第02讲 等式的性质（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第02讲 等式的性质 课程标准 学习目标 ①等式的性质 ②利用等式的性质解方程 1. 掌握等式的性质，并能够熟练的判断式子的变形是否正确以及能够熟练的应用等式的性质解方程。 知识点01 等式的性质 1. 等式的基本性质： 性质1：等式左右两边同时加上（减去） 同一个 数（式子），等式 仍然成立 。 性质2：等式左右两边同时乘 同一个 的数（式子）或同时除以 同一个不为0 的数（式子），等式 仍然成立 。 性质3：对称性：，则 。 性质4：传递性：，，则 。又称等量代换。 【即学即练1】 1．运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a﹣1＝b﹣1 B．如果a＝b，那么a+c＝b+c C．如果a＝b，那么 D．如果a＝b，那么ac＝bc 【分析】根据等式的性质解答即可． 【解答】解：A、如果a＝b，那么a﹣1＝b﹣1，原式变形正确，不符合题意； B、如果a＝b，那么a+c＝b+c，原式变形正确，不符合题意； C、如果a＝b，那么，原式变形错误，符合题意； D、如果a＝b，那么ac＝bc，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若a＝b，则a±c＝b±c B．若am＝bm，则a＝b C．若，则a＝b D．a＝b，且m≠0，则 【分析】根据等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立，解答即可． 【解答】解：若a＝b，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∴a±c＝b±c，故A正确，不符合题意； 若am＝bm，当m＝0时，a＝b不一定成立，故B错误，符合题意； 若，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴a＝b，故C正确，不符合题意； 若a＝b，且m≠0，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【即学即练3】 3．观察如图，一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 【分析】设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y．根据天平两边质量相等构建关系式可得结论． 【解答】解：设一个羽毛球的质量为x，一个乒乓球质量为y． 由题意x+9y＝3x+y， ∴x＝4y， ∴一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍． 故选：C． 知识点02 利用等式的性质解方程 1. 利用等式的性质解方程的步骤： 第一步：利用等式的 性质1 ，方程两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使一元一次方程左边只含有未知数的项，右边是常数项。 第二步：利用等式的 性质2 ，方程两边同时乘（或除以）同一个数，即未知数的 系数 ，使得未知数的次数化为1，从而得出方程的解。 【即学即练1】 4．利用等式的性质解方程： （1）5+x＝﹣2 （2）3x+6＝31﹣2x． 【分析】（1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时加上（2x﹣6），然后再除以5． 【解答】（1）5+x＝﹣2 5+x﹣5＝﹣2﹣5 x＝﹣7； （2）3x+6＝31﹣2x 3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣6 5x＝25 x＝5． 题型01 利用等式的性质判断等式的变形 【典例1】已知a＝b，下列不相等的是（　　） A．与 B．a+3与b+3 C．a﹣1与b﹣1 D．3（a+1）与3b+1 【分析】利用等式的性质1对B、C选项进行判断；利用等式的性质2对A、D选项进行判断． 【解答】解：A．若a＝b，则＝，所以A选项不符合题意； B．若a＝b，则a+3＝b+3，所以B选项不符合题意； C．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1，所以C选项不符合题意； D．若a＝b，则3（a+1）＝3（b+1），所以D选项符合题意． 故选：D． 【变式1】已知等式a＝b，则下列变形错误的是（　　） A．|a|＝|b| B． C．a2＝b2 D．2a﹣2b＝0 【分析】根据绝对值和等式的性质即可作出判断． 【解答】解：A、根据绝对值的性质可知，若a＝b，则|a|＝|b|，原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式性质，若a＝b，c≠0，则，原变形错误，故此选项符合题意； C、根据等式性质，若a＝b，则a2＝b2，原变形正确，故此选项不符合题意； D、根据等式性质，若a＝b，则2a﹣2b＝0，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列运用等式的性质的变形中，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果，那么a＝b C．如果a＝b，那么 D．如果a＝3，那么a2＝3a2 【分析】A．根据等式的基本性质1判断即可； BC．根据等式的基本性质2判断即可； D．把a＝3分别代入a2、3a2，通过计算判断等式是否成立即可． 【解答】解：根据等式的基本性质1，将a＝b的两边同时加c，得a+c＝b+c， ∴A不正确，不符合题意； 根据等式的基本性质2，将＝的两边同时乘c，得a＝b， ∴B正确，符合题意； 根据等式的基本性质2，当c≠0时，将a＝b的两边同时除以c，得＝， ∴C不正确，不符合题意； 如果a＝3，则a2＝9，3a2＝27， ∴a2≠3a2， ∴D不正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3】运用等式性质进行的变形，错误的是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么 C．如果a（x2+1）＝b（x2+1），那么a＝b D．如果a＝b，那么a﹣2＝b﹣2 【分析】根据等式的性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【解答】解：A．如果 ，那么 a＝b成立，故本选项不符合题意； B．如果 a＝b，当c＝0，那么 不成立，故本选项符合题意； C．如果 a（x2+1）＝b（x2+1），因为x2+1≥1，那么 a＝b成立，故本选项不符合题意； D．如果 a＝b，那么 a﹣2＝b﹣2成立，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式4】运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a＝b，那么a+c＝b+c C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果ac＝bc，那么a＝b 【分析】根据等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，可得答案． 【解答】解：A、等号的两边都减c，故A正确； B、等号的两边都加c，故B正确； C、等号的两边都乘以c，故C正确； D、c＝0时无意义，故D错误； 故选：D． 【变式5】下列说法正确的个数是（　　） ①若m＝n，则|m|＝|n|； ②若m＝﹣n，则|m|＝|n|； ③若|m|＝|n|，则m＝n； ④若|m|＝|n|，则m＝﹣n． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据绝对值的定义即可作出判断． 【解答】解：①相等的两个数的绝对值相等，故①符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故②符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故③④不符合题意； 故选：C． 题型02 利用等式的性质解决天平型题目 【典例1】如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①，由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②，①﹣②即可得出“□”与“〇”的关系． 【解答】解：由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①， 由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②， ①﹣②，得3个□﹣3个〇＝1个〇+1个□， ∴1个□＝2个〇， ∴n＝2， 故选：B． 【变式1】下列等式的性质中，与如图的情形具有相同意义的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b+c B．若a＝b，则ac＝bc C．若a＝b，则a2＝b2 D．若a＝b，则 【分析】观察图形可知天平的托盘内都添加了同一个物体，即等式的两边都加上同一个数，等式仍成立，由此判断即可． 【解答】解：与如图的情形具有相同意义的是若a＝b，则a+c＝b+c， 故选：A． 【变式2】有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中，同一种物体的质量都相等，将天平的左右托盘中都放上不同个数的物体，下列四个天平中只有一个天平状态不对，则该天平是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等式的性质即可求解． 【解答】解：设“■”的质量为x，“▲”的质量为y，“●”的质量为c， 若各个选项中左右两边相等， 则：A选项可表示为2x＝3y， B选项可表示为2c+x＝2y+2c，即x＝2y， C选项可表示为x+c＝c+2y，即x＝2y， D选项可表示为2x＝4y，即x＝2y， 只有A选项与其他的等式不同， 故选：A． 【变式3】如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（　　） A．20g B．25g C．15g D．30g 【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系． 本题中等量关系为：三块巧克力的质量等于两个果冻的质量，而一个果冻加上一块巧克力的质量等于50克．根据这两个等量关系可以列出方程组． 【解答】解：设巧克力的质量为x，果冻的质量为y． 则 解得 所以一块巧克力的质量为20克． 故选：A． 【变式4】观察图1，若天平保持平衡，在图2天平的右盘中需放入（　　）个〇才能使其平衡． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设△的质量为x，□的质量为y，〇的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题． 【解答】解：设△的质量为x，□的质量为y，〇的质量为z，则 3y+2x＝2y+3z，即y+2x＝3z． 所以 2y+4x＝6z． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个〇才能使其平衡． 故选：B． 题型03 利用等式的性质解方程 【典例1】下列等式变形正确的是（　　） A．若 ，则x＝﹣4 B．若 ，则6x﹣3（x﹣1）＝2（x+2）+1 C．若5x+1＝x﹣3，则 5x﹣x＝﹣3﹣1 D．若 ，则x＝5 【分析】根据等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．据此逐项分析即可． 【解答】解：A．若，则两边都乘以﹣2得x＝4，原变形错误，不符合题意； B．若，则两边都乘以6得6x﹣3（x﹣1）＝2（x+2）+6，原变形错误，不符合题意； C．若5x+1＝x﹣3，则两边都减x得5x+1﹣x＝﹣3，两边再减1得5x﹣x＝﹣3﹣1，正确，符合题意； D．若，则两边都乘以﹣2得x＝5，原变形错误，不符合题意， 故选：C． 【变式1】下列变形正确的是（　　） A．由2x＝5变形得x＝ B．由x﹣1＝3x变形得x+3x＝1 C．由﹣3（x﹣1）＝2x变形得﹣3x﹣3＝2x D．由x+1＝x﹣3变形得5x+6＝4x﹣18 【分析】根据等式的性质，依次分析各个选项，选出变形正确的选项即可． 【解答】解：A、2x＝5，等式两边同时除以2得：x＝，故选项A错误， B、x﹣1＝3x，等式两边同时加上1﹣3x得：x﹣3x＝1，故选项B错误， C、﹣3（x﹣1）＝2x，去括号得：﹣3x+3＝2x，故选项C错误， D、x+1＝x﹣3，等式两边同时乘以6得：5x+6＝4x﹣18，故选项D正确， 故选：D． 【变式2】利用等式的性质解方程： （1）5﹣x＝﹣2 （2）3x﹣6＝﹣31﹣2x． 【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【解答】解：（1）两边都减5，得﹣x＝﹣7， 两边都除以﹣1，得 x＝7； （2）两边都加（2x+6），得 5x＝﹣25， 两边都除以5，得 x＝﹣5． 【变式3】请利用等式的基本性质，把下列方程化成x＝a的形式． （1）x﹣1＝4x； （2）＝2﹣． 【分析】（1）根据等式的性质解方程即可； （2）根据等式的性质解方程即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘以2，得3x﹣2＝8x， 方程两边同时加2，得3x﹣2+2＝8x+2，即3x＝8x+2， 方程两边同时减去8x，得3x﹣8x＝8x+2﹣8x， 即﹣5x＝2， 方程两边同时除以﹣5，得； （2）， 方程两边同时乘以20，得35x＝40﹣12x， 方程两边同时加上12x，得35x+12x＝40﹣12x+12x，即47x＝40， 方程两边同时除以47，得． 【变式4】下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程： x﹣4+4＝3x﹣4+4，① x＝3x，② 1＝3．③ （1）步骤①的依据是 　等式两边加上同一个数，等式仍然成立　； （2）小明出错的步骤是 　③　，错误的原因是 　未考虑x＝0的情况　； （3）请利用等式的基本性质，把该等式变形为“x＝a”的形式． 【分析】（1）根据解方程的步骤及等式性质即可求得答案； （2）根据解题过程进行判断即可； （3）利用等式的性质即可求得答案． 【解答】解：（1）步骤①的依据是：等式两边加上同一个数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边加上同一个数，等式仍然成立； （2）小明出错的步骤是③，错误的原因是未考虑x＝0的情况， 故答案为：③；未考虑x＝0的情况； （3）x﹣4＝3x﹣4， x﹣4+4＝3x﹣4+4， x＝3x， x﹣3x＝3x﹣3x， ﹣2x＝0， ﹣2x÷（﹣2）＝0÷（﹣2）， x＝0． 1．下列运用等式的性质变形正确的是（　　） A．若x＝y，则x+5＝y﹣5 B．若a2＝b2，则a＝b C．若，则a＝b D．若ax＝ay，则x＝y 【分析】根据等式的基本性质进而判断即可． 【解答】解：A：若x＝y，则x+5＝y+5，故A不正确，不合题意； B：若a2＝b2，则a＝±b，故B不正确，不合题意； C：若，则a＝b，故C正确，符合题意； D：若ax＝ay，则a≠0时x＝y，故D不正确，不合题意； 故选：C． 2．若x﹣1＝5，则x的倒数为（　　） A．6 B． C．﹣6 D． 【分析】详解一元一次方程，得到x＝6，再根据倒数的定义求解即可． 【解答】解：由x﹣1＝5， 等式的两边都加1可得： x＝6， 则x的倒数为， 故选：B． 3．运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若，则a＝b C．若2a﹣b＝4，则b＝4﹣2a D．若，则x＝2 【分析】性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【解答】解：A、若ac＝bc，当c＝0时，a≠b，错误，不符合题意； B、若，则a＝b，正确，符合题意； C、若2a﹣b＝4，则b＝2a﹣4，错误，不符合题意； D、若，则x＝6×（﹣3）＝﹣18，错误，不符合题意； 故选：B． 4．运用等式性质将等式x+2＝y﹣3变形，可得y﹣x等于（　　） A．﹣5 B．1 C．5 D．﹣1 【分析】观察等式，只需在等式的左右两边加上3﹣x即可． 【解答】解：等式的左右两边加上3﹣x，得 x+2+3﹣x＝y﹣3+3﹣x， 5＝y﹣x， 即y﹣x＝5． 故选：C． 5．下列根据等式的性质正确变形的是（　　） A．由，得x＝1 B．由3（x﹣2）＝6，得x﹣2＝2 C．由x﹣2＝6，得x﹣2+2＝6 D．由2x+3＝x﹣1，得2x+x＝﹣1﹣3 【分析】利用等式的性质2可对A、B选项进行判断；利用等式的性质1可对C、D选项进行判断． 【解答】解：A．由，得x＝4，所以A选项不符合题意； B．由3（x﹣2）＝6，得x﹣2＝2，所以B选项符合题意； C．由x﹣2＝6，得x﹣2+2＝6+2，所以C选项不符合题意； D．由2x+3＝x﹣1，得2x﹣x＝﹣1﹣3，所以D选项不符合题意； 故选：B． 6．根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1 B．若，则a＝b C．若a＝b，则﹣3a＝﹣3b D．若ac＝bc，则a＝b 【分析】性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．据此逐个判断即可． 【解答】解：A、若a＝b，则a﹣1＝b﹣1，故A正确，不符合题意； B、若，则a＝b，故B正确，不符合题意； C、若a＝b，则﹣3a＝﹣3b，故C正确，不符合题意； D、若ac＝bc，且c≠0，则a＝b，故D不正确，符合题意； 故选：D． 7．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 【分析】根据等式的性质2可得答案． 【解答】解：， 两边同时乘以R去分母得IR＝U（等式的性质2）， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B． 8．有23个零件，其中22个质量相等，有一个是次品，次品质量轻一些，用天平称至少称（　　）次就能找出这个次品． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据找次品的规律，把23个零件分成（8，8，7）三组，在调好的天平两盘中放上零件，当哪边的托盘上升，说明这边托盘中的零件质量偏小，由此解答即可． 【解答】解：把23个零件分成（8，8，7）三组． 第一次称天平两边各放8个，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那7个里有1个是次品；如果天平不平衡，则较轻的那一端的8个里有1个是次品． 天平平衡情况：把没称的7个分成（3，3，1）三组，第二次称，天平两边各放3个，如果天平平衡，则没称的那1个是次品；如果天平不平衡，则较轻的那一端的33哥里有1个是次品；把较轻的3个分成（1，1，1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的那1个是次品；如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品． 天平不平衡的情况：把较轻的8个分成（3，3，2）三组，第二次称，天平两边各放3个，有2种情况： ①如果天平平衡，则没称的2个里有1个是次品，把没称的2个分成（1，1）两组，第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品． ②如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1，1，1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品；如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品． 所以至少称3次 就能找出这个次品． 故选：B． 9．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【解答】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克， ∴2x+y＝350，x+2y＝400， 相加得：3x+3y＝750， ∴x+y＝250． ∴需要在天平右盘中放入砝码250克， 故选：C． 10．已知三个实数a，b，c，满足a+b+c≠0，a2+b2＝c2，a2＝b2+c2，则下列结论正确的是（　　） A．a＝0 B．c＝0 C．a＝﹣c D．a＝c 【分析】利用a2+b2＝c2，a2＝b2+c2得到b＝0，再推出a＝c即可． 【解答】解：∵a2+b2＝c2，a2＝b2+c2， ∴2b2＝0， ∴b＝0， ∴a2＝c2， ∵a+b+c≠0， ∴a+c≠0， ∴a＝c， 故选：D． 11．已知a＝﹣a，则a＝ 　0　． 【分析】根据等式的基本性质1、2和相反数的性质求解即可． 【解答】解：根据等式的基本性质1，将a＝﹣a的两边同时加a，得2a＝0， 根据等式的基本性质2，将2a＝0的两边同时除以2，得a＝0． 故答案为：0． 12．已知2m﹣3＝3n+1，则2m﹣3n＝　4　． 【分析】先移项，然后再合并同类项即可． 【解答】解：由2m﹣3＝3n+1，移项得：2m﹣3n＝1+3， 合并同类项得：2m﹣3n＝4． 故答案为：4． 13．如果实数m，n满足方程组，那么m﹣2n＝　8　． 【分析】将两个方程左右分别相减即可求出m﹣2n的值． 【解答】解：将两个方程左右分别相减，得m﹣2n＝8． 故答案为：8． 14．□、△各代表一个数，已知□+□+□＝△，△﹣□＝8．则□＝　4　，△＝　12　． 【分析】根据等式的性质计算即可． 【解答】解：∵□+□+□＝△，△﹣□＝8， ∴□+□+□﹣□＝8， ∴□＝4， ∴△Δ＝3×4＝12， 故答案为：4，12． 15．“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用，如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣3，则m+n﹣2mn＝（﹣2）﹣2×（﹣3）＝4．利用上述思想方法计算：已知3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1．则6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）＝　﹣8　． 【分析】将原式化为2（3m﹣4n）+2mn，再整体代入计算即可． 【解答】解：∵3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1． ∴6（m﹣n）﹣2（n﹣mn） ＝6m﹣6n﹣2n+2mn ＝6m﹣8n+2mn ＝2（3m﹣4n）+2mn ＝2×（﹣3）+2×（﹣1） ＝﹣6﹣2 ＝﹣8， 故答案为：﹣8． 16．用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可； （2）利用等式的基本性质分别化简得出即可． 【解答】解：（1）4x﹣7＝13 移项得：4x＝20， 方程两边同时除以4得： x＝5； （2）3x+2＝x+1 移项得：3x﹣x＝﹣2+1， 合并同类项得： 2x＝﹣1， 解得：x＝﹣． 17．（1）在下列横线上填“＞”“＝”或“＜”． ①如果a﹣b＜0，那么a 　＜　b； ②如果a﹣b＝0，那么a 　＝　b； ③如果a﹣b＞0，那么a 　＞　b． （2）用（1）的方法你能否比较3x2﹣4x+7与4x2﹣4x+7的大小？如果能，请写出比较过程． 【分析】（1）根据不等式的性质以及等式的性质填空即可求解； （2）计算（3x2﹣4x+7）﹣（4x2﹣4x+7）＝﹣x2，根据﹣x2≤0即可求解． 【解答】解：（1）①如果a﹣b＜0，那么a＜b； ②如果a﹣b＝0，那么a＝b； ③如果a﹣b＞0，那么a＞b． 故答案为：＜，＝，＞；． （2）能． （3x2﹣4x+7）﹣（4x2﹣4x+7）＝﹣x2， ∵x2≥0， ∴﹣x2≤0． ∴3x2﹣4x+7≤4x2﹣4x+7． 18．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）已知2m﹣3n＝﹣48，在求的值时，可这样变换：．仿照求的值． （2）已知a2﹣2ab＝3，b2+ab＝﹣4，求3a2﹣4ab+2b2的值． 【分析】（1）根据，再整体代入计算即可求解； （2）由已知得到a2＝3+2ab，b2＝﹣4﹣ab，再整体代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵2m﹣3n＝﹣48， ∴； （2）∵a2﹣2ab＝3，b2+ab＝﹣4， ∴a2＝3+2ab，b2＝﹣4﹣ab， ∴3a2﹣4ab+2b2 ＝3（3+2ab）﹣4ab+2（﹣4﹣ab） ＝9+6ab﹣4ab﹣8﹣2ab ＝1． 19．阅读材料：以下给出求1+2+22+23+24+...+22023的值的方法． 解：设S＝1+2+22+23+24+...+22023（1） 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+...+22024（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得：2S﹣S＝22024﹣1 此时S＝22024﹣1，即1+2+22+23+24+...+22023＝22024﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+3+32+33+34+...+311，结果用含幂的表达式给出； （2）1+3+32+33+34+...+3n（其中n为正整数），结果使用含n的表达式给出． 【分析】（1）仿照材料中的方法解答即可； （2）仿照材料中的方法解答即可． 【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+...+311①， 将等式两边同时乘以3得： 3S＝3+32+33+34+...+311+312②， 将②﹣①得： 2S＝312﹣1 ∴S＝， ∴1+3+32+33+34+...+311＝； （2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n， 将等式两边同时乘以3，得： 3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1． 将下式减去上式得： 2S＝3n+1﹣1． ∴S＝． ∴1+3+32+33+34+…+3n＝． 20．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对” （1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　（3，）　 （2）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为　﹣2　 （3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对” 【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断； （2）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“共生有理数对”的定义，构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1， ∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1， ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； ∵3﹣＝2.5，3×+1＝2.5， ∴3﹣＝3×+1， ∴（3，）是“共生有理数对”． 故答案为：（3，）； （2）∵（a，3）是“共生有理数对”， ∴a﹣3＝3a+1， 解得a＝﹣2， 故答案为：﹣2； （3）∵4是“共生有理数对”中的一个有理数， ∴①当“共生有理数对”是（x，4）时，则有： x﹣4＝4x+1， 解得：x＝﹣， ∴“共生有理数对”是（﹣，4）； ②当“共生有理数对”是（4，y）时，则有： 4﹣y＝4y+1， 解得：y＝， ∴“共生有理数对”是（4，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等式的性质 课程标准 学习目标 ①等式的性质 ②利用等式的性质解方程 1. 掌握等式的性质，并能够熟练的判断式子的变形是否正确以及能够熟练的应用等式的性质解方程。 知识点01 等式的性质 1. 等式的基本性质： 性质1：等式左右两边同时加上（减去） 数（式子），等式 。 性质2：等式左右两边同时乘 的数（式子）或同时除以 的数（式子），等式 。 性质3：对称性：，则 。 性质4：传递性：，，则 。又称等量代换。 【即学即练1】 1．运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a﹣1＝b﹣1 B．如果a＝b，那么a+c＝b+c C．如果a＝b，那么 D．如果a＝b，那么ac＝bc 【即学即练2】 2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若a＝b，则a±c＝b±c B．若am＝bm，则a＝b C．若，则a＝b D．a＝b，且m≠0，则 【即学即练3】 3．观察如图，一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的（　　） A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍 知识点02 利用等式的性质解方程 1. 利用等式的性质解方程的步骤： 第一步：利用等式的 ，方程两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使一元一次方程左边只含有未知数的项，右边是常数项。 第二步：利用等式的 ，方程两边同时乘（或除以）同一个数，即未知数的 ，使得未知数的次数化为1，从而得出方程的解。 【即学即练1】 4．利用等式的性质解方程： （1）5+x＝﹣2 （2）3x+6＝31﹣2x． 题型01 利用等式的性质判断等式的变形 【典例1】已知a＝b，下列不相等的是（　　） A．与 B．a+3与b+3 C．a﹣1与b﹣1 D．3（a+1）与3b+1 【变式1】已知等式a＝b，则下列变形错误的是（　　） A．|a|＝|b| B． C．a2＝b2 D．2a﹣2b＝0 【变式2】下列运用等式的性质的变形中，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果，那么a＝b C．如果a＝b，那么 D．如果a＝3，那么a2＝3a2 【变式3】运用等式性质进行的变形，错误的是（　　） A．如果，那么a＝b B．如果a＝b，那么 C．如果a（x2+1）＝b（x2+1），那么a＝b D．如果a＝b，那么a﹣2＝b﹣2 【变式4】运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a＝b，那么a+c＝b+c C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果ac＝bc，那么a＝b 【变式5】下列说法正确的个数是（　　） ①若m＝n，则|m|＝|n|；②若m＝﹣n，则|m|＝|n|；③若|m|＝|n|，则m＝n；④若|m|＝|n|，则m＝﹣n． A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 利用等式的性质解决天平型题目 【典例1】如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列等式的性质中，与如图的情形具有相同意义的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b+c B．若a＝b，则ac＝bc C．若a＝b，则a2＝b2 D．若a＝b，则 【变式2】有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中，同一种物体的质量都相等，将天平的左右托盘中都放上不同个数的物体，下列四个天平中只有一个天平状态不对，则该天平是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（　　） A．20g B．25g C．15g D．30g 【变式4】观察图1，若天平保持平衡，在图2天平的右盘中需放入（　　）个〇才能使其平衡． A．5 B．6 C．7 D．8 题型03 利用等式的性质解方程 【典例1】下列等式变形正确的是（　　） A．若 ，则x＝﹣4 B．若 ，则6x﹣3（x﹣1）＝2（x+2）+1 C．若5x+1＝x﹣3，则 5x﹣x＝﹣3﹣1 D．若 ，则x＝5 【变式1】下列变形正确的是（　　） A．由2x＝5变形得x＝ B．由x﹣1＝3x变形得x+3x＝1 C．由﹣3（x﹣1）＝2x变形得﹣3x﹣3＝2x D．由x+1＝x﹣3变形得5x+6＝4x﹣18 【变式2】利用等式的性质解方程： （1）5﹣x＝﹣2 （2）3x﹣6＝﹣31﹣2x． 【变式3】请利用等式的基本性质，把下列方程化成x＝a的形式． （1）x﹣1＝4x； （2）＝2﹣． 【变式4】下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程： x﹣4+4＝3x﹣4+4，① x＝3x，② 1＝3．③ （1）步骤①的依据是 　 　； （2）小明出错的步骤是 　 　，错误的原因是 　 　； （3）请利用等式的基本性质，把该等式变形为“x＝a”的形式． 1．下列运用等式的性质变形正确的是（　　） A．若x＝y，则x+5＝y﹣5 B．若a2＝b2，则a＝b C．若，则a＝b D．若ax＝ay，则x＝y 2．若x﹣1＝5，则x的倒数为（　　） A．6 B． C．﹣6 D． 3．运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若，则a＝b C．若2a﹣b＝4，则b＝4﹣2a D．若，则x＝2 4．运用等式性质将等式x+2＝y﹣3变形，可得y﹣x等于（　　） A．﹣5 B．1 C．5 D．﹣1 5．下列根据等式的性质正确变形的是（　　） A．由，得x＝1 B．由3（x﹣2）＝6，得x﹣2＝2 C．由x﹣2＝6，得x﹣2+2＝6 D．由2x+3＝x﹣1，得2x+x＝﹣1﹣3 6．根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1 B．若，则a＝b C．若a＝b，则﹣3a＝﹣3b D．若ac＝bc，则a＝b 7．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（　　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 8．有23个零件，其中22个质量相等，有一个是次品，次品质量轻一些，用天平称至少称（　　）次就能找出这个次品． A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 10．已知三个实数a，b，c，满足a+b+c≠0，a2+b2＝c2，a2＝b2+c2，则下列结论正确的是（　　） A．a＝0 B．c＝0 C．a＝﹣c D．a＝c 11．已知a＝﹣a，则a＝ 　 　． 12．已知2m﹣3＝3n+1，则2m﹣3n＝　 　． 13．如果实数m，n满足方程组，那么m﹣2n＝　 ． 14．□、△各代表一个数，已知□+□+□＝△，△﹣□＝8．则□＝　 　，△＝　 　． 15．“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用，如：已知m+n＝﹣2，mn＝﹣3，则m+n﹣2mn＝（﹣2）﹣2×（﹣3）＝4．利用上述思想方法计算：已知3m﹣4n＝﹣3，mn＝﹣1．则6（m﹣n）﹣2（n﹣mn）＝　 　． 16．用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 17．（1）在下列横线上填“＞”“＝”或“＜”． ①如果a﹣b＜0，那么a 　 　b； ②如果a﹣b＝0，那么a 　 　b； ③如果a﹣b＞0，那么a 　 　b． （2）用（1）的方法你能否比较3x2﹣4x+7与4x2﹣4x+7的大小？如果能，请写出比较过程． 18．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）已知2m﹣3n＝﹣48，在求的值时，可这样变换：．仿照求的值． （2）已知a2﹣2ab＝3，b2+ab＝﹣4，求3a2﹣4ab+2b2的值． 19．阅读材料：以下给出求1+2+22+23+24+...+22023的值的方法． 解：设S＝1+2+22+23+24+...+22023（1） 将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+...+22024（2） 将（2）式和（1）式左右两边分别相减，可得：2S﹣S＝22024﹣1 此时S＝22024﹣1，即1+2+22+23+24+...+22023＝22024﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+3+32+33+34+...+311，结果用含幂的表达式给出； （2）1+3+32+33+34+...+3n（其中n为正整数），结果使用含n的表达式给出． 20．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对” （1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　 　 （2）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为　 　 （3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$