2.2简单的轴对称图形（基础篇） 练习2025-2026学年鲁教版（五四制） 七年级数学上册

2.2简单的轴对称图形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 垂直平分线 · 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 · 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 若直线 ( l ) 是线段 ( AB ) 的垂直平分线，点 ( P ) 在 ( l ) 上，则 ( PA = PB )。 · 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 若 ( PA = PB )，则点 ( P ) 在线段 ( AB ) 的垂直平分线上。 角平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 · 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 等腰三角形 · 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 · 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 在中，若 ( AB = AC )，则。 · 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 · 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 在中，若，则 ( AB = AC )。 含30°角的直角三角形 · 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在中，，，则。 直角三角形斜边的中线 · 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在中，，( CD ) 是斜边 ( AB ) 上的中线，则。 型 习 练 题 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，其中，的周长为，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂直平分线的意义、性质，得出，，再求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于E，交于D， ∴，， ∵，的周长为， ∴的周长是 ()， 故选：B． 3．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质得，求出，进而可求出的周长． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故选：B． 4．如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由垂直平分线可得，则周长可求． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴ ∵， ∴的周长为：． 故选：C ． 5．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线得，继而可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长． 故选：C． 角平分线的性质定理 6．如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定的平分线，进而可知本题答案． 【详解】解：∵A选项，点M在的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到两边的距离相等； B选项，点N不在的角平分线上，所以点N到两边的距离不相等； C选项，点P不在的角平分线上，所以点P到两边的距离不相等； D选项，点Q不在的角平分线上，所以点Q到两边的距离不相等， 故选：A． 7．如图，在中，，平分，，则点到的距离为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 【详解】解：作于E，如图， 又，平分， ， 故选：C． 8．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 9．如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵在中，，平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B． 10．如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质是解题的关键． 由平分，且，根据角平分线的性质，可得． 【详解】解：在中，平分，且， ． 故选：C． 等腰三角形性质和判定 11．下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形顶角的角平分线是它的对称轴 B．关于某直线对称的两个图形一定能够重合 C．轴对称图形的对称轴不一定只有一条 D．两个全等三角形组成的图形不一定是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及等腰三角形的特性．根据以上知识逐一判断各选项的正确性，注意对称轴是直线，而三角形的角平分线是线段即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，而三角形的角平分线是线段，不是直线，∴ A选项错误．符合题意． ∵ 关于某直线对称的两个图形可以沿着该直线翻折即可重合，∴ B选项正确．不符合题意． ∵ 轴对称图形的对称轴可能有多条，如圆有无数条对称轴，∴ C选项正确．不符合题意． ∵ 两个全等三角形组成的图形可能不对称，∴ D选项正确．不符合题意． 故选：A． 12．如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出各角的度数，再根据等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵，， 是等腰三角形，， 是的角平分线， ， ， ∴， 是等腰三角形． ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 13．如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，进而得到，求出、的值，即可求解． 【详解】解：是的中垂线， ， 的周长为， ， ， ，， ， 的周长为， 故选：D． 14．如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，则，根据垂直的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而计算的面积即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点 、 在和中 ， 故选：B． 15．如图，在中，，，，则（    ） A．45 B．65 C．67.5 D．68.5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，先根据等腰直角三角形的性质求出的度数，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形，即， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 三线合一 16．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边贴在横梁上），在这把三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，若线绳恰好经过三角尺的直角顶点，则可以判断横梁是水平的，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性 C．等腰三角形“三线合一” D．等边对等角 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形性质的应用，根据是个等腰直角三角形可得，再根据点是的中点，即可得出，然后即可得出结论．解题的关键是掌握：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是的中点，即是的边上的中线， ∴（等腰三角形“三线合一”）， 即横梁是水平的． 故选：C． 17．如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）． 根据等腰三角形“三线合一”作答即可． 【详解】解：在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线， 她这样做的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：C． 18．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 19．如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． 过点A作于点E，在中，利用含角的直角三角形的性质可以求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可得的长． 【详解】解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 20．如图，，D是的中点，于点．则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质得出，，再根据直角三角形的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ； 故选：B． 含30度角的直角三角形 21．如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，过作于，过作于，可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 在中，， ∴， 同理可得，， ∵点与之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：． 22．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，过点作，垂足为D，根据垂直定义可得，再利用旋转的性质可得米，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为D， ∴， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴栏杆A端升高了， 故选：A． 23．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，含的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质可得到，可求得，再根据直角三角形的性质可求得，可得答案． 【详解】解：∵为线段垂直平分线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．首先求出，然后求出，然后根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：B． 25．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，构造直角三角形是解此题的关键．过作延长线于点，求出，根据含度的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：如图所示，过作延长线于点，  则，， ， ， ， 故选：B． 斜边的中线的等于斜边的一半 26．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，由，为的中点，则，，然后通过等边对等角即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴，， ∴， 故选：． 27．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线，， ∴， 故选：A． 28．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为， ∴． 故选：C． 29．小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点所对应的数字分别为1和为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4．5 C．5 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，掌握该性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵点所对应的数字分别为1和9，点D对应的数字为5， ∴，， ∴， ∴点D是的中点， ∵是直角三角形， ∴． 故选：A． 30．如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2简单的轴对称图形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 垂直平分线 · 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 · 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 若直线 ( l ) 是线段 ( AB ) 的垂直平分线，点 ( P ) 在 ( l ) 上，则 ( PA = PB )。 · 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 若 ( PA = PB )，则点 ( P ) 在线段 ( AB ) 的垂直平分线上。 角平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 · 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 等腰三角形 · 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 · 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 在中，若 ( AB = AC )，则。 · 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。 · 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 在中，若，则 ( AB = AC )。 含30°角的直角三角形 · 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在中，，，则。 直角三角形斜边的中线 · 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在中，，( CD ) 是斜边 ( AB ) 上的中线，则。 型 习 练 题 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，则（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，其中，的周长为，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 4．如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 角平分线的性质定理 6．如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．如图，在中，，平分，，则点到的距离为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 等腰三角形性质和判定 11．下列说法错误的是（   ） A．等腰三角形顶角的角平分线是它的对称轴 B．关于某直线对称的两个图形一定能够重合 C．轴对称图形的对称轴不一定只有一条 D．两个全等三角形组成的图形不一定是轴对称图形 12．如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（    ） A． B．9 C．18 D．36 15．如图，在中，，，，则（    ） A．45 B．65 C．67.5 D．68.5 三线合一 16．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边贴在横梁上），在这把三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，若线绳恰好经过三角尺的直角顶点，则可以判断横梁是水平的，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性 C．等腰三角形“三线合一” D．等边对等角 17．如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 18．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 19．如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 20．如图，，D是的中点，于点．则是（    ） A． B． C． D． 含30度角的直角三角形 21．如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A． B． C． D． 22．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（   ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 24．如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 25．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（   ） A． B． C． D． 斜边的中线的等于斜边的一半 26．如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，是斜边上的中线，若，则（   ） A． B． C． D． 28．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 29．小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点所对应的数字分别为1和为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4．5 C．5 D．无法确定 30．如图，在中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $