专题05 全等三角形中的动点问题（4大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形与动点结合的四大题型，以分类讨论、动态建模为核心方法，构建从边/角求解到线段/角关系证明的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一|3题|利用全等性质转化动点边、角|以角平分线、等腰三角形为载体，通过全等实现动态量静态化| |题型二|3题|分类讨论动点位置与对应关系|基于全等判定条件，分情况探究动点速度与位置的对应性| |题型三|3题|构造全等证明线段数量/位置关系|从特殊到一般，结合辅助线（如垂线、截长补短）构建全等模型| |题型四|3题|通过全等推导角的等量/和差关系|以等边、等腰直角三角形为背景，利用全等传递角的关系|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形中的动点问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用全等三角形求解动点边、角问题. .1 题型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题， 5 题型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题. .9 题型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题… .15 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用全等三角形求解动点边、角问题 1.(25-26八年级上河南信阳月考)如图，在直角△ABC中，∠C=90°，4C=8,BC=6,AB=10,AD平 分∠BAC,N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合），则CM+MN的 最小值为 D 2.(24-25七年级下四川成都期中)如图，在△ABC中，AB=18cm,AC=12cm,点P从点B出发以每 秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一 个动点也随之停止，当△AP№是以P№为底的等腰三角形时，运动的时间是秒. 3.(25-26八年级上·安徽蚌埠·月考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DF⊥AB,DM⊥AC, AF=9cm,AC=12cm,动点E以3cm/s的速度从点A向点F运动，动点G以2cm/s的速度从点C向点A 运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为s. 1/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M G B D (I)求CM的长 (2)当△DEF≌△DGM时，求t的值. 2 (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△DGc= SAAED. 3 题型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 4.(25-26八年级上甘肃临夏·期中)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A=∠C,AC=18, CD=6,动点P从点C出发向点A运动，速度为2，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接PQ、 PD,在运动过程中，存在某一时刻使△CDP与△APQ全等，则点Q的运动速度为一 B D 5.(25-26八年级上新疆鸟鲁木齐月考)如图，CA1AB,垂足为A,AB=12厘米，AC=6厘米，射线 BM⊥AB,垂足为B,一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线AN运动，同时动点D从点B出发沿 射线BM运动.设点D运动的速度为v厘米/秒，当V=厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△ABC 全等. M P BN 6.(25-26八年级上江苏泰州期中)如图，在Rt△DEF中，∠E=90°，EF=3cm,DE=4cm,在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠D,BC=9cm,AC=12cm.现有一动点P,从点C出发，沿着三角形 的边CB→BA→AC运动，回到点C停止，速度为3Cm/s.若另外有一个动点O,与点P同时出发，从点 A开始沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.若在两点运动过程中的某一时刻，恰好△BP卫和△DEF 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 全等，设点Q的运动速度为vcm/s,则v的值为 A 题型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题 7.(25-26八年级上全国期末)如图，AB⊥BC,射线CM⊥BC,且BC=5,AB=1,点P是线段BC (不与点B、C重合)上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D,连接AD M D D B 图1 图2 (I)如图1，当BP=时，△ADP是等腰直角三角形.（请直接写出答案） (2)如图2，若DP平分∠ADC,试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明. 8.(2425八年级上·吉林长春期末)在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连结CM, 以点C为直角项点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角△CMN，,连结NB. R M 图① 图② 图③ ()当△ABC是等腰直角三角形且∠ACB=90°时. ①问题初现：如图①，若点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则BN与AM所在直线的位置关系 是 ②深入探究：如图②，若点M在线段AB的延长线上，判断BN与AM所在直线的位置关系，并说明理由： (②)当△ABC不是等腰三角形且∠ACB<90°时，如图③.若点M为线段AB上不与点A重合的一个动点， ∠ABC=45°，判断BN与AM所在直线的位置关系，并证明你的结论. 9.(25-26八年级上广西南宁·期末)综合与实践： 3/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，∠ACB=90°，AC=BC, AD⊥CD,BE⊥CD,垂足分别为点D,E.请证明：AD=CE 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，∠CDF=9O°，CD=FD,点A是 DF上一动点，连接AC,作∠ACB=90°且BC=AC,连接BF交CD于点G.若DG=1,CG=3,请证明： 点A为DF的中点. 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，∠CDF=9O°，CD=FD,点 A是射线DF上一动点，连接AC,作∠ACB=9O°且BC=AC,连接BF交射线CD于点G.若FD=4AF, 请直接写出DG与CG的数量关系. F G G EP D B 图1 图2 图3 题型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题 10.(24-25八年级上：海南省直辖县级单位期末)在△ABC中，AB=AC,点D是射线CB上的一动点 (不与点B,C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°时求证：①△ABD≌△ACE;②BC⊥CE, (2)如图2，∠BAC≠90°，请你探究∠BAC与∠DCE之间的数量关系，并证明你的结论. 11.点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点O从顶点B同时 出发，且它们的速度都是1c/s. 4/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B B 图1 ◇ 图2 (1)连接A犯、CP交于点M,则在卫、Q运动的过程中，∠CM0变化吗？若变化，则说明理由：若不变， 则求出它的度数； (2如图2，若点P、O在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线40、CP交点为M,则∠CM0 变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数 12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D,连接CD. D E B 图① 图② (1)【观察发现】 如图O,∠DAC与∠DBC的数量关系是-： (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数： (3)【深入思考】 如图②，若E为AC中点，探索BE与DE的数量关系. B 综合攻坚•能力跃升 一、单选题 1,(24-25七年级上海南省直辖县级单位期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,BC=12, AB=13,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC的最小值是() 5/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P 65 60 A.12 B.13 c昌 D.12 5 2.(25-26八年级上北京·期中)如图，在锐角△ABC中，AB=6,△ABC的面积为18，BD平分∠ABC, 若E,F分别是BD,BC上的动点，则CE+EF的最小值是() D B A.8 B.6 C.4 D.2 3.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,直线I经 过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿 B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为2cm/s和3Cm/s,两点同时出发并开始计时，当 点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点作PE⊥I于点E,QF上I于点F,设运动时间为 s,则当t的值为多少时，aPEC与△QFC全等？() B 14 14 A.2 B.2或6 C.5或6 D.2或5或6 A() 图① 图② 图③ 二、填空题 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上山西朔州月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D为AC上的一动 点.当∠1的度数为 时，△ABD≌△CBD 1 5.(25-26八年级上湖北荆州期中)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D, 点M,N分别是AD和AB上的动点，当S△MBC=15,AB=6时，BM+MN的最小值等于 6.(24-25八年级上山西临汾期中)如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是BC延长线上 一点，且CE=2,连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC一CD一DA向终点A 运动.设点P运动的时间为s,则当△ABP和△DCE全等时，t的值为 三、解答题 7.(25-26八年级上湖南长沙期中)如图，△ABC与△AED均为等腰三角形，AB=AC,AE=AD, ∠EAD=∠BAC,D为线段BC上一个动点，AB与DE相交于点G. G 备用图 (1)求证：BE=DC: (②)AD将△ABC分为△ACD和△ABD两部分，记SACn=S,SABD=S2;AB将△ADE分为△AEG和 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ADG两部分，记SG=S,S6=S.求证：S,S (3)若AE⊥AC,且∠BAD=2∠BDE,BD=4,求△BDE的面积. 8.(25-26八年级上吉林月考)如图，在长方形ABCD中，AB=DC=12厘米，AD=BC=9厘米.动点 P从点A出发，以2厘米秒的速度沿A→B运动：同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿 C→B→A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为1秒(>0). B B Q D (I)直接写出线段BQ的长，用含t的代数式表示并写出t的取值范围： (②)求t为何值时，△ADP与△BQD的面积相等； (3)求t为何值时，△PBC与△QAD全等： (④是否存在t值，使DP=P№，且DP⊥PO?若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由. 9.(25-26八年级上湖北武汉月考)已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为直线BC上一动点， 连接AD,在直线AC右侧作AE⊥AD,且AE=AD A M PH A AI D C B C B D 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H,求证：EH=BC: (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M,求证：BM=EM. SAABD (3)当点D在直线BC上时，连接BE交直线AC于M:若3AC=7CM?则SB 的值为 10.(25-26七年级上·云南曲靖期中)已知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=90°，点D是直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），连接CE. 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D B D B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=」 度： (②)如图2，当点D在边BC的延长线上时，请猜想BC,CE,CD之间存在的数量关系，并说明理 (3)如图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，试猜想线段BC,CE,CD之间存在的数量关系.直线 CE与直线BC的位置关系.请补全图形，并说明理由. 11.(24-25八年级上福建厦门期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上一动点，E为 △ABC外一点，且E、A在线段CD的两侧，CE=CA,∠E=∠B D E B 图1 图2 备用图 (I)如图2，当CD⊥AB时，在线段CD上取一点F,使CF=DE ①求证：AF=CD: ②若DE=4,AD=8,CD=10,求△CDE的面积： (2)若点A与点E关于线段CD成轴对称，且DE与△ABC其中的一条直角边垂直，求∠ACD的度数. 12.(25-26八年级上·安徽淮北月考)【观察】 (1)如图1，AB和CD交于点O,且AB和CD互相平分，则AC一BD.(填“>”“=”或“<”) 图1 图2 图3 图4 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题. 【应用】 (2)如图2，BC=AD,BC∥AD,AC和EF交于点O,且AC和EF互相平分，∠ACF=50°， 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD=24°，则∠EAB的度数为 (3)如图3，点D,E在BC上，E为CD的中点，AD平分∠BAE,∠B=∠CAE.求证：AC=BD 【拓展】 (4)如图4，在△ABC中，AB=AC=7,BC=4,∠ABC=∠4CB,边AB上的中线长为4.5，P,0分别为边 AB,AC上的两个动点，在运动过程中始终保持AP+A0=AB,连接BO,CP,且B0+CP=m,请求出整 数m的值. 10/10 专题05 全等三角形中的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用全等三角形求解动点边、角问题 1 题型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 5 题型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题 9 题型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用全等三角形求解动点边、角问题 1．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】此题考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．作于点，根据三角形的面积公式求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【分析】本题主要综合考查了全等三角形的判定与性质，动点问题的分类讨论思想，三角形面积公式的应用． ()通过角平分线性质得，根据证明 ，得到线段相等，再结合已知线段长度计算目标线段； ()分两种情况讨论，根据动点运动的不同阶段(点在上)分类列方程，由全等三角形的性质可求解，舍去不合题意的解后确定值； ()利用三角形面积公式，结合全等得到的高相等的条件，将面积比转化为底的比，再根据动点速度表示出底的长度，推导出面积的固定比例关系． 【详解】（1）解：平分， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ，， ． （2）， ． ①当时，点G在线段上运动，点E在线段上运动， ，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上运动，点在线段上运动， ，， ， ． 综上所述，当时，． （3），，， ． 点以的速度从点向点F运动，动点以的速度从点向点运动， ，， ，即， 即， 在运动过程中，不管取何值，都有． 题型二、利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 4．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 题型三、利用全等三角形求证线段之间的关系问题 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，射线，且，，点P是线段（不与点B、C重合）上的动点，过点P作交射线于点D，连接． (1)如图1，当 时，是等腰直角三角形．（请直接写出答案） (2)如图2，若平分，试猜测和的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，得出，根据，得出是等腰直角三角形； （2）延长线段、交于点E，证明，得出，证明，得出． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，是等腰直角三角形． （2）解：和的数量关系：， 证明：如图2，延长线段、交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）在中，为锐角，点M为射线上一动点，连结，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角，连结． (1)当是等腰直角三角形且时． ①问题初现：如图①，若点M为线段上不与点A重合的一个动点，则与所在直线的位置关系是______； ②深入探究：如图②，若点M在线段的延长线上，判断与所在直线的位置关系，并说明理由； (2)当不是等腰三角形且时，如图③．若点M为线段上不与点A重合的一个动点，，判断与所在直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①垂直；②，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①利用等腰直角三角形的性质得到，再证明，即可得出结论；②同理①证明，即可得出结论； （2）过点C作交的延长线于点D，同理证明，即可得出结论 【详解】（1）①问题初现：垂直；理由如下： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ． ． ． ； ②深入探究： 和都是等腰直角三角形， ． ． ． ， ． ． ． ． （2）解：，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点D， ． ． ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 9．（25-26八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）分如图，当在延长线上时，如图，当在线段上时，过点作于两种情况分析求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 如图，当在延长线上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：或． 题型四、利用全等三角形求证角之间的关系问题 10．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1） ①先证明，可得；②由可得，证明，从而可得结论； （2）①当点D在线段上时，如图2所示，证明，，可得，进一步可得结论；②当点D在线段的延长线上，如图所示，证明，，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，    ∴ ，    在和中， ， ∴；          ②由得 ，        ∵， ∴ ，       ∴ ，         ∴； （2）解：或．理由如下： ①当点D在线段上时，如图2所示， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴  ， ②当点D在线段的延长线上，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．点P、Q分别是边长为的等边的边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．    (1)连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)不变， 【分析】（1）因为点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都为cm/s，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解：不变． 等边三角形中，，， 又由条件得， ， ， ； （2）解：不变． 在等边三角形中，， ，又由条件得，， ， ， 又， ． 12．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，当时，的值最小，利用面积法求解即可，解题的关键是学会利用面积法求高． 【详解】解：在中，，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴的值最小，为， 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；点在上、点在上，点未到达终点A时，或点到达终点A时，继续运动；三种情况，根据列方程计算即可，舍去不合题意情况 【详解】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D．            二、填空题 4．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，在中，，，为上的一动点．当的度数为________时，． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．根据全等三角形的性质，得到，即可得解． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在等腰中，，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于________． 【答案】5 【分析】本题考查了垂线段最短的性质，等腰三角形的性质．在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，   是的平分线，， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是5． 故答案为：5． 6．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为__________． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，与均为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)求证：； (2)将分为和两部分，记；将分为和两部分，记求证： (3)若，且，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题目，主要考查全等三角形的判定与性质以及三角形的面积的灵活运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据角的关系，判定即可； （2）过点作于，过点作于，作出适当的辅助线是关键，通过倒角得出，得到关键结论，最后证出和即可； （2）延长，作交的延长线于点，在延长线上截取，连接，交的延长线于点，作出适当的辅助线是关键，仍需通过复杂严谨的推理求证出和，最后求得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）如图， 过点作于，过点作于， 由（1）知，， ∴，． ∵和同高， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和等高， ∴． ∵和也可以看成同高的两个三角形， ∴， ∴， ∵和同高， ∴， ∴． （3）如图， 延长，作交的延长线于点，在延长线上截取，连接，交的延长线于点． ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的面积为． 8．（25-26八年级上·吉林·月考）如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）分类讨论当和当时两种情况即可； （2）由题意得，可得，分类讨论当和当时两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得厘米， 当时，； 当时，； 则； （2）由题意得， ∴， 当时，， 此时， 解得； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）由题意得是直角三角形， ∴当时，即点在上运动时，有， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， 解得； （4）存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在长方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． AI (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：． (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则的值为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）结合已知得，结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可证明结论； （3）当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于，设，，证明和证明，可求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可；当点在线段上过点E作于G，同理可证明，得到，再证明，得到；可证明，设，则，分别表示出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作交延长线于N， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）解：如图，当点在延长线上时，连接交直线于，过点E作交的延长线于， ， ∴可设，， ，， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，过点E作于G， 同理可证明， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ， ∵， ， ， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 10．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． (1)如图1，当点在线段上，如果，则_______度： (2)如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理 (3)如图3中，当点在边的反向延长线上时，试猜想线段，，之间存在的数量关系．直线与直线的位置关系．请补全图形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)补图见解析，，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（），通过角的转化证明三角形全等是解题的关键． （1）通过证明三角形全等，得出角的关系，进而求出的度数． （2）证明三角形全等，得到线段相等关系，从而推出、、之间的数量关系． （3）先补全图形，再证明三角形全等，分析线段关系和位置关系． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （3）解：补全图形（点在延长线上，在下方，连接）， ，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，∠，D为边上一动点，E为外一点，且E、A在线段的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点F，使． ①求证：； ②若，，，求的面积； (2)若点A与点E关于线段成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②16 (2)或 【分析】（1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点与点关于线段成轴对称， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 12．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）或 【分析】（）利用线段互相平分的性质，结合全等三角形判定证明三角形全等，进而得到线段平行且相等； （）利用与互相平分得出相等线段，再通过判定，由全等得对应角相等，结合的内错角关系，得到，最终计算出的度数； （）先通过延长到点，使得，连接，结合是中点， 利用证明，得到且；再由平分推出，结合已知，利用证明，最终证得； （）利用中线定义和的条件，结合三角形三边关系确定的取值范围，进而得到整数的值． 【详解】（）解：∵和互相平分， ∴，， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴且， 故答案为：=． （）∵和互相平分， ∴， 在和中 ∴ ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （）（证法不唯一）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （）如图，过点作，且，在上截取，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，此时可得， ∴， ∴是的中点，此时的值最小，最小值为． ∴， ∴， ∴整数的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $