专题02 简单的轴对称图形（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形与轴对称核心性质，通过分类题型构建从单一性质应用到综合证明的知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一|4题|等腰三角形等边对等角求角|从顶角/底角关系切入，强化内角和定理应用| |题型二|4题|等腰三角形三线合一求解|结合中线、高线、角平分线性质的计算| |题型三|4题|等腰三角形性质证明与计算|综合性质的推理与几何量计算，培养推理意识| |题型四|4题|线段垂直平分线性质|利用垂直平分线性质转化线段关系，提升应用意识| |题型五|4题|角平分线性质定理|通过距离相等关系解决面积、线段证明问题|

专题02 简单的轴对称图形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据等腰三角形等边对等角求角 1 题型二、根据等腰三角形三线合一求解 3 题型三、根据等腰三角形的性质证明与计算 5 题型四、线段垂直平分线的性质 10 题型五、角平分线的性质定理 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据等腰三角形等边对等角求角 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，通过内角和减去顶角度数后除以2即可求解底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为， ∴底角的度数为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 先根据平角的性质，求出，再根据等边对等角求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵的内角和为， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 4．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 题型二、根据等腰三角形三线合一求解 5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 6．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，平分交边于点D，则________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据三线合一定理即可得到答案． 【详解】解：∵，平分交边于点D， ∴， 故答案为：5． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 题型三、根据等腰三角形的性质证明与计算 9．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，．若， (1)如果，那么的度数为______°； (2)猜想和的数量关系并证明． 【答案】(1)40 (2) 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； （2）同（1）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40； （2）解：， 证明：， ， ， ， ． 11．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）证明，即可解答； （2）在上截取，证明，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， 是的平分线； （2）证明：在上截取， 由（1）得：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 12．（23-24八年级上·吉林延边·期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 【答案】；； 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， ①根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； ②由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； ③由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． ②，，、分别为和的中线， ，， ， ； ③∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 题型四、线段垂直平分线的性质 13．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 14．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，据此可得答案； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数． (2)若，如图②，其余条件不变，求的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由得等腰三角形，计算的度数，再由 MN 垂直 AB，在中求的度数； （2）与（1）步骤相同，代入计算； （3）设 为，用代数推导与的关系，证明规律． 【详解】（1）解：，， ． 垂直平分， ． （2）解：由（1）可知，． 垂直平分， ． （3）解：规律是． 证明：设，则有， ． 题型五、角平分线的性质定理 17．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在如图所示的中，平分交于点D． (1)若，，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 19．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画射线交于，则是的平分线，说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）先证明，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）过点P作，交于点H．由角平分线的性质得到，再由计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． ∵点O与点重合， ∴， ∴是的平分线； （2）解：如图，过点P作，交于点H． ∵是的平分线，，，， ∴． ∵，， ∴． 20．（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 先根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为，判断内角为顶角，再计算底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等． 当等腰三角形的底角为时，，这与三角形内角和为矛盾，故舍去； 当等腰三角形的顶角为时，底角为． 故选：B． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 3．（25-26八年级上·青海果洛·月考）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出的度数，结合，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级下·辽宁大连·月考）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】过点G作于点H，证明，可求，当点P与点H重合时，取最小值，即可求得此时的长． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 当点P与点H重合时，取最小值，此时． 5．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：C.． 6．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． ①证明与全等，即可得；②由角平分线的性质即可得；③证明与全等，即可得；④证明与全等，即可得． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，且，， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 又， 在与中， ， ∴， ∴，故③正确； ④在与中， ∵， ， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的是①②③④． 故选：D ． 二、填空题 7．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 8．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是_____． 【答案】27 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是， ∴ ； 故答案为：． 9．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，平分，于点，点在上，于点，若，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，关键是由三角形面积的不同表示方法得到等积式；过点作，则，又根据，即可求得的长． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即：， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 12．（25-26七年级上·山东威海·期中）若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是______． 【答案】或 【分析】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 设，顶角为，或设三角形的底角为，顶角为，根据三角形的内角和为，得出答案． 【详解】解：①设，顶角为，则， 解得：； ②设三角形的底角为，顶角为，则， 解得：， ； 三角形的“可爱角”应该是或． 故答案为：或． 三、解答题 13．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26九年级下·江西九江·月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）根据外心的定义，分别作三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O，则点O为的外心． 【详解】（1）解：如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的外心O即为所求： 16．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交的延长线与点M． （3）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， （2）解：如图，即为所求作 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线有关的计算，三角形中线的性质，三角形外角的定义，作三角形高等知识，掌握这些知识是解题的关键． 17．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为． (1)求线段的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论； （2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可． 【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为等腰三角形，见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． 【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ； （2）证明：， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02简单的轴对称图形 目录■ A题型建模·专项突破 题型一、根据等腰三角形等边对等角求角， .1 题型二、根据等腰三角形三线合一求解… 3 题型三、根据等腰三角形的性质证明与计算… 5 题型四、线段垂直平分线的性质.… .10 题型五、角平分线的性质定理..13 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、根据等腰三角形等边对等角求角 1.(25-26八年级上安徽合肥期末)已知一个等腰三角形的顶角为108°，则该三角形的底角的度数为 2.(25-26八年级上山东聊城期末)如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,点D是BC延长线上的一 点，∠ACD=110°，则∠A的度数为 D 3.(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，△ABC中，∠BAC=114°，点D是BC上一点，BD的垂直平 分线交AB于点E,将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则∠C度数为一 4.(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=50°，点D在线段BC上运动 (不与点B,C重合)，当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、根据等腰三角形三线合一求解 5.(25-26八年级上陕西西安月考)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，∠BAD=35°，则 ∠C= D 6.(25-26八年级上河北唐山期末)如图，在△ABC中，AB=AC=BC=10cm,AD平分∠BAC交BC 边于点D,则BD= cm. A D 7.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且CD=CE, 若∠ADE=20°，则∠C的度数为 D 8.(2425七年级下山西晋中·期末)如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分 线EF分别交AB、AC于点E、F,若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周 长的最小值为一 2111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、根据等腰三角形的性质证明与计算 9.(25-26八年级上甘肃期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，连接AD B (1)求证：AD L BC: (2)若BC=10cm,AD=12cm,求△ABC的面积. 10.(25-26八年级上：江苏泰州月考)如图，AB=AC=AD.若AD∥BC, D (1)如果∠C=80°，那么∠D的度数为： (2)猜想∠C和∠D的数量关系并证明. 11.(25-26八年级上·湖北武汉期中)如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE. Q( 0 B 图1 图2 图3 (I)如图2，将仪器放置在锐角△ABC上，使点O与点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF画一条 射线AP,交BC于点P,求证：PA平分∠BAC: (②)如图3，在(I)的条件下，过点P作PO L AB,垂足为Q,H在边AC上，若PH=BP,求证： 3111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AQ=AH+BO 12.(23-24八年级上吉林延边期末)【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图①， 在△ABC中，AB=AC,AD是中线，若∠C=58°，则∠BAD的度数为 【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,AD、AG分别为△ABC和△AEF的 中线，若∠BAF=110°，∠CAE=24°，求∠DAG的度数： 【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB=AC,AB=AE,AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线， AD与BE交于点O,若∠AOF=69°，则∠CAE的度数为 B D 图① 图② 图③ 题型四、线段垂直平分线的性质 13.(25-26八年级上内蒙古赤峰期末)如图，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点 D B C (1)求∠DBC的度数； (2)若AB=30cm,BC=18cm,求△DBC的周长. 14.(25-26八年级上·湖南岳阳·期中)如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于 M、N两点，DM与EN相交于点F. (I)若aCMN的周长为l8cm,求AB的长； 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠ACB=120°，求∠MCN的度数， 15.(25-26八年级上河北衡水期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，P为边BC上的一点，D为BP的 中点，E为CP的中点，过点D作DF⊥BP交AB于点F,过点E作EG⊥CP交AC于点G. B (1)求∠FPG的度数. (2)如图，连接FG,若FG∥BC,求证：AG=PG 16.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N, 交BC的延长线于点M. NE M B 图① 图② (1)如图①，若∠A=40°，求∠BMN的度数. (2)若∠A=70°，如图②，其余条件不变，求∠BMN的度数. (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律， 题型五、角平分线的性质定理 17.(25-26八年级上·浙江金华期末)如图，已知四边形ABDC的面积为16，AD平分 ∠BAC,AB+AC=10 D (I)求点D到AC的距离DE的长； (2)若∠C+∠B=180°，求证：BD=DC. 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26八年级上：重庆忠县·期末)在如图所示的△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D D (1)若∠A=60°，∠C=40°，求∠ADB的度数： (2)过点D作DE⊥BC于点E,若AB=5,BC=7,DE=3,求△ABC的面积. 19.(25-26八年级上内蒙古通辽期中)图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE. A D D E B XR P 图1 图2 图3 ()如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF画射线交 BC于P,则AP是∠BAC的平分线，说明理由： (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ L AB于O,若AB=7,AC=5,PO=1,求△ABC的面积. 20.(25-26八年级下·全国·周测)在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B,C重合），连接AD. 图① 图② (I)如图①，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m,AC=n,求S△BD:S△4cD的值（用含m,n的代数式 表示)· (②)如图②，AD平分∠BAC,延长AD至点E,使得AD=DE,连接BE.若AC=2,AB=4,S,BDE=6 求S.ABC的值 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上福建泉州期末)等腰三角形的一个内角是100°，则它的底角是(). A.80° B.40° C.100° D.20° 2.(2026陕西西安·三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,若CD=3,则点D到 AB的距离为() D C A.4 B.3.5 C.3.2 D.3 3.(25-26八年级上青海果洛月考)如图，在△ABC中，∠B=∠C,∠BAC=130°，∠DAC=95°，则 ∠ADB=() D A.100° B.120 C.130° D.145° 4.(25-26九年级下辽宁大连月考)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别截取 BE,BD,使BE=BD:分别以D,E为圆心、以大于2DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F,作 射线BF交AC于点G.若BC=8,AB=I0,P为AB上一动点，则GP取最小值时AP的长是() A.0 B.2 e号 D.5 5.(25-26八年级上山东潍坊期末)如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=15cm,AC的垂直平分线交 BC于D,连接AD,交AB的垂直平分线于点F,则△BDF的周长是() A.5cm B.10cm C.15cm D.25cm 7111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上福建泉州月考)如图，0C平分∠A0B,下列结论：①若OP=O0,则PM,=M1: ②若MB⊥OA,MQ⊥OB,则BM,=QM,;③若2B⊥OC,垂足为M,则BM,=QM;④若 OP=O0,则PM4=Q,M4:其中正确的是() P P3 PǒM4MO PM 0,02004B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题 7.(25-26八年级上浙江绍兴期末)八年级(1)班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，AB=4C,为 了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边BC垂直的水渠AD,已知BD=20m,则CD=m. D 8.(25-26七年级上山东泰安·期末)如图，已知△ABC的周长是18Cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交 于点O,OD⊥BC于点D,若OD=3cm,则△ABC的面积是cm2. D 9.(25-26七年级下·全国单元测试)如图，AB∥CD,，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E, 且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若AD=8,则PE的最小值为 B D 10.(25-26八年级上河南驻马店期末)如图，OP平分∠AOB,PF⊥OA于点F,点D在OB上， DH⊥OP于点H,若OD=4,OP=8,PF=3.5,则DH的长为 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F P D 11.(25-26七年级下江苏盐城期中)如图，∠A0B=45,点M,N分别在射线0A,OB上， MN=10,△OMN的面积为20，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为B,点P关于OB对称的 点为B.当点P在直线MN上运动时，aOPB的面积最小值为一· N B P 12.(25-26七年级上·山东威海期中)若△ABC中刚好有∠B=2∠C,则称此三角形为“可爱三角形”，并 且∠A称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱 角”应该是一 三、解答题 13.(25-26八年级上湖北襄阳期末)如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D,E.点F,G分别在OA,OB上，DF=EG,连接PF,PG.求证： ∠PFO=∠PGO. A D ◇⊙ E GB 14.(25-26八年级上江苏无锡月考)如图，已知：AB=AD,BC=CD,AE⊥BC,垂足为E, AF⊥CD,垂足为F. 9111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：∠B=∠D (2)已知AE=8,求AF的长， 15.(25-26九年级下江西九江月考)如图，在6×5的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请仅用 无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） B 图1 图2 (1)在图1中作AC的垂直平分线EF: (2)在图2中作△ABC的外心O. 16.(25-26八年级上·安徽安庆：月考)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线. D (1)若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数： (2)作出△BED的边BD上的高EM; 3)在(1)和(2)的条件下，若△ABC的面积为40，BD=5,求EM的长. 17.(25-26七年级上·山东淄博月考)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点D,边AC的 垂直平分线2交BC于点E,与'h相交于点O,△ADE的周长为9cm. (I)求线段BC的长 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若∠BAC=118°，求∠DAE的度数 18.(24-25七年级下·广东深圳期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点， DE1AB,垂足为B,过点B作BG∥AC交DE的延长线于点G,连接CG,交AD于点F. B G (I)求证：△DBE≌aGBE: (2)求证：AD⊥CF: (3)连接AG,判断△ACG的形状，并说明理由. 11/11