第四章《整式的加减》(知识点+巩固练习) 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案围绕“整式的加减”展开，涵盖单项式、多项式、同类项等核心概念及运算法则。课堂导入可联系代数式知识，通过实例搭建从数到式的学习支架，帮助学生理解概念间的层次关系，如单项式到多项式再到整式的过渡。 资料题型多样，包含基础辨析、实际应用和规律探究题，注重培养学生的抽象能力与运算能力。通过实际问题引导学生用数学眼光观察现实，结合详细注意点提示，帮助学生形成条理化思维，提升用数学语言表达数量关系的能力，适合分层教学与自主学习。

第四章 整式的加减 【人教2024版】七年级上册 一、单项式 1 ．单项式的概念：如-2xy2 ， mn ，-1 ，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独 的一个数或一个字母也是单项式. 注意： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； ②单独的一个数； ③单独的一个字母. （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如： 可以写成st 。但若分母中含有 字母，如 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积. 2 ．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 注意： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是 1 或-1 时，“ 1 ”通常省略不写； （4） 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 3 ．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 提示：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是 1 ，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算. 二、多项式 1 ．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式. 注意：“几个 ”是指两个或两个以上. 2 ．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 注意：（1）多项式的每一项包括它前面的符号. （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2 - 2x - 7 是一个三项式. 3 ．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数. （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出. 三、整式 单项式与多项式统称为整式. 注意：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示. 单项式 多项式 整式 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式. 四、同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式. 注意： （1）判断是否同类项的两个条件： ①所含字母相同； ②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可. （2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关. （3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项. 五、合并同类项 1 ．概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 2 ．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 提示：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： （1）当项数较多时通常在同类项的下面作上相同的标记 （2）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有. （3）合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 六、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 注意： （1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+ ”号时，可以看作+1 与括号内 的各项相乘；当括号前为“- ”号时，可以看作-1 与括号内的各项相乘. （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+ ”号，还是“- ”号，然后再根据法则去掉括号及前面 的符号. （3）对于多重括号，一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 七、添括号法则 添括号后，括号前面是“+ ”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“- ”号，括到括号里的各项都要改变符号. 注意： （1）添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+ ”号或“- ”号 也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移 ”出来得到的. （2）去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 八、整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 注意： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项. （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来. （3）整式加减的最后结果中： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数. 学科网（北京）股份有限公司- 1 - / 30 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，判断每个式子是否为单项式，单项式是数字或字母的积的形式，不能包含加减法运算．据此解答即可． 【详解】解：①是常数，属于单项式； ②包含加法运算，是多项式，不是单项式； ③包含加法运算，是多项式，不是单项式； ④分子为多项式，不是单项式； ⑤是数字与字母的积，为单项式； ⑥是数字与字母的积，为单项式． ∴单项式有①、⑤、⑥， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知两个整式：与，关于它们的相同点，有下列说法：①都是整式；②都是单项式；③次数相同；④系数都是整数；⑤都含字母“”和“”，其中说法正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查整式和单项式的概念． 逐个判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：∵整式包括单项式和多项式，且两个式子都是单项式，∴说法①正确； ∵单项式是数字与字母的乘积，两个式子都符合，∴说法②正确； ∵第一个式子的次数为，第二个式子的次数为，次数相同，∴说法③正确； ∵第一个式子的系数为，第二个式子的系数为，都是整数，∴说法④正确； ∵两个式子都含有字母和，∴说法⑤正确； 综上，5个说法都正确． 故选：A． 3．（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法错误的是（   ） A．若，则a与b成反比例 B．的系数，次数是4 C．1.8与1.80的精确度不同 D．不是单项式 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系、单项式的系数和次数、精确度的概念以及单项式的定义．根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则a与b成反比例，正确，不符合题意； B、的系数，次数是3，原说法错误，符合题意； C、1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，两者的精确度不同，正确，不符合题意； D、不是单项式，正确，不符合题意； 故选：B． 4．（第4章整式的加减（考点梳理对点练）-【千里马单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学考点梳理对点练（人教版2024））用单项式表示，并指出它们的系数和次数： (1)一件商品的进货价是元，高于进货价20%出售，销售价是多少元？ (2)学校购买了一批图书，共箱，每箱有册，学校决定将这批图书的捐给社会福利院，则捐给社会福利院的图书有多少册？ (3)一个圆柱体的高为，底面圆的半径是，那么该圆柱体的体积是多少？ 【答案】(1)，它的系数是1.2，次数是1 (2)，它的系数是，次数是2 (3)，它的系数是，次数是3 【分析】本题考查了列代数式、单项式等知识，单项式的次数即单项式中所有字母的指数和，单项式的系数即单项式的数字因数，解题的关键是找出题中的数量关系． （1）根据题意列出算式，求出即可． （2）首先根据题意可得这批图书共有册，它的就是册，据此可得解． （3）根据圆柱体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：一件商品的进货价是元，高于进货价20%出售，销售价是元，它的系数是1.2，次数是1． （2）解：捐给社会福利院的图书有册，它的系数是，次数是2． （3）解：该圆柱体的体积是，它的系数是，次数是3． 5．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式规律问题，分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【详解】解：：，，，，，…． ∵各单项式的系数的符号为：−，+，−，+，…， ∴各单项式的系数的符号可利用来确定； ∵各单项式的系数为：2，3，4，5， ∴各单项式的系数可利用来确定； ∵各单项式含字母的部分为：，，，， ∴ 各单项式含字母的部分规律为：； ∴第个单项式为：． 故选：． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式规律问题的求解能力，关键是根据所给代数式准确归纳出该组代数式的规律． 根据各式符号、式子的规律求解此题即可． 【详解】根据、、、、，得第各式子是，所以第21 个式子是． 故选：C． 题型二 多项式 7．（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】本题考查了多项式．根据多项式的定义，几个单项式的和组成的式子是多项式，进行分析，得出选项A、B、C均为单项式，只有选项D属于多项式，即可作答． 解：A、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； B、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； C、0是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； D、是多项式，故该选项符合题意； 故选：D 8．（25-26七年级上·四川·期中）下列整式中是四次多项式的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．根据多项式的次数和项数即可得出答案． 【详解】解：A、是三次单项式，故该选项不符合题意； B、是二次单项式，故该选项不符合题意； C、是三次三项式，故该选项不符合题意； D、是四次三项式，故该选项符合题意； 故选：D． 9．（2024九年级·广东·学业考试）某同学在学习整式的概念后，用下列几幅图来表示各部分之间的关系，与其符合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式、整式、多项式和单项式的相关概念，代数式包含整式，整式是包含单项式和多项式的集合，而单项式和多项式是独立的子类，不互相包含．据此即可求解. 【详解】解：∵代数式包含整式，整式是包含单项式和多项式的集合，而单项式和多项式是独立的子类，不互相包含． 故选：D ． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下面是一名同学的小测卷答案： 填空题： ①的常数项为． ②整式是二次三项式． ③多项式的次数是8． ④关于x和y的多项式中，不含xy项，则k的值为0． ⑤多项式是关于x，y的三次二项式，则m的值为． 这名同学答对的题目是______ 填序号 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据多项式的次数和项数的定义解题即可． 【详解】解：①多项式的常数项是，正确； ②整式是二次三项式，正确； ③多项式中，最高次数为5，不是8，错误； ④多项式中，合并项得，令得，不是0，错误； ⑤多项式，当时，原式，是三次二项式，正确． 故答案为：①②⑤． 11．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）关于x的代数式（a，b为常数），下列说法： ①若，则代数式是关于x的二次三项式； ②若，，则关于x的方程的解为非负数； ③若时，代数式的值为3，则； ④当时，代数式的值为2，当时，代数式的值为 ，则； ⑤若，且当或时，代数式的值相等，则． 其中，一定正确的结论有______（填写序号即可] 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了代数式的化简求值，多项式的相关概念，解题关键是熟悉代数式化简的基本运算；逐项判断：①由得且，故为二次三项式；②且时方程解为正；③代入得等式成立；④解得；⑤由值相等得，结合得． 【详解】解：对于①，若 ，则且，代数式中二次项系数，且有三项，故是关于的二次三项式，正确； 对于②，若且，则方程化为，解得，为非负数，正确； 对于③，当时，代数式值为3，即，整理得，即，故，正确； 对于④，当时，，即；当时，，即；联立方程解得，，故错误； 对于⑤，当或（）时代数值相等，即，故，化简得，因，故；又，即，正确； 故答案为：①②③⑤． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 题型三 同类项 13．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知和是同类项，则下列各组中的单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义．所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项．掌握同类项的定义是解题的关键． 根据相同字母的指数相同列方程求出m和n的值，然后再根据同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，即， ∴A． 由，，则与不是同类项，不符合题意；     B． 由， ，则与是同类项，符合题意；     C． 由，，则与不是同类项，不符合题意；     D． ，，则与不是同类项，不符合题意．     故选B． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）设，其中同类项是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项是解题的关键．同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．还要注意两无关，与字母的顺序无关，与系数无关． 【详解】A、符合同类项的定义，是同类项，符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； C、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； D、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意． 故选A． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列几组式子：①与；②与；③与；④与；⑤与23；⑥与．是同类项的是___． 【答案】③④⑤⑥ 【分析】本题考查同类项的定义，解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项．据此逐个判断即可． 【详解】解：①与所含字母相同，但相同字母的指数不同，故不是同类项； ②与所含字母不相同，故不是同类项； ③与所含字母相同，相同字母的指数也相同，故是同类项； ④与含字母相同，相同字母的指数也相同，故是同类项； ⑤与23，是同类项， ⑥与所含字母相同，相同字母的指数也相同，故是同类项； 故答案为：③④⑤⑥． 16．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列单项式与进行加减运算后，结果仍为单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项的概念，合并同类项，只有同类项与进行加减运算后结果仍为单项式，需判断各选项中的单项式是否与是同类项． 【详解】解：∵同类项的定义是所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式 ∴选项中只有与是同类项 ∴与加减运算后结果为或，仍为单项式 而A、B、C选项中的单项式与所含字母或相同字母的指数不同，不是同类项，加减后结果为多项式， 故选：D． 17．（2026·山东·中考真题）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 18．（24-25七年级上·河北邢台·期末）与相等的整式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号，先将去括号得出，然后将四个选项中的整式去括号后，再进行对比即可． 【详解】解：； A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 题型四 去括号、添括号 19．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）下列选项中的去括号，运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，去括号法则，根据去括号法则即可依次判断． 【详解】解：A、，故原式正确，不符合题意； B、，故B选项错误，符合题意； C、，故原式正确，不符合题意； D、，故原式正确，不符合题意； 故选：B． 20．（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）下面四组式子中，左右两边不相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算和乘方运算，根据乘方的定义，整式去括号法则，合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A. 表示12个3相乘，即，所以相等，不符合题意； B. ，与不相等，符合题意； C. 根据乘法结合律可得 ，所以相等，不符合题意； D. 表示个相加，即，所以相等，不符合题意； 故选：B． 21．（24-25六年级上·上海·期末）去括号： （1）_____； （2）_____； （3）_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）与代数式  相等的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号，根据添括号的法则，括号外面是负号，括号里的每一项都要变号，进行判断即可． 【详解】解：； 故选C． 23．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）根据添括号法则填空：________． 【答案】 【分析】本题考查了添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号． 根据添括号的方法直接进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·全国·周测） （1）（______）+3 （2）（______） 【答案】 【分析】本题考查了添括号的知识点，解决本题的关键是先确定括号内的内容，然后根据添括号的法则进行符号的调整. 添括号时，因为括号前是负号，括号里的每一项都需要变号. 【详解】解：（1）原式 故答案为： （2）原式 故答案为： 题型五 整式的加减运算 25．（25-26七年级下·重庆·开学考试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）（1）计算：； （2）下面是某同学整式加减的运算过程： …………（第一步） …………………………………（第二步） ①该同学从第_________步开始出现错误； ②该题的正确结果是____________； ③请你根据平时的学习经验，就“整式的加减”给同学们提一条建议． 【答案】（1）；（2）① 一 ； ②； ③要正确去括号和正确使用乘法分配律（言之有理即可） 【分析】本题考查整式的加减，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和去括号法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，再算括号里的减法，然后算乘法，最后计算减法即可； （2）①观察计算过程可知，第一步开始出现错误，原因是去括号时这一项漏乘； ②先去括号，然后合并同类项即可； ③可根据去括号法则的注意事项给出建议即可，答案不唯一． 【详解】解：（1） ； （2）①观察计算过程可知，第一步开始出现错误； 故答案为：一； ② ； 故答案为：； ③建议：要正确去括号和正确使用乘法分配律（言之有理即可）． 27．（25-26七年级上·山西临汾·期末）整式加减的本质是合并同类项，我们可以像小学列竖式一样，将多项式按同一字母降幂排列，并使同类项上下对齐，从而逐项计算．例如，计算． 第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：； 第二个多项式：． 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减， 第③步：写出结果， ． 试用上面的方法解决这个计算问题：． 【答案】 第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：， 第二个多项式：. 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减， 或 . 第③步：写出结果， . . 【分析】本题考查整式减法运算，关键是按降幂排列多项式，对齐同类项后逐项相减，本质是合并同类项． 【详解】略 题型六 整式的加减运算-化简求值、求参数值 28．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知边长为的正方形的面积为4，y与互为倒数；先化简，再求值． 【答案】，2 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，进行化简，根据题意得到，代入化简后的代数式中，求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵边长为的正方形的面积为4，y与互为倒数， ∴， ∴原式． 29．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． (1)当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； (2)若W的值与x无关，且，求m的值． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查整式的化简和求值，掌握整式的化简的步骤是解题的关键． （1）①根据题意，化简即可求解； ②根据题意，先计算，再根据，即得，求解即可； （2）化简，根据题意，可得一次项系数和常数项都为零，计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， ①当，，时， ； 即； ② ，， ，， 则 ， ， ， 解得， 则； （2） 与x无关， ，即， ， ，即， ，即， ， ． 30．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式加减的化简求值； （1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可； （2）先计算出，再根据为五次六项式，求m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵为五次六项式， ∴和中一个是五次单项式， 当是五次单项式时，，，此时是五次六项式； 当是五次单项式时，，，此时是五次五项式，不合题意； ∴． 31．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值、整式的化简求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键； （1）将所求代数式变形后整体代入即可； （2）将代数式变形后整体代入即可； （3）将化简后，因结果与无关，得出的值，整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， 将代入，原式 ； （3）解： ， ∵结果与的取值无关， ， ， ． 题型七 整式的加减运算的应用 32．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）一张长为a，宽为的长方形纸片，剪去4个相同的直角三角形和2个相同的长方形，得到一个如图所示的图案（阴影部分），剪去的4个直角三角形的两条直角边的长分别为x、y，2个长方形相邻两边的长也分别为x、y． (1)若，解答下列问题： ①用含x、y的代数式表示图中阴影部分的面积； ②当时，求阴影部分的面积； ③若阴影部分的面积为，则______________（用含x的代数式表示） (2)设阴影部分的面积为S，若代数式的值与x、y无关，求m的值． 【答案】(1)；； (2)4 【分析】本题考查整式的加减的应用，无关型问题，列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，正确列出代数式． （1）①用长方形的面积减去四个直角三角形的面积以及两个小长方形的面积即可；②把x、y的值代入①中所列的代数式求值即可；③根据长方形面积公式，三角形面积公式，列出代数式化简即可； （2）首先化简代数式，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①依题意得 ②当时，阴影部分的面积为∶ ． ③若阴影部分的面积为，即． 解得． 故答案为： （2）解：阴影部分的面积为 ． 把代入上式得 ． 代数式的值与x、y无关， ，解得． 33．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 【答案】32（平方厘米） 【分析】解：设正方形和正方形的边长分别是厘米、厘米，根据三个阴影长方形的周长相等，得，进而得出（厘米），再求出、，即可求解． 【详解】设正方形和正方形的边长分别是厘米、厘米， 则厘米， 厘米， 厘米， 厘米， 所以厘米， 厘米， 又因为三个阴影长方形的周长相等， 所以， 即， 化简得（厘米）， 则（厘米）， （厘米）， 所以长方形的面积（平方厘米）． 34．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为． (1)当，，，时，则该四位数______被3整除；（填“能”或“不能”） (2)已知：可以被3整除．求证：可以被3整除． 【答案】(1) 能 (2) 证明： ∵能被整除， 已知可以被整除， ∴能被整除， 即可以被整除． 【分析】（1）根据能被3整除的数的特征，计算四个数字的和，判断和能否被3整除即可得到结论； （2）先将四位数展开为代数式，对代数式变形提取公因式3，结合已知条件即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵ ∴该四位数能被3整除． （2）略 35．（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）不是，是 （2） （3）任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下： 根据题意得，， ∵为正整数，为自然数，且， ∴是11的倍数， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，整式的加减，解题的关键是理解题中的定义． （1）根据“极差数”的定义进行判断即可； （2）根据“极差数”的定义列出关系式即可； （3）根据“极差数”的定义列出代数式，整理代数式进行判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴三位数265不是“极差数”； ∵， ∴三位数583是“极差数”； 故答案为：不是，是； （2）根据题意得，之间的关系式为， 故答案为：； （3）略 36．（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 【答案】(1), (2)方案一更省钱 (3)存在，混合采购方案为：用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，整式加减的应用，解题关键是正确理解题意列出代数式． （1）分别根据方案一和方案二列式计算即可； （2）将代入（1）中代数式求解并判断，即可解题； （3）先用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，计算出结果，再与每一个方案的付款比较大小，选择最合算方案即可． 【详解】（1）解：由题知，方案一的总付款金额为：元， 方案二的总付款金额为元； 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一的总付款金额为：（元）， 方案二的总付款金额为：（元）， ， 方案一更省钱； （3）解：存在，用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买， 混合总费用为：（元）， ， 存在更省钱的混合采购方案，方案为用方案一购买35个足球（获赠35个护腿板），剩余65个护腿板用方案二购买，总费用为8640元． 37．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（1） （2）①，；②（答案不唯一） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质． （1）计算，根据结果可得答案； （2）①由恒成立，可得且，进一步可得答案；②由，可令，从而可得答案． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴恒成立， ∴且， 解得：，； ②∵，无论取何值，总有， ∴可以为：（答案不唯一）． 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 【人教2024版】七年级上册 一、单项式 1 ．单项式的概念：如-2xy2 ， mn ，-1 ，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独 的一个数或一个字母也是单项式. 注意： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； ②单独的一个数； ③单独的一个字母. （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如： 可以写成st 。但若分母中含有 字母，如 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积. 2 ．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 注意： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是 1 或-1 时，“ 1 ”通常省略不写； （4） 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 3 ．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 提示：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是 1 ，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算. 二、多项式 1 ．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式. 注意：“几个 ”是指两个或两个以上. 2 ．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 注意：（1）多项式的每一项包括它前面的符号. （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2 - 2x - 7 是一个三项式. 3 ．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数. （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出. 三、整式 单项式与多项式统称为整式. 注意：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示. 单项式 多项式 整式 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式. 四、同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式. 注意： （1）判断是否同类项的两个条件： ①所含字母相同； ②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可. （2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关. （3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项. 五、合并同类项 1 ．概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 2 ．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 提示：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： （1）当项数较多时通常在同类项的下面作上相同的标记 （2）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有. （3）合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 六、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 注意： （1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+ ”号时，可以看作+1 与括号内 的各项相乘；当括号前为“- ”号时，可以看作-1 与括号内的各项相乘. （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+ ”号，还是“- ”号，然后再根据法则去掉括号及前面 的符号. （3）对于多重括号，一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 七、添括号法则 添括号后，括号前面是“+ ”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“- ”号，括到括号里的各项都要改变符号. 注意： （1）添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+ ”号或“- ”号 也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移 ”出来得到的. （2）去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 八、整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 注意： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项. （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来. （3）整式加减的最后结果中： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数. 学科网（北京）股份有限公司- 1 - / 30 学科网（北京）股份有限公司 题型一 单项式 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知两个整式：与，关于它们的相同点，有下列说法：①都是整式；②都是单项式；③次数相同；④系数都是整数；⑤都含字母“”和“”，其中说法正确的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法错误的是（   ） A．若，则a与b成反比例 B．的系数，次数是4 C．1.8与1.80的精确度不同 D．不是单项式 4．（第4章整式的加减（考点梳理对点练）-【千里马单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学考点梳理对点练（人教版2024））用单项式表示，并指出它们的系数和次数： (1)一件商品的进货价是元，高于进货价20%出售，销售价是多少元？ (2)学校购买了一批图书，共箱，每箱有册，学校决定将这批图书的捐给社会福利院，则捐给社会福利院的图书有多少册？ (3)一个圆柱体的高为，底面圆的半径是，那么该圆柱体的体积是多少？ 5．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一组按照规律排列的式子如下：、、、、、……，请根据规律写出第21个式子为（     ） A． B． C． D． 题型二 多项式 7．（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列属于多项式的是（   ） A． B． C．0 D． 8．（25-26七年级上·四川·期中）下列整式中是四次多项式的是（　 ） A． B． C． D． 9．（2024九年级·广东·学业考试）某同学在学习整式的概念后，用下列几幅图来表示各部分之间的关系，与其符合的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期中）下面是一名同学的小测卷答案： 填空题： ①的常数项为． ②整式是二次三项式． ③多项式的次数是8． ④关于x和y的多项式中，不含xy项，则k的值为0． ⑤多项式是关于x，y的三次二项式，则m的值为． 这名同学答对的题目是______ 填序号 11．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）关于x的代数式（a，b为常数），下列说法： ①若，则代数式是关于x的二次三项式； ②若，，则关于x的方程的解为非负数； ③若时，代数式的值为3，则； ④当时，代数式的值为2，当时，代数式的值为 ，则； ⑤若，且当或时，代数式的值相等，则． 其中，一定正确的结论有______（填写序号即可] 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 题型三 同类项 13．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知和是同类项，则下列各组中的单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）设，其中同类项是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列几组式子：①与；②与；③与；④与；⑤与23；⑥与．是同类项的是___． 16．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列单项式与进行加减运算后，结果仍为单项式的是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·山东·中考真题）计算：________． 18．（24-25七年级上·河北邢台·期末）与相等的整式为（    ） A． B． C． D． 题型四 去括号、添括号 19．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）下列选项中的去括号，运算错误的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）下面四组式子中，左右两边不相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 21．（24-25六年级上·上海·期末）去括号： （1）_____； （2）_____； （3）_____． 22．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）与代数式  相等的式子是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）根据添括号法则填空：________． 24．（25-26七年级上·全国·周测） （1）（______）+3 （2）（______） 题型五 整式的加减运算 25．（25-26七年级下·重庆·开学考试）计算： (1)； (2) 26．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）（1）计算：； （2）下面是某同学整式加减的运算过程： …………（第一步） …………………………………（第二步） ①该同学从第_________步开始出现错误； ②该题的正确结果是____________； ③请你根据平时的学习经验，就“整式的加减”给同学们提一条建议． 27．（25-26七年级上·山西临汾·期末）整式加减的本质是合并同类项，我们可以像小学列竖式一样，将多项式按同一字母降幂排列，并使同类项上下对齐，从而逐项计算．例如，计算． 第①步：整理多项式，按降幂排列， 第一个多项式：； 第二个多项式：． 第②步：写成竖式，将同类项上下对齐，缺项补零，逐项相减， 第③步：写出结果， ． 试用上面的方法解决这个计算问题：． 题型六 整式的加减运算-化简求值、求参数值 28．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知边长为的正方形的面积为4，y与互为倒数；先化简，再求值． 29．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，，为多项式，，，，其中，，为非零常数，． (1)当时， ①，，，求W的值； ②，，，求、的值； (2)若W的值与x无关，且，求m的值． 30．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 31．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 题型七 整式的加减运算的应用 32．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）一张长为a，宽为的长方形纸片，剪去4个相同的直角三角形和2个相同的长方形，得到一个如图所示的图案（阴影部分），剪去的4个直角三角形的两条直角边的长分别为x、y，2个长方形相邻两边的长也分别为x、y． (1)若，解答下列问题： ①用含x、y的代数式表示图中阴影部分的面积； ②当时，求阴影部分的面积； ③若阴影部分的面积为，则______________（用含x的代数式表示） (2)设阴影部分的面积为S，若代数式的值与x、y无关，求m的值． 33．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图，长方形的长为20厘米，宽为16厘米，长方形内放着两个重叠的正方形和正方形，已知三个阴影长方形的周长相等，求长方形的面积． 34．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）一个千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是的四位数可以表示为． (1)当，，，时，则该四位数______被3整除；（填“能”或“不能”） (2)已知：可以被3整除．求证：可以被3整除． 35．（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 36．（25-26七年级上·河北保定·期末）一元一次方程解决实际问题 某球队为备战新赛季，计划从体育用品店采购训练用足球和护腿板，已知足球每个定价180元，护腿板每个定价40元，商店提供两种优惠方案： 方案一：买1个足球送1个护腿板； 方案二：足球和护腿板都按定价的付款，该球队需购买足球35个，护腿板个． (1)方案一的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简），方案二的总付款金额为___________元（用含的代数式表示并化简）； (2)当时，哪种方案更省钱？计算说明理由； (3)当时，该球队是否存在更省钱的混合采购方案？若存在，写出方案并计算总费用． 37．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 2 / 30 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $