2.1轴对称及其性质（第2课时轴对称性质）（教学课件）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

该初中数学课件聚焦轴对称性质第2课时，核心内容包括成轴对称的两个图形概念、性质（对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段及角相等）及作图方法。课堂通过观察生活实例、折叠长方形纸扎数字“14”等操作，以轴对称图形知识为前导，搭建从“一个图形自身对称”到“两个图形位置对称”的学习支架。 其亮点在于以“观察—折叠—猜想—归纳—验证”为主线，发展几何直观与推理意识，如通过测量对应点距离和角度归纳性质，规范几何语言表达。融入动手操作、小组合作及中考真题（如最短路径问题），小结强调数形结合思想，助力学生提升空间观念和探究能力，也为教师提供系统教学资源。

【新教材】鲁教版五四制·七年级上册 第二章 轴对称 2.1 轴对称及其性质 第2课时 轴对称性质 学 习 目 标 1 2 3 理解成轴对称的两个图形的概念，能清晰区分轴对称图形与两个图形成轴对称的异同；掌握轴对称的基本性质，能运用性质完成简单判断、填空和说理. 经历“观察—折叠—猜想—归纳—验证”的探究过程，积累几何操作与探究经验；通过对比辨析、合作交流，提升几何直观、合情推理和数学语言表达能力；体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学研究方法. 在图形探究中亲身感受数学的严谨性与独特的对称之美，从生活中的蝴蝶、建筑等实例中发现几何对称的秩序感。激发对几何世界与空间奥秘的探索热情，感受数学学科的独特魅力。 垂直 连线与对称轴相交成90°直角 平分 对称轴经过连线的中点，两段等长 性质二：对应点连线被对称轴垂直平分 性质一：对应线段相等，对应角相等 🔹 轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。 🔹 对称轴 对折时，折痕所在的这条直线，我们称之为对称轴。 知识回顾 轴对称图形的性质 观察•交流 探究点1 认识两个图形成轴对称 议一议 观察图中的每组图案，你发现了什么? （1）它们是一个图形还是两个图形? （2）它们是对折后能完全重合吗? 成轴对称 沿某条折线翻折，两个图形的形状、大小也能完全重合。 由两个独立的图形组成。 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合， 那么称这两个图形成轴对称， 这条直线叫作这两个图形的对称轴。 观察•交流 探究点1 认识两个图形成轴对称 归一归 1.成轴对称定义 如图，△ABC 与△A1B1C1成轴对称，MN是它们的对称轴，你认为它们也具备类似轴对称图形中的对应点、对应线段、对应角吗?如果具备，请将它们找出来。 对应点: 点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1； 对应线段: AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1； 对应角: ∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1。 2.成轴对称对应关系 3.轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系： 轴对称图形 成轴对称的两个图形 图形 区别 联系 一个具有特殊形状的图形对称点在同一个图形上 两个全等图形的特殊位置关系对称点分别在两个图形上 ①都是沿着某条直线折叠后能重合 ②可以互相转化 ④两个成轴对称的图形拼接，可看成一个轴对称图形. ③沿对称轴分开，可看成两个图形成轴对称； 轴对称图形：一个图形，自身对称； 观察•交流 探究点1 认识两个图形成轴对称 归一归 成轴对称：两个图形，位置对称. 思考•交流 探究点2 探究轴对称的性质 议一议 将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出数字“14” ，再将纸打开后铺平。 观看视频再试一试 思考•交流 探究点2 探究轴对称的性质 议一议 （2） 对应线段之间有什么关系?对应角之间有什么关系?连接对应点的线段与对称轴 l 之间有什么关系? 关于对称轴 l 对称。 对应线段相等； 对应角相等； 对称轴 l 垂直平分对应点连接的线段 l （1）图中 两个“14”有什么关系? 画一画 思考•交流 探究点2 探究轴对称的性质 （1）画一条直线作为对称轴； （2）在直线一侧画任意点A，折叠后找到对称点A′，连接AA′，观察AA′与直线的位置关系、数量关系； （3）再画线段AB、△ABC，分别找出对称线段、对称三角形，标记对应点、对应线段、对应角. (4) 观察测量，小组交流后得出结论 学习任务单 请按照下列语句画图 3、点 A′ 就是点A关于 l 的对称点. ● ● A A′ l O ┏ 1、过点A作对称轴 l 的垂线，垂足为O； 2、延长A O 至A′,使得OA′= OA. 直线l垂直且平分线段AA′ 画一画 思考•交流 探究点2 探究轴对称的性质 请按照下列语句画图 ● ● A A′ l O ┏ ● B B′ ┏ ● ● ● A l O ┏ ● B B′ ┏ ● ● C C′ ● （1）画一条直线作为对称轴； （2）在直线一侧画任意点A，折叠后找到对称点A′，连接AA′，观察AA′与直线的位置关系、数量关系； （3）再画线段AB、△ABC，分别找出对称线段、对称三角形，标记对应点、对应线段、对应角. (4) 观察测量，小组交流后得出结论 学习任务单 A′ 对称点所连线段被对称轴垂直平分； 成轴对称的两个图形全等。 ┏ 归一归 思考•交流 探究点2 探究轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. ● ● A l O ┏ ● B B′ ┏ ● ● C C′ ● A′ ┏ 轴对称性质 几何表示： ∵△ABC 和△OA′B′C′ 关于直线成轴对称 ∴直线l⊥ AA′，OA=OA′ AB= A′B′ , CB= C′B′ , AC= A′C′ ∠A= ∠A′， ∠B= ∠B′， ∠C= ∠C′ 注意：轴对称变换的本质 轴对称变换不改变图形的形状和大小，即变换前后的两个图形是全等形，仅仅改变了图形在平面内的位置。理解这一点，能帮助我们将复杂的折叠、镜像问题转化为基础的全等图形问题，从而简化求解过程。 探究点3 轴对称的作图 理论依据： 如果两个图形关于某直线对称，那么这条直线是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 画一画 新知探究 已知一图形和一条直线，求作这个图形关于这条直线成轴对称的图形 （1）如果直线l外有一点A,那么怎样画出点A关于直线l的对称点A′? ● ● A l O ┏ A′ 探究点3 轴对称的作图 画一画 新知探究 已知一图形和一条直线，求作这个图形关于这条直线成轴对称的图形 (2)如果直线l外有线段AB,那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′? ● ● A A′ l O B ● ● B′ l l A B A B (A′) B′ A′ B′ (3)如图，画出△ABC关于直线MN的对称图形. 关键：找顶点的对称点 探究点3 轴对称的作图 画一画 新知探究 已知一图形和一条直线，求作这个图形关于这条直线成轴对称的图形 A A′ C B N M ● ● ● (4)画轴对称图形的步骤： 1.确定对称轴 2.作各顶点关于对称轴的对称点 3.按原图形的形状依次连接各对称点 B′ C′ 典例分析 例1、已知直线 l 和△ABC（如图），画△A′B′C′ ，使得它与△ABC 关于直线 l 对称。 典例分析 例2：如图，是格点三角形（顶点在网格线的交点上），每个小正方形的边长均为1． (1)在图①中画与关于直线对称的； (2)在图②中画，使得，要求与有一个公共角C （1）解：如图①所示，即为所求． （2）如图②所示，即为所求． 巩固练习 随 堂 练 习 1.用笔尖扎对折的纸可以得到下面成轴对称的两个图案。 (1)找出它的两组对应点、两条对应线段和两个对应角； 解：(1)如图所示， 点A与点A′是一组对应点， 点B与点B'也是一组对应点， AB与A′B'是一组对应线段， BC与B'C'是一组对应线段， ∠B与∠B'是一组对应角， ∠A与∠A′是一组对应角。 A A′ B B' 巩固练习 随 堂 练 习 1.用笔尖扎对折的纸可以得到下面成轴对称的两个图案。 (2) 说明你找到的对应点所连线段分别被对称轴垂直平分。 (2)先画出该图形的对称轴，连接其中一组对应点， 先测量这两个点到对称轴的距离， 再测量所连线段与对称轴所在直线所成的角。 A A′ B B' O ∟ 拓展提升 1.如图，在所给的方格图中，完成下列各题 (1)画出格点△ABC 关于直线DE 对称的△A1B1C1 ； (2)求△ABC 的面积； (3)在DE上画出点P，使PA+PC最小． （1）解：如图所示： △A1B1C1 ，即为所求； （2）解： △ABC的面积为： S= 2×3--； （3）解：如图所示：连接C A1，交 DE点于点P，即点P为所求． A1 B1 C1 P 2、如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A′B′C′ 和△A″B″C″ 关于直线 EF 对称。 ⑴ 画出直线 EF； ⑵ 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究直线 MN，EF 所夹锐角α 与∠BOB″ 的数量关系。 由对称可得： △BOC≌ △B′OC′ ≌ △B′′OC′′ ∴∠BOB″ ＝2α 拓展提示 E ∟ O F α 3.如图，△ABC与△ 关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．AP= A′P B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△ A′B′C′ 面积相等 D．直线AB、A′B′ 的交点不一定在MN上 解：因为直线AB，A′B′关于直线MN对称，如果直线AB，A′B′不平行， 那么它们的交点一定在MN上，故D错. 拓展提升 D 真题感知 1．（2025·吉林校考期中）如图， △AOB与△COD 关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交 BC于点 D．若 ∠BOD=45°， ∠C=20° ．求∠ADC 的度数． 解∵ ∠BOD=45° ∴ ∠AOB=180°- ∠BOD=180-°45°=135° ， ∵ △AOB与△COD关于边OB 所在的直线成轴对称， ∴ ∴ ∵ ∠C=20° ， ∴ ∠ADC= 90°-20°=70°． 2. （2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称，∴ ， 同理， ，， ， ， 是等腰三角形． ， M 真题感知 3. （2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征： ，___________． （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征． 且面积相等 观察发现三个图形都是轴对称图形 真题感知 课堂小结 （1）对应点的连线被对称轴垂直平分。这是轴对称图形中最基础的位置关系特征，也是我们作图和验证轴对称的重要依据。 （2）对应线段长度相等。在变换过程中，线段的长短保持不变，仅位置可能发生平行、相交或共线的变化。 （3）对应角度数相等。图形经过轴对称变换后，其内部角度的大小不发生任何改变，保证了图形的形状特征。 （4）轴对称变换的本质是全等变换。这种变换只改变图形在平面中的位置，而不改变图形的形状和大小。 知 识 总 结 课堂小结 方 法 总 结 （1）数形结合思想： 将抽象的数量关系与直观的几何图形结合。通过动手画图（形）来揭示隐含的位置与数量关系（数），让复杂的逻辑变得看得见、摸得着。 （2）转化与化归思想 “化未知为已知，化复杂为简单”。在最短路径问题中，我们通过作对称点，将折线转化为直线，把空间问题转化为平面问题，是解决难题的核心策略。 （3）从特殊到一般 从一个点、一个具体的数值或一个特定图形出发，通过观察特例的共性，归纳出适用于同类所有对象的普遍规律，这是数学发现与创新的重要思维模式。 从特殊到一般 课堂小结 易 错 提 醒 （1） 对称轴是直线，不是线段或射线. （2）轴对称图形不一定只有一条对称轴（如圆、正方形）. （3）全等≠成轴对称，成轴对称一定全等，但全等不一定成轴对称. （4）混淆“一个图形自身对称”和“两个图形位置对称”. （5）性质误用：只记相等，忽略“对应点连线被对称轴垂直平分”. 课后练习 1.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A，B分别落在点A'，B'处。如果∠EFB'=70°，那么∠CFB'是多少度? 解:由折叠的性质，得∠EFB=∠EFB′=70°， ∴∠CFB′=180°-∠EFB-∠EFB′ =180°-70°-70° = 40° 课后练习 2.（1）一次晚会上，主持人出了一道题目:“如何把 变成一个真正的等式?”，很长时间没人答出。小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题，你知道她是怎样做的吗? （2）请你编一道与（1）类似的题目。 解:（1）将镜子放在算式的正上方，垂直于纸面，镜子里的像如图所示，它就是真正的等式。 谢谢聆听 30 Lavf58.46.101 $