精品解析：甘肃嘉峪关市第八中学2025-2026学年第二学期九年级数学期中质量检测

市第八中学2025-2026学年第二学期九年级数学质量检测 总分：120 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在380000公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据380000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将学生的视力情况绘制成如图所示的扇形统计图．若视力为“及以上”的学生有人，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该校学生的总人数为 B. 视力为的学生有人 C. 视力为的学生有人 D. 视力为的学生比视力为的学生多人 7. 方程经过配方后，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是四边形的外接圆，是的一条直径，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图像判断方程根的情况是（ ）． A. 有三个实数根，两个正根一个负根 B. 有两个实数根，一个正根一个负根 C. 有三个实数根，一个正根两个负根 D. 有两个实数根，并且两个都是负根 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 13. 计算:＝________. 14. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是，，．你认为______适合参加决赛（填“甲”或“乙”或“丙”）． 15. 如图，⊙是的内切圆，，则_____． 16. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放∶第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，，则第个图形有小圆_______个 三、解答题（共36分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 21. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率． 22. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 23. 如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 四、解答题（共36分） 24. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点M和两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在反比例函数的图象上，若，求点P的坐标． 25. 如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的值； 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，连接，求的面积； （3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市第八中学2025-2026学年第二学期九年级数学质量检测 总分：120 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在380000公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据380000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：380000用科学记数法表示应为． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，即选项A错误，不符合题意； B．，即选项B错误，不符合题意； C． ，即选项C错误，不符合题意； D． ，即选项D正确，符合题意． 4. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再计算的值所在的区间． 【详解】∵， ∴， ∴，即该值在5和6之间． 故选C． 5. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 6. 某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将学生的视力情况绘制成如图所示的扇形统计图．若视力为“及以上”的学生有人，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该校学生的总人数为 B. 视力为的学生有人 C. 视力为的学生有人 D. 视力为的学生比视力为的学生多人 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图的数据，分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：∵视力为“及以上”的学生有人，所占百分比为， ∴该校学生的总人数为（人），故A选项正确，不符合题意， 视力为的学生有（人），故B选项正确，不符合题意， ∵视力为的学生所占百分比为， ∴视力为的学生有（人），故C选项正确，不符合题意， ∵（人）， ∴视力为的学生比视力为的学生多人，故D选项不正确，符合题意． 7. 方程经过配方后，其结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键，先移项变为，然后方程两边同加上9即可． 【详解】解： 移项得：， 方程两边同加上9得：， ∴经过配方可得：． 故选：B． 8. 《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键． 根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可． 【详解】解：设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， ∴联立方程组为． 故选：B． 9. 如图，是四边形的外接圆，是的一条直径，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是的直径可得，由得，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图像判断方程根的情况是（ ）． A. 有三个实数根，两个正根一个负根 B. 有两个实数根，一个正根一个负根 C. 有三个实数根，一个正根两个负根 D. 有两个实数根，并且两个都是负根 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解． 【详解】解：依题意，函数与函数的函数图象如图所示， 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，且一个正根两个负根． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需同时考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴且， 即 且； 故答案为：且． 13. 计算:＝________. 【答案】-1 【解析】 【详解】试题解析： = =8-9 =-1 14. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是，，．你认为______适合参加决赛（填“甲”或“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】结合题意，根据方差的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，方差最小的是甲 ∴甲适合参加决赛 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了平均数和方差的知识；解题的关键是熟练掌握方差的性质，从而完成求解． 15. 如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放∶第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，，则第个图形有小圆_______个 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中小圆个数的变化规律．根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小圆的个数，通过归纳得出第“个图形的小圆的个数是”． 【详解】解：由图知： 第一个图形有个小圆， 第二个图形有个小圆， 第三个图形有个小圆， 第四个图形有个小圆 第个图形有个小圆， 故答案为：. 三、解答题（共36分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下所示： 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2026 【解析】 【分析】先处理括号内的分式加法，再处理分式除法，因为除以一个分式等于乘以它的倒数，所以将除法运算转化为乘法运算．对分子分母中的多项式进行因式分解，再约分得到最简结果，最后代入给定的x的值计算最终结果． 【详解】原式， 当时，． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得． 【小问1详解】 解：（1）略 【小问2详解】 ． 理由：连接DF，EG如图所示 则BD=BF=DF，BE=BG=EG 即和均为等边三角形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 21. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率． 【答案】抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 【解析】 【分析】需要通过列表法或树状图法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果，注意抽取两张不考虑顺序，避免重复计数，再根据概率公式求出符合条件的事件概率． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，符合条件的是AC或者CA，共2种， ∴抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 ． 22. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】（1） 如图为所求： （2）C （3）该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键是正确的从表中读出有关的信息． （1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数， （2）50个人的中位数是第25和26人的平均数； （3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可． 【小问1详解】 解：． D组人数：人． 【小问2详解】 解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数， 从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：， （人）． 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人． 23. 如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． 四、解答题（共36分） 24. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点M和两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P在反比例函数的图象上，若，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最后求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案． 【小问1详解】 解：一次函数（）的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的表达式是； 在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， 点在反比例函数（）的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 得或， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ， 解得， 点坐标为或． 25. 如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径及的值； 【答案】（1）证明： ， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）半径为3， 【解析】 【分析】（1）证明是的半径，即证明，结合直径所对圆周角是、等腰△OAC和已知即可求解； （2）由（1）中结论和可知，，再由CD、CE和平行线分线段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用三边的勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，即， ∴设，则， ，解得，， ．即的半径为3， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想． 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，连接，求的面积； （3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①，；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，得出，进而求得，，则，根据三角形面积公式即可求解； （3）①过点作于，证明，得出，，进而直线的解析式为，由得到，，，，，，根据即可求解； ②勾股定理求得, 要使得的周长最小，只要的值最小，当点在上时，的值最小，进而勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与坐标轴交于，两点， ∴ 解得：, ∴ 【小问2详解】 ，，，， ，， 轴，轴， 在和中， ， 即， ， ， 当时，， ，，即， ， ． 【小问3详解】 ①如图中，过点作于， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ，，，， 设的解析式为，则 解得：， 直线的解析式为， 设，，， 由得到，， ， ，，，， ， ， ， ， ，． ②如图中，， ， 的周长， 要使得的周长最小，只要的值最小， ， 当点在上时，的值最小， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，正切的定义，面积问题、特殊四边形问题，线段周长问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $