《29.2.1垂直于弦的直径》教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，通过赵州桥主桥拱半径问题导入，将实际问题抽象为圆中弦长与半径关系的数学问题，衔接圆的基本概念与轴对称知识，搭建学习支架。 此设计以“实验—观察—猜想—验证—归纳”为主线，学生动手折纸探究圆的轴对称性，自主发现垂径定理，培养几何直观与空间观念。解决赵州桥问题时构建数学模型，体现应用意识，分层作业兼顾不同学生，助力学生理解定理，提升教师教学效率。

《29.2.1垂直于弦的直径》教学设计 课题：29.2.1垂直于弦的直径 科目： 数学 教学对象：九年级学生 课时：第一课时 一、教材分析 “垂直于弦的直径”来源于人教版九年级数学教材上册第二十九章第二节“圆的有关性质”第一课时，垂直于弦的直径。 本节教材是在学生学习了圆的有关性质之后对垂直于弦的直径和这条弦的关系的进一步学习,垂径定理既是前面圆的性质的体现,是圆的轴对称性的具体化,也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据,同时也是进行圆的计算和证明的一个重要工具。所以它在教材中处于非常重要的位置。因此,这节课无论在知识上,还是在对学生的数学核心素养的培养上都起着十分重要的作用。 二、学情分析 教学对象是九年级学生,学生素质参差不齐，并且九年级学生已学过轴对称、中心对称、圆的基本概念。因此,在教学中采取的是从赵州桥图片导入,引导学生从已知的、熟悉的知识入手,让学生自然而然地进入新知识的领域,从不同角度去分析、解决新问题,通过探索发现、合作交流、巩固提升和解决问题等发掘不同层次学生的不同能力,从而达到培养学生的数学核心素养的目的。 三、教学设计理念 以新课程标准为导航，以培养学生的核心素养为导向，老师为主导，学生为主体展开本节课教学，既能激发学生的学习兴趣，又能潜移默化的培养学生的数学核心素养。 四、教学目标 1.使学生理解圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴； 2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理，并能进行简单的证明、计算和作图； 3.经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 4.通过动手折纸，激发学生的好奇心和求知欲，同时通过赵州桥等例子,让学生领略古代能工巧匠的智慧，从而激发学生爱国热情,为实现伟大的中国梦而努力学习。 五、教学重点及难点 教学重点： 掌握垂径定理内容，并能进行计算或简单的证明。 教学难点： 区分垂径定理的题设和结论，应用垂径定理进行计算或简单的证明。 六、教学过程 教师活动 学生活动 设计意图及核心素养 一、情景创设 问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 从数学的角度看，上述问题就是：在圆O中，已知弦AB=37.4m，拱高AD=7.4m，求圆O的半径. 教师追问：若用直角三角形解决这个问题，那么D是否为AB中点？引入新知--垂径定理， 学生认真思考：从数学的角度思考，可转化：在圆O中，已知弦AB=37.4m，拱高AD=7.4m，求圆O的半径的问题. 引导学生将实际问题抽象成数学问题，再带着问题去思考它们之间的关系，培养学生的数学建模能力。 通过赵州桥的引例，在引起学生好奇的同时体会数学与现实世界的紧密联系. 二、实验探究 活动一：圆有哪些性质？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 追问：怎样证明你的结论？ 已知：CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E 求证：AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD 证明：连接OA、OB，在△OAB中，OA=OB， CD⊥AB ，∴AE=BE 即CD是AB的垂直平分线，A、B两点关于直线CD对称，又点A的对称点B在圆上，因此圆是轴对称图形. 学生动手折纸并回答： （1） 圆是轴对称图形，对称轴有无数条.（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）. 学生思考后在小组内交流分享. 通过动手折纸，直观的观察圆的性质，为学生自主探索垂径定理做铺垫，培养学生的数学直观. 活动二：自主探究 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有哪些相等的线段和弧？ 由此，我们得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 符号语言表示为： ∵CD是⊙O的直径 ∴AE=BE,弧AC=弧BC、弧AD=弧BD 学生观察：相等的线段有： AE=BE ; 相等的弧有： 弧AC=弧BC、弧AD=弧BD . 培养学生的观察能力，归纳总结能力. 三、尝试应用、能力提升 解决求赵州桥的主桥拱的半径问题： 教师根据学生的描述板书过程： 解：∵OC⊥AB且CD=7.2 m，AB=37.4m ∴OD=AB=18.7m 又OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理得： OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得R≈27.9. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m. 学生尝试解决，在小组内讨论交流，并由代表展示思路. 方法归纳： 由半径、半弦、弦心距构造直角三角形，再利用勾股定理建立方程. 四、当堂检测、效果反馈 1.说一说下列说法哪些是对的，哪些是错的？为什么？ (1)直径平分弦 ( ) (2)垂直于弦的直线平分弦 ( ) (3)垂直于弦的半径平分弦 ( ) (4)平分弦的直线过圆心 ( ) (5)弦的垂直平分线过圆心 ( ) 学生回答，自行纠错和改正，并在老师的引导下，再次巩固垂径定理. 通过反复练习，锻炼学生的逻辑推理能力和语言表达能力，养成规范书写的好习惯. 2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 五、课堂小结、知识内化 1. 这节课你有什么收获？ 2.学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？ 3.应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用？ 学生： 1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，它是理解和证明定理的关键. 2. 垂径定理. 3. 方法归纳： 由半径、半弦、弦心距构造直角三角形，再利用勾股定理建立方程. 回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，培养学生的归纳能力. 六、布置作业、巩固提高 分层作业 1、必做题:习题24.1—1,9 2、选做题:探究：①CD是直径②CD⊥AB③AE=BE④弧AC=弧BC,⑤弧AD=弧BD这5个条件中，由哪些条件可推出哪些结论？ 巩固所学，提高学生的应用意识和探究意识. 学科网（北京）股份有限公司 $