专题03 全等三角形模型之截长补短与倍长中线（2大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形核心辅助线技巧，系统构建截长补短与倍长中线模型方法体系，通过真题典例实现知识逻辑与解题能力的统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截长补短模型|含模型解析、2类证法、3道期末真题|截长（截取短线段证剩余线段）、补短（延长短线段证等长线段），需二次全等|从线段和差关系情境（等腰三角形、角平分线）出发，通过构造全等实现线段转化| |倍长中线模型|含模型解析、2类模型、4道期末真题|中线型（延长中线构造全等）、中点型（延长类中线构造全等），基于SAS证全等|从中点/中线条件切入，通过倍长转化线段至同一三角形，利用三边关系或等量代换解决问题|

专题03 全等三角形模型之截长补短与倍长中线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 1 题型二、全等三角形模型之倍长中线模型 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 【模型解析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例1．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析，（2），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 例2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二、全等三角形模型之倍长中线模型 【模型解析】（1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） （2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 例4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． 2．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 三、解答题 5．（24-25八年级上·河南漯河·月考）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 7．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； 即； （3）；理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 9．（25-26八年级上·江西上饶·期末）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 【答案】（1）；；（2），见解析；（3）①见解析；②42 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段中点的性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点得出，证明，然后利用三角形的三边关系进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，借助（1）的结论，证明，得出相等的边，再证明，得出，即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明和，得出相等的边和角，然后利用角的和差得出，即可得出结论； ②根据全等三角形得出相等的边，得出，然后求出其它三角形面积即可． 【详解】解：（1）在中，若，，延长至点，使，连接． 是边上的中线， ． 在和中 ， ． 在中，由三角形三边关系可得 ，即， ， 故答案为：；； （2）．理由如下： 如图1，延长至点，使，连接， 由（1）得， ． ， ， 即． ， ． ． 在和中 ， ． ， ． （3）①证明：如图2，延长，交于点． ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ． ， ． 在和中 ， ． ，即， ， ； ②， 由①可知，． ， ． ， ， ． 10．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明见解析； （）证明见解析 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是； ②， ， ， ， ， ； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03全等三角形模型之截长补短与倍长中线 目录 A题型建模·专项突破 题型一、全等三角形模型之截长补短模型… 1 题型二、全等三角形模型之倍长中线模型…。 ..6 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 【模型解析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线 等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段：补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE （2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 例1.(25-26八年级上广东珠海期末)实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C'处（如图1(2）).由 ∠ACD=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>LB 1/9 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理由. D 图3 例2.(25-26八年级上：吉林长春·期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索 三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题. 图① 图② 图③ 图④ (I)(1)在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题 (②)如图③，在△ABC中，∠ABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关系 (3)如图④，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,AD、BG分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 AB=5,BD=3' AG= 8 直接写出GC= 题型二、全等三角形模型之倍长中线模型 【模型解析】（1)倍长中线模型（中线型） 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线。 结论：△ABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴.BD=CD,,'∠BDA=∠CDE,△ABD≌△ECD(SAS) (2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 :D为BC边的中点，∴BD=DC,,'∠BDE=∠CDF,∴△EDB≌△FDC(SAS) 例3.(25-26八年级上云南昆明·期末)【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中， AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围， 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,易证△ACD三△EBD,于是我们把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围， 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助 线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方 法称为“倍长中线法”. 【问题解决】(1)如图1，AC与BE的位置关系是一；AD的取值范围是 319 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题应用】(2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD, 试探究线段AE与AD的数量关系. 【拓展延伸】(3)如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过点 G作GF平行于AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F,若AB=I0,AC=6,求BE的长. D GD 图1 图2 图3 例4.(25-26八年级上山东滨州期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其 中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究.古希腊数学家欧几里得《几何原本》 虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础.数学文献中，倍长中线作为标准术 语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧. H B D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】 如图1，△ABC中，AB=8,AC=6,AD是中线，则AD的取值范围是一： (2)【变式思考】 如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,AB=AE, AC=AF,∠BAE=∠CAF=9O°，连接EF,求证：EF=2AD: (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,将△ABD沿着AB翻折，点D的对应点为H, ∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2425八年级上山东德州期末)在△ABC中，AC=6,中线AD=7,则AB的长度不可能是() A.7 B.9 C.17 D.19 2.(22-23八年级上·重庆江北期末)如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、 CE相交于点O,BD交AC于点D,CE交AB于点E,若己知△ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4 ,则AE长为() E o 14 A.3 B. c.3 D.4 二、填空题 3.(24-25八年级上江苏扬州期中)如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线 BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=3,则CD=一. B 4.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨·月考)如图已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AE平分∠CAD交 BC边于点E,∠BAD+∠CAE=90°，AD=5,则AC=一· B D E 三、解答题 5.(24-25八年级上河南漯河月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，∠BAC与 ∠ACB的平分线AD,CE交于点O. 519 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求∠AOE的度数： (2)求证：AC=AE+CD 6.(25-26八年级上广东潮州期中)如图，AD∥BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、 ∠BCD的角平分线， D (I)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长 7.(25-26八年级上辽宁葫芦岛期末)八年级(2)班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： (1)如图1，AD是△ABC的中线，AB=6,AC=4,写出一个符合条件的AD的整数值. E 图1 图2 图3 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE.通过三角形全等把ABAC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是 所以AD的可能取值为一 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 619 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOB+∠COD=180°，连接AC,BD,E是AC的中点，连接OE, 若∠COE=20°，求∠D的度数： (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F,OF=2,OE=5,求△BOD的 面积. 8.(25-26八年级上湖北省直辖县级单位期末)(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF 的数量关系.小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD 的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. G D A B B E 图1 图2 图3 9.(25-26八年级上江西上饶·期末)八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他 们一起活动吧 【初步探索】 B D E 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，若AB=6,BC=4.求AC边上的中线BD的取值范围. 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长BD至点E,使DE=BD,连接CE.利用全等将边AB转化到CE,在ABCE中利用三角形三 边关系即可求出中线BD的取值范围， 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小明：过点C作CE∥AB,交BD的延长线于点E.利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形 三边关系即可求出中线BD的取值范围， 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 中线BD的取值范围是 【灵活运用】 (2)如图2，在△ABC中，分别过AB,BC作等腰直角三角形△ABM和△BCN,其中 ∠ABM=∠NBC=9O°，连接MN,点D是MN的中点，连接BD,试判断BD与AC的数量关系，并说明 理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在五边形ABCDE中，△ABC≌△ADE,∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠CAD,AF为 △ABE中BE边上的中线. ①求证：AF⊥CD: ②若AE=6,DE=4,求五边形ABCDE的面积. 10.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯期末)【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围： 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请 根据小明的方法思考并解答： 图1 图2 图3 图4 (I)①由已知和作图能得到△ADC≌aEDB,依据是_； A.SSS B.SAS C.AAS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_： 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移 线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中。 【类比运用】 (2)如图3，E是BC中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE,求证：AB=CD: 【拓展运用】 (3)如图4，已知直线m‖n,点A、D是直线m上两点，点B、C是直线n上两点，点P是线段CD中 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，且AP⊥BP,两平行线m、n间的距离为4.求证：PAPB=2AB. 9/9