专题04 全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手模型（2大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形核心模型，系统梳理一线三等角（同侧/异侧）与手拉手（双等边/双等腰直角/双等腰）模型的判定方法、结论推导及迁移应用，通过分层例题构建“模型识别-全等证明-结论应用”的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一线三等角模型|2个典例|按角类型（锐角/直角/钝角）及位置（同侧/异侧）分类，提炼“角的转化-全等判定（AAS/ASA）-线段和差关系”三步法|基于全等三角形性质，由等角条件推导三角形全等，进而得出线段数量关系，体现从特殊到一般的推理过程| |手拉手模型|2个典例|针对双等边、双等腰直角、双等腰三角形，总结“公共顶点-等线段-旋转全等（SAS）-夹角不变-角平分线”通用模型|以等腰三角形性质为基础，通过旋转构造全等，推导线段相等与夹角关系，建立模型通性与变式应用的联系|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手模型 目录■ A题型建模·专项突破 题型一、全等三角形模型之一线三等角模型 题型二、全等三角形模型之手拉手模型。 .6 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角(“K型图”)钝角一线三等角 条件：∠A=∠CED=∠B,AE=DE: 结论：△ABE兰△ECD,AB+CD=BC。 2)一线三等角(K型图)模型（异侧型） 锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 条件：LDCF=∠ABC=LAED,AB=DB:结论：△ABE=△ECD,AB-CD=BC。 1)(同侧型)证明：，'∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=∠AED,∴∠AEC=∠AED十∠BAE, ,'∠AEC=∠AED十∠CED,∴.∠BAE-∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C,∠BAE=∠CED,AE=ED:∴.△ABE兰△ECD, .AB=EC,BE=CD,BC=BE+EC,..AB+CD=BC. 1/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)(异侧型)证明：：∠DCF=∠ABC,∠ECD-∠ABE, :∠ABC=∠AEB+∠A,∠AED=∠AEB+∠CBD,∠ABC=∠AED, ∴，∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,.∴.∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED,∠ECD=∠ABE,AE=ED:∴.△ABE=△ECD, .AB=EC,BE=CD,:BC=EC-BE,∴AB-CD=BC。 例1.(24-25七年级下河南郑州期末)综合与实践 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a (I)如图1，当α=90°时，猜想线段DE、BD、CE之间满足的数量关系，并进行证明： B A E m 图1 (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由：若成立，请进行 证明： A E m 图2 (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m 与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是12，请求出△FBD与△ACE的面积之和. B D AE m 图3 例2.(25-26八年级上云南昆明·期末)一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶 点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 过A MD 图1 图2 图3 M E 图4 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于点D,过点 C作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90,∠DAB+∠CAE=90°得∠DBA= 又知道 ∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌aCAE,进而得到AD=CE,AE= (②)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之间的数量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满足 ∠BDA=∠BAC=∠AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌aCAE是否成立？若成立，请 给出证明：若不成立，请说明理由， 题型二、全等三角形模型之手拉手模型 1)双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE:②BE=AD:③∠AFMF∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明：，△ABC和△DCE均为等边三角形，∴，BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60° 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又'∠CMB=∠AMF,∴.∠AFMF∠BCM=60°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴，△BCQ≌△ACP (AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 金44 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠ANME∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，.BC=AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD=90° .',∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又.'∠CMB=∠AMN,∴.∠AMME∠BCM=90, 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°，又，'∠CBE=∠CAD,BC=AC,.△BCQ≌△ACP (AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 条件：BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠BCME∠AFM:④CF平分∠BFD。 证明：，∠BCA=∠ECD,∴.∠BCA什∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又，BC=AC,CE=CD,∴.△ACD≌△BCE(SAS),.BE=AD,∠CBE=∠CAD, 又.∠CMB=∠AMF,∴.∠BCE∠AFM,过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又.∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCO≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 例3.(24-25七年级下·山东济南期末)△ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形(BA=BC, BE=BD,∠DBE=∠ABC=9O°)的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE,请证明： AD=CE: 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 CE的数量关系和位置关系，并说明理由， 图(1) 图(2) 例4.(24-25八年级上·甘肃临夏·期末)综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知 识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. 图1 图2 【发现问题】 (I)如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,连接BE,CF,延长BE交 CF于点D.则BE与CF的数量关系为： 【类比探究】 (2)如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°，连接BE,CF,延长 BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由. 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1,(25-26八年级上重庆开学考试)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点， 连接AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长 度为() D B A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 2.(2425八年级上山东威海·期末)在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD,将△BCD绕点B顺 时针旋转60°得到△BAE,连接ED,若BC=6,BD=5,则以下五个结论：() D ①△BDE是等边三角形：②AE/IBC;③△ADE的周长是11；④∠ADE=∠BDC;⑤∠AED=∠ABD 其中正确的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 3.(2425七年级下·陕西咸阳期末)如图，△ABC的边AC与△ABE的边BE相交于点D,BE⊥AE,过 点C作CF⊥BE,交BD于点F,且DE=DF,CF=BF,若AE=4,DE=3,则△ABC的面积是 E 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上安徽合肥期末)已知：△ABC中，AB=AC∠BAC=90°，点D为直线BC上一点， 过点B作BG⊥直线AD于点G,过点C作CF⊥直线AD于点F. 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 三、解答题 5.(23-24七年级上山东济南期末)在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合）， E是△ABC外-一点，连接AD、AE,已知AD=AE,LDAE=∠BAC,连接CE,DE. B B 图1 图2 (I)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=一 度： (2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由： (3)当点D在线段CB的延长线上时，(2)中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由. 6.(24-25八年级上辽宁葫芦岛期中)已知△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD 连接BD与EC相交于点F,BD与AC相交点G. 图1 图2 图3 (1)猜想：如图1所示，当∠BAC=60°时，则∠BFC= (2)探究：如图2所示，当∠BAC=90°时，请求出∠BFC的度数： 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)拓展延伸：如图3所示，当AB∥CE,AB=5,EC=8,请求出DF的长度. 7.(25-26八年级上辽宁抚顺月考)【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板， 如图：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在aDEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了相应的 问题. D C/ D E B 图1 图2 图3 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF,垂 足为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N ()图1中，AM=3,CW=8,求MW的长，请补充小明的过程. .∠ABC=90° .∠ABM+∠CBN=90°， :AM⊥DF,CN⊥DF, .∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∠ABM+∠BAM=90°， .∠BAM=∠CBN,… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作 CP⊥DE,垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由， (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=8,BE=2, 连接CE,请求出△ACE的面积， 8.(2425八年级上广西南宁·期中)【问题初探】 △ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板， (1)当两个三角板如图(1)所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，：AB=BC, ∠ABD=∠CBE=90°，DB=EB,∴.△ABD≌△CBE.依据的是判定定理 A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【类比探究】 (2)当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图(2)所示的位置，判断AD与 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE的数量关系和位置关系，并说明理由. 【拓展延伸】 )如图(3)：在四形4RC0中，B4D=90e:4B=D:BC=CD,连接C 4 ∠ACD=45°，A到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积. B B B 人5 图1 图2 图3 9.(25-26八年级上湖北随州期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1， ∠ACB=90,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的 长.”在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. H G 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (I)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE: 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC, 连DC交OB延长线于点E,猜想AO与BE的数量关系，并说明理由： 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB,AC边向外 作等腰RteBAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=9O°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积 10.(24-25八年级上重庆綦江期末)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 2 图1 图2 图3 ()如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 ∠I+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得 到AC=一，BC=一，BC+DE=一.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角” 模型： (②)如图2，∠BAD=∠CAE=9O°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直 线AF交于点G.求证：点G是DE的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型. (3)如图2，∠ADC=∠EDF=90°，AD=DC,DE=DF,连接AC,EF,△AFD的面积为S,△DCE 的面积为S2,S+S=2024,求S2的值 10/10 专题04 全等三角形模型之一线三等角模型与手拉手模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形模型之一线三等角模型 1 题型二、全等三角形模型之手拉手模型 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1.（24-25七年级下·河南郑州·期末）综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】此题考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意得，可得，有和，即可证明结论； （2）根据，得，即可证明，则有和，即有成立； （3）根据全等三角形的判定和性质定理以及三角形的面积的计算即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， 则． （2）解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）解：同（2）可得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 例2.（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【详解】（1）证明：， 在和中 ，， （2）证明： 在和中 ，， （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）成立，理由如下： 在和中 题型二、全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 例3.（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 例4.（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）在等边中，是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，若，，则以下五个结论：（    ） ①是等边三角形；②；③的周长是11；④；⑤ 其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由旋转得到BD=BE,根据旋转角60°即可判断①；根据旋转得到△BCD≌△BAE，由此证得∠BAE=∠C=60°，即可判断②；利用②的全等得到CD=AE，即可推导的周长=AC+BD，由此判断③；利用全等及平行线判断∠AEB的大小，即可判断④；利用“8字形”即可判断⑤. 【详解】由旋转得到BD=BE，∠DBE=60°， ∴是等边三角形，故①正确； 由旋转得到△BCD≌△BAE， ∴∠BAE=∠C=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°， ∴∠ABC=∠BAE， ∴AE∥BC，故②正确； ∵△BCD≌△BAE， ∴AE=CD, ∵是等边三角形， ∴DE=BD=5， ∵AC=BC=6， ∴的周长=AD+AE+DE=AC+BD=11，故③正确； ∵∠ABC=∠DBE=60°，点D在AC上， ∴∠CBE<120°, ∵AE∥BC, ∴∠CDB=∠AEB>60°， ∵∠BDE=60°， ∴∠ADE<60°， ∴∠ADE<∠BDC,故④错误； 设AB交DE于G， ∵∠BAE=∠BDE=60°，∠AGE=∠BGD, ∴180°-∠BAE-∠AGE=180°-∠BDE-∠BGD, ∴,故⑤正确， 故选：C. 二、填空题 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角()”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 三、解答题 5．（23-24七年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 6．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 7．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 8．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 9．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 10．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $