18.5 分式方程 预习自测 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级数学分式方程预习自测，涵盖定义、解法、增根及实际应用，融入《四元玉鉴》古算题与研学、绿色发展等现实情境，适配新授课预习检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|分式方程定义（2）、解法（1）、无解问题（4）、古算应用（5）|基础辨识与情境应用结合| |填空题|5|整式与分式方程辨析（11）、解的非负性（12）、增根（13）|概念辨析与参数讨论| |解答题|4|解方程（16）、含参方程（17）、工程问题（19）、闸机检票应用（18）|分层设计，综合考查建模能力|

18.5 分式方程 预习自测2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．解分式方程，去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C．或15 D．5或 5．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 6．某校八年级学生为探索千年陶瓷文明，计划前往距学校的丰城洪州窑研学基地开展非遗体验活动．一部分学生提前骑自行车出发，45分钟后，其余学生乘汽车沿同一路线前往，最终两队同时抵达基地．已知汽车的行驶速度是自行车的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 8．一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是 （     ） A．人 B．人 C．人 D．人 9．将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（   ） A． B． C． D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22 10．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是____________；是分式方程的是____________．（填序号） 12．关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的正整数的值之和为____________． 13．关于的分式方程有增根，则_____． 14．为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是___________元． 15．原本的铁路从到全长公里，现在建造了一条公里长的高速铁路，高速铁路上的列车速度是原本速度的倍，因此从到的旅行时间缩短了小时，那么，原本铁路上的列车速度为_______千米/小时． 三、解答题 16．解下列方程： (1) (2) 17．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 18．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 19．有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D C B A B A 1．【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【详解】解：， 方程两边同乘以去分母，得． 2．【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，列方程即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 即可得， 解得 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查根据分式方程无解求参数，分式方程无解的情况包括解为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解．本题中化简后的整式方程始终有解，因此只需考虑增根情况． 【详解】解：原方程为 ， ∵， ∴两边同乘得：， 化简得：， 解得：． 当或时，原方程分母为零，无解． 令：，解得； 令：，解得． ∴或时，原方程无解． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用． 根据题意可得自行车和汽车的行驶时间，以行驶时间建立等量关系，列方程即可． 【详解】解：45分钟， ∵自行车的速度为， ∴汽车的速度为， ∴自行车行驶时间为，汽车行驶时间为， ∴． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解． 【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元． ∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根， 且第二批跳绳数是第一批的1.5倍， 根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第二批跳绳每根的进价是15元． 故选：B． 8．【答案】A 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】设原来这组学生的人数为x人，然后根据开始费用为120元，加入2人后，分摊费用少3元列出方程求解即可． 【详解】解：设原来这组学生的人数为x人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原来这组学生的人数为8人， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 9．【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程求解即可判断A，B，C选项，同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，列出方程求解即可判断D选项． 【详解】解：根据图可知：， 即，故选项A错误，选项B正确； 解得：， 经检验，是原分式方程的解，故选项C错误； 同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y， 则，解得：， 经检验，是原分式方程的解，故选项D错误； 故选：B． 10．【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天，从而表示出甲、乙两人的效率，再根据合作10天和乙单独6天完成总工作量1列方程即可． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需要天，则乙队单独完成需要天， ∴甲效率为，乙效率为， ∴合作10天完成的工作量为，乙单独6天完成的工作量为，总工作量为1， ∴列方程， 故选：A． 11．【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 【知识点】判断各式是否是方程、分式方程的定义 【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程． 12．【答案】 14 【知识点】求一元一次不等式的整数解、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为非负数和分母不为零的条件确定的取值范围，最后求满足条件的正整数的和． 【详解】解：分式方程，方程两边同时乘以， 得， 整理得， 解得． 由于解为非负数，即，且分母（即）， 因此且． 解得且． 又∵为正整数， ∴． 这些值的和为． 故答案为：14． 13．【答案】1 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 14．【答案】45 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设第一天每棵树苗售价x元，则第二天每棵树苗售价元，由题意：某苗圃公司第一天卖出一批树苗收款8000元；第二天又卖出一批树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一天每棵树苗售价x元，则第二天每棵树苗售价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 即第二天每棵树苗售价45元， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了分式方程的应用；找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是根据题意得出正确的分式方程并求解． 设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时，根据题意列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时， 依题意得， 解得：， 经检验，是方程的解， 原本铁路上的列车速度为千米/小时． 故答案为：． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键． （1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17．【答案】(1)； (2)或． 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 18．【答案】(1) (2)人 【知识点】含30度角的直角三角形、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 19．【答案】(1)实际检修所用时间；工程队原计划完成自来水管道检修任务的时间； (2)选聪聪解法： 解：设原计划每小时检修米 两边同乘： 解得， 检验：时，是分式方程的解， 答：原计划每小时检修管道50米； 选小明解法： 解：设原计划用小时完成，则实际用小时， 根据题意，得 解得， 检验：时，是分式方程的解， （米） 答：原计划每小时检修管道50米； 【知识点】分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）根据时间等于工作量除以工作效率，解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $