第18.2课《分式的乘法与除法》讲义 2026—2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式的乘法、除法及乘方运算这一核心知识点，通过类比分数乘除法法则构建分式运算规则，形成“确定原式限制条件—除法转化为乘法—分解因式—约分—相乘—检验”的规范运算链，为学生提供清晰的学习支架。 该资料突出运算能力与推理能力的培养，如计算·时先明确x≠0、-2、2等限制条件再分解约分，通过易错辨析纠正“颠倒被除式”等错误。课中助力教师规范教学流程，课后分层巩固与效果检测帮助学生查漏补缺，发展模型观念。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十八章 分式的乘法与除法 第18.2课《分式的乘法与除法》讲义 2026—2027学年｜人教版数学八年级上册（2025秋版）｜新授课讲义｜建议课时：2课时 内容定位　类比分数乘除法建立分式乘除法法则，形成“确定原式限制条件—除法转化为乘法—分解因式—约分—相乘—检验”的规范运算链。 一、学习目标与素养指向 1. 能准确表述并运用分式乘法、除法和乘方的法则。 1. 能在计算前从原式确定分母非零以及除式不为0的条件。 1. 能先分解因式再约分，把结果化为最简分式或整式。 1. 能用逆向运算或代入允许取值检查运算结果。 素养指向　运算能力、推理能力、符号意识与模型观念。 二、课时安排与可观察成果 课时 核心任务 可观察的学习成果 第1课时 分式乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。计算时可先分解因式并约分。 第2课时 分式除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。除式本身必须不等于0。 三、课前衔接与诊断 1. 分数乘法和除法的法则分别是什么？ 1. 因式、怎样分解？ 1. 一个分式在什么条件下等于0？ 诊断用途　这些问题只用于唤醒本节所需旧知。订正时说明错误属于概念、条件、符号、运算还是对应关系。 四、分课时核心探究 第1课时｜分式的乘法 探究问题　分式乘法为什么可以类比分数乘法？面对可分解的多项式，先乘还是先约分更规范？ 形成过程　分式乘分式，用分子的积作分子、分母的积作分母。实际计算前先从原式写出所有分母不为0的条件，再把分子、分母中能够分解的多项式分解因式，约去分子、分母的公因式，最后把剩余因式相乘。例如含时先写成(x-3)(x+3)，而不是急于展开。 规范结论　分式乘法法则可写为·=，其中b≠0、d≠0。结果应化为最简分式或整式，并保留由原式确定的限制条件。 条件与边界　约去的是分子、分母的公因式，不能约去加减式中的某一项。即使某个因式约去后不再出现在结果中，由它产生的原限制条件仍然有效。 即时任务　计算·，先列x≠0、-2、2，再分解、约分并说明结果1只在这些允许取值下与原式相等。 第1课时深化｜分式的乘方与乘法混合运算 探究问题　分式整体带指数时，指数作用于哪些部分？连续乘除应按什么顺序处理？ 形成过程　分式乘方表示同一分式连续相乘，因此分子、分母分别乘方：(，B≠0，n为正整数。若分子或分母是积，指数还要作用于其中每个因式。乘除混合运算先把除法转化为乘法，再统一分解因式和约分；同级运算按从左到右理解。 规范结论　分式乘方的结果必须同时处理分子和分母；乘除混合运算的实质是若干分式相乘。括号外指数作用于整个括号，负号是否属于底数由括号决定。 条件与边界　(不能写成；(-中的负号、2、a、b都在指数作用范围内。约分只发生在转化后的乘积因式之间。 即时任务　计算(-，并分别用连乘三次和分子、分母分别乘方两种方法核对8、负号和。 第2课时｜分式的除法 探究问题　分式除法转化为乘法时，为什么只颠倒除式？除式不等于0怎样转化为字母条件？ 形成过程　分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。原式不仅要求各分母不为0，还要求除式本身不等于0。若除式为，则D≠0保证除式有意义，C≠0保证除式的值不为0；二者都必须保留。 规范结论　÷=·=，条件为b≠0、d≠0、c≠0。规范步骤是：写条件—被除式不变—颠倒除式—改为乘法—分解因式—约分—整理。 条件与边界　不能同时颠倒被除式和除式；不能只检查除式分母而忽略除式分子。题目中的限制条件从除法转化前的原式确定。 即时任务　计算÷，分别说明a≠0、a+b≠0、a-b≠0来自哪个原分母或除式非零条件。 第2课时深化｜限制条件、最简结果和检验 探究问题　为什么不能根据化简后的分母倒推原式限制条件？怎样检验乘除运算的结果？ 形成过程　原式在化简前决定允许取值，约分会使部分因式在结果中消失，但不会使原式在禁值处重新有意义。完成运算后可选取满足全部原限制的简单数值，分别计算原式和结果；除法还可用“商×除式=被除式”进行逆向检验。 规范结论　完整答案由“限制条件+最简结果”构成。检查顺序为：原分母—除式分子—因式分解—约分对象—结果是否最简—原限制是否保留。 条件与边界　检验取值必须避开禁值；一次代入相等只能帮助发现错误，不能代替运算法则推导。 即时任务　为一道结果等于1的分式乘除题写出完整答案，特别说明为什么不能只写“1”。 五、结构辨析与方法深化 1. 先写原式条件　限制条件由原式确定。所有原分母都不为0；若有除法，除式本身还必须不等于0，因此除式的分子也不能为0。即使某个因式约去，它对应的原式禁值仍需保留。 2. 把多项式看成因式　约分只能约去分子、分母中的公因式。遇到多项式先分解因式，再观察相同因式；加减结构中的某一项不能跨越加减号单独约去。 3. 除法转化必须完整　除以一个分式等于乘这个分式的倒数，倒数后原除式的分子、分母位置互换，其他因式不变。连续乘除应从左到右逐步转化，防止只颠倒某一个因式。 4. 符号与最简结果　a-b与b-a互为相反数，整理时要同时处理负号。结果应化为分子、分母没有公因式的最简分式或整式，并保留由原式得到的全部限制条件。 六、教材结论、成立条件与使用范围 1. 分式乘法　分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。计算时可先分解因式并约分。 2. 分式除法　分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。除式本身必须不等于0。 3. 分式乘方　分式乘方，把分子、分母分别乘方，即(，其中B≠0，n为正整数。 4. 限制条件　限制条件从原式确定：所有原分母不为0；若有除法，还要保证除式的分子不为0。约分后消失的因式仍保留原限制。 七、方法模型与规范路径 方法模型 适用情形 规范步骤与检查 分式乘法 两个或多个分式相乘 列限制—分解因式—约分—分子相乘、分母相乘—化最简。 分式除法 分式相除 核对除式非零—颠倒除式—改乘法—按乘法步骤计算。 分式乘方 整个分式带正整数指数 分子、分母分别乘方，注意系数、符号和每个因式。 结果检验 完成化简后 选取满足原限制的简单数值代入原式和结果比较，或用逆向乘法检验除法。 本节检查重点　从原式重新核对所有分母和除式非零条件；用允许取值代入或逆向乘法检验。 八、重点与高频考点 ★重点　除法只颠倒除式，不颠倒被除式；改写乘法后再统一分解因式和约分。 ★高频　先确定原式限制条件，再运算；结果为1也不能省略原限制。 ★易错　约分只能约去乘积中的公因式，不能跨加减号约项。 ★规范　教材规范用语为“约分”；不把操作术语替代法则和依据。 九、易错辨析 辨析1　错误观点或解法：÷=。原因与纠正：错误。应颠倒除式，结果为。 辨析2　错误观点或解法：(。原因与纠正：错误。分母也要平方，结果为。 辨析3　错误观点或解法：约分后结果为1，所以原式对所有字母取值都为1。原因与纠正：错误。等值只在原式有意义且除式非零的范围内成立。 十、经典例题与规范解答 经典例题｜分式乘法 题目　计算：·。 分析　由原分母确定x≠0、3、-3；分解因式后约分。 解　原式要求x≠0，x≠3，x≠-3。原式=·=1。因此结果为1，限制条件仍为x≠0、3、-3。 经典例题｜分式除法 题目　计算：÷。 分析　原分母非零且除式非零；把除式颠倒后相乘。 解　原式要求a≠0，a+b≠0，a-b≠0。原式=·=1。 例题复核　从原式重新核对所有分母和除式非零条件；用允许取值代入或逆向乘法检验。 十一、变式训练与方法迁移 变式1　计算：·。 参考解答　原式要求x≠0、-2、2。分解约分得·=1。 变式2　计算：÷。 参考解答　要求m≠0，m+n≠0，m-n≠0；分解并转化后结果为1。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 计算·=________（b≠0，d≠0）。 1. 计算÷=________，除已知b≠0、d≠0外，还需________。 1. 计算(________（b≠0）。 1. 判断：分式除法中被除式和除式都要颠倒。（　　） 检测答案　1. ；2. ，c≠0；3. ；4. ×。 本课小结 乘法是分子相乘、分母相乘；除法是颠倒除式后转化为乘法。 分式乘方时分子、分母分别乘方，指数作用于整个分式。 限制条件来自原式，约分不能消除原有禁值。 规范运算顺序是：条件—转化—分解—约分—相乘—检验。 自我检查：能否准确说出本节结论的条件、规范表达、典型用途和一种检验方法？ 课后分层巩固（建议8—10分钟） 1. 化简：·，并写出限制条件。 1. 计算：÷，并写出除已知b≠0、d≠0外还需要的条件。 1. 计算：(-，并写出限制条件。 1. 已知某分式除法的商为，除式为。在各分式有意义且除式不为0时，写出被除式。 参考答案　1. 结果为1，x≠0、2、-2；2. ，还需要c≠0；3. ，y≠0；4. 。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $