专题01 三角形中的三边与三线（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 聚焦三角形三边关系与三线（高线、中线、角平分线）的专项训练，按单一知识点到综合应用的逻辑分层设计，精选各地期末真题，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三边关系|4题（山东滨州等期末）|考查三边不等关系及等腰三角形分类讨论|从基本概念出发，建立边的数量关系认知| |高线问题|4题（北京朝阳等期末）|涉及高线作图判断与等面积法应用|强化图形直观，培养空间观念| |中线问题|4题（河南商丘等期末）|围绕中线分面积及中点性质展开|深化线段与面积关系的推理意识| |角平分线问题|4题（江苏盐城等期末）|聚焦角度计算与角平分线性质|构建角与线的关联逻辑| |三线综合|4题（全国课后作业等）|综合运用三线性质解决复杂问题|形成从单一到综合的完整知识链|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形中的三边与三线 目录 A题型建模·专项突破 题型一、三角形的三边关系… 1 题型二、三角形的高线问题.。 3 题型三、三角形的中线问题…… …6 题型四、三角形的角平分线问题.…。 .9 题型五、三角形的三线综合问题. …13 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、三角形的三边关系 1.(25-26八年级上山东滨州期末)若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为 2.(25-26八年级上安徽合肥期末)若a,b,c为三角形的三边，且a,b满足a-9+(b-2=0,第三 边c为奇数，则c=一· 3.(25-26八年级上广东云浮期末)已知三角形的三边长分别为2cm,aCm和7cm. (1)求a的取值范围， (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长. 4.(25-26八年级上安徽合肥期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b满足(a-3)}+b-5=0,求整数c的最小值. (2)化简：b+c-a+c-a-b-a-b+c. 题型二、三角形的高线问题 5.(25-26八年级上北京朝阳期末)下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（) D 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙ 6.(25-26八年级上·云南昭通期末)如图，关于△CBA边上的高，下列说法正确的是() A.线段AF是AB边上的高 B.线段DB是AC边上的高 C.线段DB是BC边上的高 D,线段BE是AC边上的高 7.(25-26八年级上安徽合肥：月考)如图，在△ABC中，AB=AC,P是射线BC上一点，过点P作 PDLAB,.PE⊥AC,垂足分别为D,E,过点B作BF L AC,垂足为F,连接AP. P 图1 图2 (①)如图1，点P在边BC上，写出线段PD,PE,BF之间的数量关系，并说明理由. (②)如图2，点P在BC的延长线上.当Sc=10,AB=5,PE=2时，求线段PD的长. 8.(2425七年级下·河南南阳·期末)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. E 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为点D,则BD的 长是 (2)如图2，在△ABC中，AB=3,BC=6,则△ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且BE=EC, DM LBE,DN LAC,垂足分别为点M,N.若AB=8,DM=3,求DN的值. 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、三角形的中线问题 9.(25-26八年级上河南商丘·期末)如图，BD是△ABC的中线，E,F分别为BD,CE的中点，若 △AEF的面积为6，则△ABC的面积是一· 10.(25-26八年级上陕西西安·期末)如图，AD是△ABC的中线，BE,CE分别是△ABD,△ACD的中线， 若阴影部分的面积为3cm,则△ABC的面积为 cm2. D 11.(25-26八年级上安徽安庆期中)如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF I BC于点 F.若SABc=30,BC=10,则EF长为 12.(25-26八年级上四川广安期末)如图，AB为△ABC的中线，AB为△APC的中线，AB为△APC的 中线，…，按此规律，APn为△AnC的中线. B (1)若AB=12cm,AC=16cm,则△ACP的周长与△ABP的周长相差cm. (2)若△ABC的面积为64，则△ARC的面积为 题型四、三角形的角平分线问题 13.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,且 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PD∥AB,PE∥AC,△PDE的周长为1O,则BC的长为 14.(25-26八年级上重庆九龙坡月考)如图，在△ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点，且 AC=3CD,BE=3EC,连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G,且AF:AB=I:2,若 △AGB的面积为16，则△AGD的面积为， G 15.(25-26八年级上·浙江杭州·月考)△ABC中，∠BAC=50°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角 平分线，若∠DAE=40°，则∠BAD为 度 16.(25-26八年级上·全国课后作业)如图，在锐角△ABC中，BC边上有E,D,F三点， BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF L BC,垂足为F. B E DF (I)以AD为中线的三角形有一；以AE为角平分线的三角形有一： 以AF为高的钝角三角形有_ (2)若∠BAC=88,∠B=35°，则∠CAF的度数为 题型五、三角形的三线综合问题 17.(25-26八年级上·全国课后作业)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线. B D (1)若∠ABE=16°，求∠ABD的度数. 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△ABC的面积为60，BD=5,则点A到BC边的距离为多少？ 18.(24-25七年级下江苏泰州期中)如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点E是AD的中点，连接 CE,EF⊥BC. FD (1)若LDEF=20°，∠BAD=37°，求∠B的度数： (2)若△ABC的面积为24，CD=4,求线段EF的长度， 19.(25-26八年级上·河南信阳期中)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A, B重合)，CD与BE交于点O. A D B (I)若CD是中线，BC=7,AC=5,则△BCD与△ACD的周长差为一 (②)若∠ABC=64°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数. 20.(25-26八年级上·湖南湘西阶段练习)数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅， 自给条件，自设问题.有三名同学的作品如下： B 图1 图2 图3 (1)小香：如图1，已知△4BC的高AD=abcm,面积为(a2b+2ab)cm',求BC的长度. (2小涵：如图2，己知D是BC中点，AB-AC=2cm,C△MBD=16cm,求CAcD (3)小宇：如图3，已知AD平分∠BAC,∠B=40°，∠C=60°，求∠DAC B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2425八年级上湖北襄阳·期末)三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第 三边长的为() A.3 B.4 C.7 D.15 2.(25-26八年级上·湖北武汉·期末)如图，在△ABC中BD L AB交AC于D点，CE⊥AB交AB的延长 线于E点，AF I BC交CB的延长线于F点.下列线段中，BC边上的高是() D A.AE B.AF C.BD D.CD 3.(25-26八年级上广西崇左期末)已知三角形的三边长分别为1，a,4,则化简l0-+a-7的结果等 于() A.6 B.7 C.8 D.2a-8 4.(25-26八年级上云南昆明期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E是AC上两点，且AE=DE,BD 平分∠EBC,下列说法中不正确的是() A.∠1=∠2=∠3 B.BD是△BCE的角平分线 C.BE是△ABD的中线 D.BC是△BDE的高 5.(25-26八年级上山东日照·期末)如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB,BC,CA得到 △4BC,再分别倍长AB,B,G,C4得到△4，B,C…,按此规律，倍长2025次后得到的△4,2sBsC0s 的面积为() 619 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A2 A.62025 B.62026 C.72025 D.72026 二、填空题 6.(25-26八年级上山东滨州：期末)若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_ 7.(2425七年级下·上海长宁·期末)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作 MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=7,则线段MN的长为一· B 8.(2425七年级下河北承德·期末)如图，已知D,E分别为△ABC的边BC,AC的中点，连接BE, AF为△ABE的中线，连接FD.若BC=8,四边形AFDC的面积为20，则△ABC的BC边上的高为， 9.(23-24七年级下江苏泰州期末)如图，点C为直线AB外一动点，AB=12,连接CA、CB,点D、 E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD相交于点G,当四边形CDGE的面积为6时，线段AC长度的最 小值为 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(24-25七年级下四川乐山期末)1.设△4BC的面积为a,如图1将边BC、AC分别2等分，BE、 AD相交于点O,△MOB的面积记为S;如图2将边BC、AC分别3等分，BE、AD相交于点O,△MOB 的面积记为S2；…,以此类推。 A E E E E2 E2 …… D B D D D2 D 图1 图2 图3 (1)S= (用含有a的代数式进行表示)： (2)若将边BC、AC分别n+1等分，BE、AD相交于点O,记△MOB的面积为S,则Sn= (用 含有a和n的代数式进行表示). 三、解答题 11.(25-26八年级上安徽宣城期末)已知，在△ABC中，AB=4,BC=2x+2,AC=10. (1)求x的取值范围： (2)若△ABC为等腰三角形，求x的值. 12.(25-26七年级上江苏泰州期末)如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方 形的顶点为格点，点A、B、C都是格点， (I)仅用直尺过点C画CD,使CD∥AB: (2)仅用直尺画出△ABC的高CH； (③)比较大小：CH CA(填“>”、“=”或“<”)，理由是 13.(25-26八年级上：安徽安庆期末)已知△ABC的三边长为a,b,C, (1)若a=2,b=6,求边长c的取值范围； (2)化简la+b-c-a-b-c 14.(24-25七年级下·河北保定·期末)如图，在△ABC中，AD,AE,AF分别是△ABC的高、角平分线、 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中线. B F ED C (1)若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为， (2)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数. 15.(24-25七年级下海南省直辖县级单位期末)如图，在△ABC中，∠B>∠C,AD⊥BC,垂足为D, AE平分∠BAC. B D E (1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠BAE的度数： (2)若∠B=3∠C,求证：∠DAE=∠C. 16.(24-25七年级下·河南南阳·期末)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法。 A M D 图1 图2 图3 ()如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=I0,BD⊥AC,垂足为点D,则BD的 长是一 (2)如图2，在△ABC中，AB=3,BC=6,则△ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且BE=EC, DM⊥BE,DN L AC,垂足分别为点M,N.若AB=8,DM=3,求DN的值. 919 专题01 三角形中的三边与三线 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的三边关系 1 题型二、三角形的高线问题 3 题型三、三角形的中线问题 6 题型四、三角形的角平分线问题 9 题型五、三角形的三线综合问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的三边关系 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及三角形三边关系的应用，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的范围，结合c为奇数确定c的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数， ∴． 故答案为：9． 3．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， ． 题型二、三角形的高线问题 5．（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 6．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解． 【详解】解：于点， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 8．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 题型三、三角形的中线问题 9．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，是的中线，，分别为，的中点，若的面积为6，则的面积是_____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了三角形的中线的应用， 先求出，进而求出，再根据三角形中线的定义得，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴ ， ∴． ∵点D是的中点， ∴ ． ∵点E是的中点， ∴ ， ∴． 故答案为：24． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，是的中线，，分别是的中线，若阴影部分的面积为，则的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵，分别是的中线， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 12．（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 题型四、三角形的角平分线问题 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在锐角中，边上有E，D，F三点，，，垂足为F． （1）以为中线的三角形有______；以为角平分线的三角形有______；以为高的钝角三角形有______． （2）若，则的度数为______． 【答案】 /度 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及三角形的内角和定理，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． （1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可； （2）根据三角形的内角和定理和垂直的定义进行计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴以为中线的三角形是； ∵ ∴以为角平分线的三角形是； ∵， ∴以为高的钝角三角形有、、， （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；；． 题型五、三角形的三线综合问题 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 18．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 19．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案． 【详解】解：在中，边上的高是， 故选：B． 3．（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，以及绝对值的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简式子得到结果． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 5．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，   、C、C、、、、的面积都相等， 所以，， 同理， 依此类推，的面积为， 的面积为， ∴的面积． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 故答案为： 7．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 【答案】7 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 8．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，已知，分别为的边，的中点，连接，为的中线，连接．若，四边形的面积为，则的边上的高为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、三角形的面积、三角形的高等知识点，连接，设，的边上的高为，根据三角形中线的性质可得，，，，根据四边形的面积为，求出的值即可，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设，的边上的高为， ∵为的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，点C为直线外一动点，，连接、，点D、E分别是、的中点，连接、相交于点G，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中线的性质、三角形面积的计算，根据点D、E分别是、的中点可得和，，通过等量代换可得，，据此计算出，由面积公式求出长，根据点到直线垂线段最短，可得最小值． 【详解】解：如图，作交的延长线于H，连接， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：3． 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·四川乐山·期末）1．设的面积为，如图1将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图2将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；……，以此类推． (1)___________(用含有a的代数式进行表示)； (2)若将边、分别等分，、相交于点，记的面积为，则__________(用含有和的代数式进行表示)． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，即可解答． （1）连接，先求出，推导出，继而得到，则，即可解答； (2)连接，先推导出，得到，则，得到，即可解答． 【详解】解：(1)连接如图 ∵点将、分别2等分， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． (2)如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）已知，在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了求不等式组的解集，等腰三角形的定义，三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：若为等腰三角形，分情况讨论：，，． ①当时，， 解得， 三角形三边为4，4，10，不满足三角形三边关系； ②当时，， 解得， 三角形三边为4，10，10，满足三角形三边关系； ③当时，，不构成三角形，不合题意； 的值为4． 12．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点、、都是格点． (1)仅用直尺过点画，使； (2)仅用直尺画出的高； (3)比较大小：_____（填“>”、“=”或“<”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查相交线与平行线： （1）将直线沿着平移，当点到达点时，直线即为所求； （2）根据和，可求得； （3）根据“垂线段最短”，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求． （2）如图所示，线段即为所求． 如图所示，可知． 因为， 所以． 所以． 所以． （3）根据图形可知，，理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 14．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是的中线，的面积为6，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运算三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为； （2）解：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴. 15．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，垂足为，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高的定义； （1）在中，由，得出，由平分得出； （2）根据角平分线以及三角形的高的定义，含的式子求出的度数即可； 【详解】（1）在中，， 平分 （2）证明：在中，    平分                        即． 16．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $