1.1 集合的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕集合的概念、元素特性及表示方法展开，从小学初中已学集合（如自然数集、圆）导入，通过实例分析元素与集合关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以丰富实例（如七大洲、方程解）培养数学眼光，通过元素确定性辨析（如“较小的数”非集合）发展数学思维，借助列举法与描述法训练数学语言。例题与随堂检测结合，助学生巩固知识，教师可高效开展教学。

第1章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 人教A版2019高中数学必修第一册 N* N Z Q R 书2,引入 在小学和初中，我们已经接触过了一些集合。例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的集合（即圆）等。为了更加有效地用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识。下面先从集合的含义开始。 什么是集合？什么是元素？ 看下面的例子：书2 （1）1~10之间的所有偶数； （2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生； （3）所有的正方形； （4）到直线M的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有解； （6）地球上的七大洲 例（1）中，我们把1-10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合：同样地，例（2）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合。 看下面的例子： （1）1~10之间的所有偶数； （2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生； （3）所有的正方形； （4）到直线M的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有解； （6）地球上的七大洲 2，4，6，8，10 全部正方形，无数个 点构成了直线 亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲 全部新生 一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等； 把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合。 书2思考上面的例（3）到例（6）也能组成集合吗？他们的元素分别是什么? 什么是集合？什么是元素？ 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集） 给定的集合，他的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或者不在这个集合中就确定了。例如，“1-10之间的所有偶数”构成一个集合，2,4,6,8,10是这个集合的元素，1,3,5,7,9不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成他的元素是不确定的。 一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。 集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的 集合当中的元素有哪几种性质？ 确定性 对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于一个 已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在 ， 要么不在，不能含糊其辞。比如“较小的数”就不能构成集合，因为 组成它的元素是不确定的。 互异性 一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复 出现 无序性 集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同， 那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合 集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？ 一般来说： 用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合 用小写拉丁字母…等表示元素 元素与集合的关系： 如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A； 如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A； 比如，3∈自然数集；4∉奇数集 全体实数（R） 数学中一些常用的数集及其记法 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方法表示集合呢？ 集合的3种表示方法之列举法 列举法： “地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝； “方程的所有实数根”组成的集合可以表示为｛1，2｝ 像这样，把集合的元素一一列出来，并用花括号｛｝括起来表示集合的方法 叫做列举法。 【注意】 （1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成 ｛实数｝，但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝ （2）列举法表示集合时要注意： ①元素之间用逗号隔开；不重不漏：元素一一列举出来。 ②一个集合中的元素书写一般不考虑顺序 集合的3种表示方法之列举法 哪些集合适合用列举法表示呢？ （1）含有有限个元素且元素个数较少的集合 （2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况 下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集 N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝ （3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如 ｛｝ 集合的分类 【有限集】含有有限个元素的集合 【无限集】含有无限个元素的集合 （书3例题）用列举法表示下列集合 （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 【解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A=｛0，1，2，3，4，5，6，7，8,9｝ （2）设方程的所有实数根组成的集合为B,那么 B=｛1，0｝ 注意： 由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式， 如｛1，2，4，5，6，0，7，3，8,9｝等 书3：思考 （1）你能用自然语言描述集合（0,3,6,9）吗？ （2）你能用列举法表示不等式 不等式,因为满足但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数，且，把解集表示为 又如，整数Z可以分为奇数集和偶数集，对于每一个我们可以把奇数集表示为 ｛ ∈Z| =(∈Z)｝，偶数集表示为｛ ∈Z| =(∈Z)｝； 把不等式的解集表示为｛ ∈R| ＞3｝ 集合的3种表示方法之描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素 所组成的集合表示为｛ ∈A|P()｝ 这种表示集合的方法称为描述法。例如，我们可以把奇数集表示为｛ ∈Z| =(∈Z)｝，偶数集表示为｛ ∈Z| =(∈Z)｝；把不等式的解集表示为｛ ∈R| ＞3｝ 例如，实数R中，有限小数和无限循环小数都具有的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为Q=.其中就是所有有理数具有的共同特征。 显然，对于任何 例2 请用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B. 【解】（1）描述法A={| }，列举法: （2）B={∈Z|}， 我们约定，如果从上下文的关系来看，，那么可以省略，只写其元素。例如，集合D等于也可以表示为D=集合E=也可以表示为E= 表示集合的三种方法各有什么特点？ 自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。 列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。 描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。 方程的解集 ｛1｝ ｛| ｝ 【①元素与集合关系的判断】 下列选项中是集合A={}中的元素的是（ ） A. B. C. D. 【解】对于A，当时，，则； ，则，不满足题意 对于B，当时，，则； ，则，不满足题意 对于C，当时，，则； ，则，不满足题意 对于D，当时，，则； ，则，满足题意 D 【②已知元素与集合的关系求参数】 （1）若集合A中含有三个元素，且-3∈A，求 【解】(1)①若，则，此时A={-3,-1,-4}，满足题意 （2）若2∉{|}，求的取值范围 ②若，则，此时，不满足题意 ③若，则，时，A={-2,1,-3}，满足题意; 时，由②知不满足题意; (2)∵ 2∉{|}，所以2不满足不等式，即， 即的取值范围为{| ≥2} 【③由集合相等求参数】 含有3个实数的集合既可以表示为{}，又可以表示为{}，则 的值是多少？ 【解】由题意{}={}，易知≠0且≠1， 则有=0且=1或=1， 若，则由得，经验证符合题意； 若，则，由得，不符合题意； 综上， 一、元素与集合的概念 1．元素：一般地，把________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为集).集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物． 研究对象 总体 研究对象 总体 返回导航 20 3．集合相等：只要构成两个集合的________是一样的，就称这两个集合是相等的． 反过来，当两个集合相等时，这两个集合中的,元素是完全相同的． 4．元素的特性：________、________、互异性．不同的元素． 元素 确定性 无序性 元素 确定性 无序性 返回导航 21 二、元素与集合的关系 给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a∉A. “∈”“∉”的开口向着集合． 属于 不属于 属于 不属于 返回导航 22 三、常见数集 自然数集_____，由所有的非负整数组成；正整数集N＋或N*；整数集_____；有理数集____；实数集____. N Z Q R N Z Q R 返回导航 23 导练·随堂检测——举一反三 强化实战性 1．(2025·安徽亳州月考)2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩．下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是(　　) A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 答案：D 返回导航 24 解析：根据集合元素的确定性可以判断ABC正确；对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确．故选D. 返回导航 25 2．(2025·安徽铜陵期末)下列关系中正确的个数是(　　) ①0∈N；②∉Z；③∈R；④π∈Q A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：C 解析：0∈N，∉Z，∈R，π∉Q，①②③正确，④错误．故选C. 返回导航 26 3．(2025·陕西安康期末)有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是(　　) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 答案：A 解析：可得四个元素互不相等，则四条边互不相同，所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形．故选A. 返回导航 27 4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________． 3 解析：由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3. 返回导航 28 $