△BOC（SAS），AD=BC。又AB=BA，∠DAB=∠CBA? 需要更多条件。 5. 全等。理由：∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。 6. AB=CD。理由：△AOB≌△COD（SAS）。 7. BC=DC。理由：△ABC≌△ADC（SAS）。 8. ∠B=∠E。理由：△ABC≌△DEF（SAS）。 ### 二、提升题 9. AB=DE=16m。 10. 方案：在池塘外选点C，连接AC并延长到D使CD=AC，连接BC并延长到E使CE=BC，连接DE测量。 11. ∠BAD=∠CAD。理由：AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABD≌△ACD（SSS）。 12. 证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC=90°，AD⊥BC。 ### 三、拓展题 13. 证明：△ABD≌△CDB（SSS），∠A=∠C。 14. 证明：△ABC≌△DEF（SAS），BC=EF，BC-CE=EF-CE，BE=CF。 学科网（北京）股份有限公司 $