微专题 三角形全等模型与辅助线（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

微专题 三角形全等模型与辅助线 目录 题型一、三垂直模型（K字模型） 1 题型二、一线三等角 6 题型三、手拉手模型 16 题型四、倍长中线法 27 题型五、垂线模型 39 题型六、旋转模型 47 题型一、三垂直模型（K字模型） 1．如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，边 AC 绕点 A 沿逆时针方向旋转 90°得到AD，边 BC 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°得到 BE，作 DM⊥AB 于点 M，EN⊥AB于 点 N， 若 AB＝10，EN＝4， 则 DM＝__________． 【答案】6 【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD=AC，BE=BC，利用“一线三等角”证得∠D=∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM=AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF=EN=4，再由AB=10，可得AF，即DM的值． 【详解】过点C作CF⊥AB于点F，如图所示： 则旋转的性质得： ∴AD=AC，BE=BC， ∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F， ∴∠AMD=∠AFC=∠BFC=∠BNE=90°， ∴∠D+∠DAM=90°， ∵∠CAD=90°， ∴∠CAF+∠DAM=90°， ∴∠D=∠CAF， ∴在△DAM和△ACF中， ， ∴△DAM≌△ACF（AAS）， ∴DM=AF， 同理可证，△BFC≌△ENB（AAS）， ∴BF=EN=4， ∵AB=10， ∴AF=6， ∴DM=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握 全等判定、直角三角形的角互余关系； （1）先证 ，再利用全等对应边相等推导； （2）同理证明全等，结合线段位置关系得 ； （3）类比前两问，根据全等三角形的性质得到 ． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． ②由①知，≌， ∴，， ∴． （2）解：同理可得， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴． （3）解： 同理可得≌， ∴，， ∴． 【点睛】解决这类旋转型全等问题的核心是抓住 “” 和 “角互余” 这两个不变条件，无论直线如何旋转，都能通过 证明 ，再根据线段的位置关系推导 与 的和差关系．注意旋转后线段的位置变化，避免和差符号错误． 3．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， °． (2)在（1）条件下，求证： (3)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； （3）根据垂直的定义得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论； 【详解】（1）解：， ； 故答案为：90； （2）证明：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：， 理由：于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 题型二、一线三等角 4．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)全等，见解析 (3)，与的夹角为，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）解：（1），， ，， 又， ， ， 在和中，， （2）和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， （3），与所成夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 6． (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． 故答案为：； （3）， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据正方形的性质求线段长，三角形内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．在中，，顶点A在过D、两点的直线l上，    (1)若， ①如图1，当点D、E在点A异侧时，求证：； ②如图2，当点D、E在点A右侧时，判断的数量关系，并说明理由； (2)若，且点D、E在点A异侧，如图3，判断的数量关系，并说明理由； (3)若，，请仅就图4直接写出和的关系式． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明； ②根据得，据此即可求解； （2）利用三角形的外角性质得出，再利用证明，得，可得答案； （3）设，，根据，及三角形的内角和证出，再利用证明，得，可得答案． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②解：， 理由： ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：， 理由： ∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：    设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．【问题提出】如图1，是直角三角形，，直线经过点，分别过点向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】若图1中的点在直线的两侧，其他条件不变（如图2所示），判断与是否依然全等，并说明理由； 【深入思考】如图3，在中，，直线经过点，且点位于直线的两侧，若，判断线段之间的数量关系，并加以说明．    【答案】【问题提出】见解析； 【变式探究】与依然全等，理由见解析； 【深入思考】，说明见解析． 【分析】（1）根据题意得出，然后根据角角边证明两三角形全等即可； （2）同（1）的方法证明两个三角形全等即可； （3）证明，根据全等三角形的性质以及等量代换即可得证． 【详解】证明：由已知得， ∴，， ∴． 又∵， ∴； 【变式探究】与依然全等； 理由：∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴； 【深入思考】； ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型三、手拉手模型 9．探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的性质得，然后根据平行线的判定定理得出结论； 对于（2），根据题意可知，再证明，可得，进而得出答案； 对于（3），在线段上取一点H，使得，再证明，可得，然后证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，结合图形可得答案. 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2）证明： ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由如下： 在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵都是等边三角形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 10．如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②能，，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用． （1）由等腰直角三角形求出，证出，推出，，根据求出，求出即可； （2）①如图3中，结论：，只要证明即可； ②由，得到，再结合，得到 ． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：①，理由如下： ∵与是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ∴， ； ②能，理由如下： 与交于点， ∵， ， ∵，，， ∴， 即的度数为． 11．已知与均为等腰直角三角形，且．    (1)如图1，当点D，B，C在同一条直线上时，的延长线与交于点F，则的度数为______． (2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点F，（1）中的大小是否改变？请说明理由． (3)如图3，当点A，E，D在同一条直线上时（点A，D在点E的异侧），与交于点G，，求证：． 【答案】(1) (2)的大小不会改变，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质： （1）根据等腰直角三角形的性质可得，，，可证明，可得，即可求解； （2）设交于点O．根据等腰直角三角形的性质可得，，，可证明，可得，即可求解； （3）过点G作于点H，同（2）可知．证出，证明，由全等三角形的性质得出，则得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：的大小不会改变． 理由：如图，设交于点O．    ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴． （3）解：证明：如图2，过点G作于点H，同（2）可知．    又∵， ∴，即CG是的平分线． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 12．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 13．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 题型四、倍长中线法 14．已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 15．（1）在中，，，求边上的中线的取值范围． （2）在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．求证：．    【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长至，使，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至点G，使，连接，由题意可证，从而得到，再证明，利用三角形的边之间的关系即可证明． 【详解】解：（1）延长至，使，连接，如图所示，    是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； （2）证明：延长至点G，使，连接，如图所示：    ∵D是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 16．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：    如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小林在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小林的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．   B．  C．    D． (2)的取值范围是________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中进行研究； 【问题解决】如图②，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方式即可求得答案； （2）根据，即可求得答案； （3）延长至点，使，连接，证明，结合和，即可求得答案． 【详解】（1）解：在和中 ∴． 故选：B （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： （3）如图所示，延长至点，使，连接．    在和中 ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 17．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 18．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 【答案】(1)，；(2) (3) 证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； （3）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴，， ∴， 解得． （3）证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 19．【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，，再连接（或将绕点D逆时针旋转180°得到），把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图②，在中，点D是边的中点，点E在边上，过点D作，交边于点F，连接． (1)求证：． (2)若，则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图③，在中，，点D为边的中点，点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长到点G，使得，连接，根据证得，可得结论； （2）延长到点G，使得，连接，由（1）得，，则，，即，利用勾股定理解题即可； （3）如图，延长到点G，使得，连接，由（1）得，则，，即，可求出，利用中位线解得． 【详解】（1）解：如图，延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在中 ∵， ∴； （2）解：如图，延长到点G，使得，连接， ∵， ∴ 由（1）得，， ∴，， ∴ 在中， ∵， ∴， 故答案为：； （3）如图，如图，延长到点G，使得，连接， ∵， ∴ 由（1）得， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∵M，D是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查倍长中线问题，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，三角形的中位线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，并用类比的方法解决问题． 题型五、垂线模型 20．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 21．在和中，，，点A、D、E在同一直线上，和交于点N，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，为的高，若点N是的中点，且，求的长； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、三角形面积公式，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，则有，根据三线合一性质，结合为的高，得到，再证明，得到，设，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，由（2）得，，，则，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵为的高，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点N是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（2）得，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 22．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 题型六、旋转模型 23．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 24．综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ； (2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积； (3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）连接，如图所示，由两个三角形全等的判定定理证明，由为的中点，可得的面积，进而可得四边形的面积； （2）连接，如图所示，由两个三角形全等的判定定理证明，由为的中点，可得的面积，进而可得四边形的面积； （3）根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，由等腰三角形性质及三角形内角和定理分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时，； 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查三角形综合问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、中点定义、三角形面积公式、角平分线定义、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 25．四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： (1)指出旋转中心和旋转角度；并求的长度； (2)与的位置关系如何？并证明． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角为； (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质和正方形的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． （1）根据旋转的性质，点为旋转中心，对应边、的夹角为旋转角；根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （2）根据旋转可得和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，判断出． 【详解】（1）旋转中心为点，旋转角为； 按顺时针方向旋转一定角度后得到， ，， ； （2）、的位置关系为：．理由如下： 按顺时针方向旋转一定角度后得到， ， ，， ， ， ， 、的位置关系为：． 试卷第1页，共3页 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 三角形全等模型与辅助线 目录 题型一、三垂直模型（K字模型） 1 题型二、一线三等角 6 题型三、手拉手模型 16 题型四、倍长中线法 27 题型五、垂线模型 39 题型六、旋转模型 47 题型一、三垂直模型（K字模型） 1．如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，边 AC 绕点 A 沿逆时针方向旋转 90°得到AD，边 BC 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°得到 BE，作 DM⊥AB 于点 M，EN⊥AB于 点 N， 若 AB＝10，EN＝4， 则 DM＝__________． 2．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 3．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时， °． (2)在（1）条件下，求证： (3)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型二、一线三等角 4．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 5． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 6． (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 7．在中，，顶点A在过D、两点的直线l上，    (1)若， ①如图1，当点D、E在点A异侧时，求证：； ②如图2，当点D、E在点A右侧时，判断的数量关系，并说明理由； (2)若，且点D、E在点A异侧，如图3，判断的数量关系，并说明理由； (3)若，，请仅就图4直接写出和的关系式． 8．【问题提出】如图1，是直角三角形，，直线经过点，分别过点向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】若图1中的点在直线的两侧，其他条件不变（如图2所示），判断与是否依然全等，并说明理由； 【深入思考】如图3，在中，，直线经过点，且点位于直线的两侧，若，判断线段之间的数量关系，并加以说明．    题型三、手拉手模型 9．探究等边三角形“手拉手”问题． (1)如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则与的位置关系是_____，请说明理由； (2)如图，已知、均为等边三角形，连接、，若，求证：（即、、在同一条直线上）； (3)如图，已知点在等边三角形外，点、点位于线段的异侧，连接、，若，则线段、、三者之间的数量关系是______，请说明理由． 10．如图1，在与是两个等腰直角三角形，即于点且，且，连接，交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，若将（1）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出的度数吗？请说明理由． 11．已知与均为等腰直角三角形，且．    (1)如图1，当点D，B，C在同一条直线上时，的延长线与交于点F，则的度数为______． (2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点F，（1）中的大小是否改变？请说明理由． (3)如图3，当点A，E，D在同一条直线上时（点A，D在点E的异侧），与交于点G，，求证：． 12．已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 13．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 题型四、倍长中线法 14．已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．（1）在中，，，求边上的中线的取值范围． （2）在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．求证：．    16．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：    如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小林在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小林的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．   B．  C．    D． (2)的取值范围是________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中进行研究； 【问题解决】如图②，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 17．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 18．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 19．【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，，再连接（或将绕点D逆时针旋转180°得到），把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图②，在中，点D是边的中点，点E在边上，过点D作，交边于点F，连接． (1)求证：． (2)若，则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图③，在中，，点D为边的中点，点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，，则的长为 ． 题型五、垂线模型 20．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 21．在和中，，，点A、D、E在同一直线上，和交于点N，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，为的高，若点N是的中点，且，求的长； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接，若，求的长． 22．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 题型六、旋转模型 23．是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 24．综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ； (2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积； (3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 25．四边形是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求： (1)指出旋转中心和旋转角度；并求的长度； (2)与的位置关系如何？并证明． 试卷第1页，共3页 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $