第18.3课《分式的加法与减法》讲义 2026—2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式的加法与减法核心知识点，从同分母分数加减过渡到同分母分式加减，再延伸至异分母分式加减，涵盖分子整体运算、分母分解与最简公分母确定、结果约分及全程保留分母非零条件，构建递进式学习支架。 该资料以运算能力、符号意识和推理能力为素养导向，通过探究问题引导学生理解法则本质，如分子整体加括号避免符号错误，分解因式确定最简公分母。即时任务、易错辨析与分层训练结合，课中助力教师规范教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算准确性。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十八章 分式的加法与减法 第18.3课《分式的加法与减法》讲义 2026—2027学年｜人教版数学八年级上册（2025秋版）｜新授课讲义｜建议课时：2课时 内容定位　从同分母分数加减过渡到分式加减，突出分子整体运算、异分母通分和结果约分，形成全程保留原分母非零条件的运算规范。 一、学习目标与素养指向 1. 能准确表述并运用同分母、异分母分式的加减法法则。 1. 能分解分母并确定最简公分母，正确通分。 1. 能把分子作为整体处理减法括号，合并后化为最简分式或整式。 1. 能在题目、过程和答案中保留原式所有非零条件，并用代入检验结果。 素养指向　运算能力、符号意识、推理能力与抽象能力。 二、课时安排与可观察成果 课时 核心任务 可观察的学习成果 第1课时 同分母分式加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。若分子是多项式，必须按整体加括号。 第2课时 异分母分式加减 异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 三、课前衔接与诊断 1. 同分母分数与异分母分数分别怎样相加减？ 1. 怎样分解因式？ 1. 减去多项式x-3时，去括号后各项符号怎样变化？ 诊断用途　这些问题只用于唤醒本节所需旧知。订正时说明错误属于概念、条件、符号、运算还是对应关系。 四、分课时核心探究 第1课时｜同分母分式的加减 探究问题　同分母分式相加减时，为什么分母不变？分子是多项式时怎样避免符号错误？ 形成过程　同分母分式具有相同的分式单位，因此分母不变，只把分子相加减。若第二个分子是多项式，减法必须写成整体相减。例如-的分子应写为(2x+1)-(x-3)，去括号后为2x+1-x+3。 规范结论　同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。运算后合并分子同类项，必要时分解因式并约分，化为最简分式或整式。 条件与边界　不能把分母也相加减；不能在分子合并前跨越加减号约项。原分母非零条件必须保留到最终答案。 即时任务　计算-，写出x≠1，并说明结果为1不意味着x可以取1。 第2课时｜异分母分式的加减与最简公分母 探究问题　异分母分式为什么必须先通分？怎样确定既能被各分母整除又尽量简单的公分母？ 形成过程　异分母分式的分式单位不同，先依据分式基本性质通分。若分母是多项式，先分解因式；最简公分母包含各分母的全部因式及其最高次数，数值系数取最小公倍数。每个分式的分子、分母同时乘最简公分母中原分母缺少的因式。 规范结论　异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再按同分母法则运算。通分不改变分式的值，也不改变原式限制条件。 条件与边界　不能直接把分子相加、分母相加。最简公分母不是各分母机械相乘；若分母已有公因式，应避免重复取因式。 即时任务　计算-，先列x≠±1，再确定最简公分母(x-1)(x+1)，完整写出通分后的两个分子。 第2课时深化｜分母互为相反数与符号统一 探究问题　当两个分母分别为x-y和y-x时，怎样利用符号法则减少通分步骤？ 形成过程　因为y-x=-(x-y)，所以=-。可先把其中一个分式的分母变为另一个分母，同时改变分式前的符号，再进行同分母加减。符号变化必须作用于整个分式，不能只改变分母而保留原符号。 规范结论　分式的分子、分母和分式本身的符号遵循：-==-()。统一分母时只做等值变形。 条件与边界　若分子也是多项式，应保持整体括号。分母变号后，还要继续检查是否存在公因式可约。 即时任务　把+化简为0，并写出x≠y；说明在x=y时原式无意义而不是等于0。 综合运算｜运算顺序与结果检验 探究问题　含括号、乘除和加减的分式混合运算，应怎样安排顺序并保留条件？ 形成过程　先从最原始的式子列出全部分母非零条件和除式非零条件；再按先乘方、后乘除、最后加减的顺序运算，有括号先处理括号。乘除部分先分解因式和约分，加减部分先通分。每完成一层运算都保留括号，避免改变运算对象。 规范结论　规范路径为：列原限制—确定顺序—乘除转化并约分—加减通分—合并分子—分解约分—化最简—代入允许值检验。 条件与边界　化简结果即使成为整式，也不能删除原限制。代入检验应同时计算原式和结果，不能只检查最后一步。 即时任务　选择一个满足全部条件的简单数值，如x=2或x=3，比较原式与化简结果；若不相等，按括号、符号、通分和约分顺序定位错误。 五、结构辨析与方法深化 1. 分式单位决定能否直接相加　同分母分式表示相同的分式单位，可以把分子相加减而分母不变；异分母分式的单位不同，必须先通分。通分的本质是利用分式基本性质把各分式化为同分母分式。 2. 最简公分母的确定　先把各分母分解因式，再取各因式的最高次数组成最简公分母。某分式的分母乘了什么因式，分子也必须乘同一因式，不能只改变分母。 3. 减法中的整体意识　通分后若某个分式前是减号，要给它的整个分子加括号，再去括号。分子合并完成后重新分解因式，检查能否约分；不能在分子尚是和或差时跨项约分。 4. 特殊分母关系　若两个分母互为相反数，可先利用=-统一分母；若一个分母是另一个分母的倍式，可选择较大的分母作为公分母。简便处理仍须写清符号依据。 六、教材结论、成立条件与使用范围 1. 同分母分式加减　同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。若分子是多项式，必须按整体加括号。 2. 异分母分式加减　异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 3. 最简公分母　先把各分母分解因式，取各分母全部因式的最高次幂的积；系数取最小公倍数。 4. 结果整理　分子合并同类项，必要时分解因式并约分，结果化为最简分式或整式；原限制条件始终保留。 七、方法模型与规范路径 方法模型 适用情形 规范步骤与检查 同分母加减 分母完全相同 保留分母—分子加括号相加减—合并—约分。 异分母加减 分母不同 列限制—分解分母—找最简公分母—通分—合并—约分。 相反分母 分母互为相反数 先把一个分母变号并同时改变分式符号，再按同分母运算。 检验 分式加减完成后 选取满足限制的数值，分别计算原式与结果；同时核对结果是否最简。 本节检查重点　重新分解分母并核对最简公分母，检查减法括号、符号和最终约分。 八、重点与高频考点 ★重点　减去一个分式时，通分后的整个分子都要相减，括号不可省略。 ★高频　异分母加减的核心是确定最简公分母；分母互为相反数时先统一符号。 ★易错　+不能把分子、分母分别相加，正确结果为，其中a≠0、b≠0。 ★规范　每个含字母分母的题目都应明确非零条件，答案与原式在该范围内等值。 九、易错辨析 辨析1　错误观点或解法：+=。原因与纠正：错误。异分母必须通分，结果为。 辨析2　错误观点或解法：-的分子为2x+1-x-3。原因与纠正：错误。第二个分子整体相减，应为2x+1-(x-3)。 辨析3　错误观点或解法：结果约分成整式后可删除原限制条件。原因与纠正：错误。限制条件由原式确定。 十、经典例题与规范解答 经典例题｜异分母减法 题目　计算：-。 分析　原式要求x≠1、-1；最简公分母为(x-1)(x+1)。 解　原式==，其中x≠1且x≠-1。 经典例题｜分子整体运算 题目　计算：-。 分析　原式要求a≠0、-1；通分后先保留括号，再展开合并。 解　原式==，其中a≠0且a≠-1。 例题复核　重新分解分母并核对最简公分母，检查减法括号、符号和最终约分。 十一、变式训练与方法迁移 变式1　计算：-。 参考解答　要求x≠±2。通分得==2。 变式2　计算：-。 参考解答　要求x≠1。原式==1。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 计算+=________（c≠0）。 1. 计算+=________（x≠0，y≠0）。 1. 计算-=________（x≠±1）。 1. 判断：异分母分式相加可以把分子相加、分母相加。（　　） 检测答案　1. ；2. ；3. ；4. ×。 本课小结 同分母：分母不变、分子整体相加减；异分母：先通分再计算。 分母分解决定最简公分母，符号统一和括号处理决定运算准确性。 结果要合并、分解、约分到最简，并保留原式非零条件。 自我检查：能否准确说出本节结论的条件、规范表达、典型用途和一种检验方法？ 课后分层巩固（建议8—10分钟） 1. 计算：+（x≠0）。 1. 计算：+，并写出限制条件。 1. 化简：+，并写出限制条件。 1. 化简：-，并说明限制条件为什么仍需保留。 参考答案　1. ；2. ，x≠±1；3. 0，a≠b；4. 1，x≠1，因为限制条件由原式确定。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $