精品解析：甘肃嘉峪关市2024学年第二学期九年级数学自适应练习数学（调研问卷）

嘉峪关市2025学年度第二学期九年级自适应练习 数学（调研问卷） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题、试卷满分150分，考试时间100分钟． 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 4.填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知，下列式子一定成立是（　　） A. ， B. C. D. 2. 在中，，如果，，那么的值是（　　） A. B. C. D. 3. 下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 5. 如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：=___． 8. 函数的定义域是______________． 9. 已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 10. 已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 11. 已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 12. 将两根长度相同的细铜丝均在其黄金分割点处弯折（不计弯折处损耗），再首尾相接围成一个矩形（），连接，那么的正切值等于___________． 13. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 15. 如图，在中，点在边上，连接，点和分别是和的重心．如果，那么用和表示是___________． 16. 对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 17. 如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 18. 如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. “已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； （2）将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． （1）求点、的坐标； （2）点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 22. 【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 （1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； （2）根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； （3）在图中，画出符合要求菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 23. 【模型探究】 如图，已知、分别是边、上点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． （1）直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； （2）将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； （3）当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 25. 如图1，在中，，且． （1）求证：； （2）连接交于点，过点作交于点． ①过点作分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市2025学年度第二学期九年级自适应练习 数学（调研问卷） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题、试卷满分150分，考试时间100分钟． 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 4.填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知，下列式子一定成立的是（　　） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质．由已知比例 ，通过代数变形验证各选项即可． 【详解】解：选项A：x和y不一定为5和2，可能为其他比例相同的数，不符合题意； 选项B：由比例得 ，不符合题意； 选项C：应由 得 ，不符合题意； 选项D：，符合题意； 故选D． 2. 在中，，如果，，那么的值是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据勾股定理得出是解题的关键，由求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，， ∴， 故选A． 3. 下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．需验证抛物线是否经过原点（时）以及对称轴是否为直线，可通过二次函数的对称轴公式或顶点式特点逐项分析即可解答． 【详解】解：选项中，当时，，该抛物线不经过原点，不符合题意； 选项中，当时，，经过原点，又对称轴为，不符合题意； 选项中，当时，，经过原点，又对称轴为，符合题意； 选项中，当时，，该抛物线不经过原点，不符合题意； 故选：． 4. 如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 5. 如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据题意得，逐个判断各选项是否可证即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定； 故选A． 6. 如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，，证明，整理得，又因为，，求出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 8. 函数的定义域是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数的定义域，根据分母不为0求解即可． 【详解】∵函数， ∴， ∴函数的定义域是， 故答案为：． 9. 已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点A和点B的坐标代入二次函数解析式，得到关于b和c的方程组，然后求解方程组即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、， ∴代入点得：，即， 代入点得：，即， 解方程组：， 两式相加得：，解得， 把代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 故答案为． 11. 已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为．由抛物线对称轴是y轴，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴对称轴方程为， 解得，代入得， 当时，， ∴顶点坐标为． 故答案为． 12. 将两根长度相同的细铜丝均在其黄金分割点处弯折（不计弯折处损耗），再首尾相接围成一个矩形（），连接，那么的正切值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割的定义，矩形的性质，正切的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先根据黄金分割定义，设出细铜丝的长度，进而表示出矩形的长和宽，再利用矩形的性质和正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：设每根细铜丝的长度为，（）, 由黄金分割的定义可得，较长线段的长度为， 较短线段的长度为， ， 根据题意可得，矩形的长，宽． 四边形为矩形， ， 在中，． 故答案为：． 13. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由，得，由，得即可解答． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为14． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，点在边上，连接，点和分别是和的重心．如果，那么用和表示是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，重心，相似三角形的判定与性质，先根据点和分别是和的重心，得，，证明，因为，得，整理得，所以，故，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交于点， ∵点和分别是和重心． ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 对于某个函数，如果当时，函数值，那么我们称（）为此函数的“反点”．例如函数，因为当时，所以为此函数的“反点”．二次函数的“反点”是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据“反点”定义，令函数值等于自变量的相反数，建立方程求解即可． 【详解】解：设反点对应的自变量为，则函数值，代入函数解析式得： 整理得： 解得： ∴， ∴反点为． 故答案为：． 17. 如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图所示，过点C作于点F，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作于点H，过点E作于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数混合运算，将特殊角的三角函数值代入计算，化简即可． 【详解】解： ． 20. “已知抛物线经过点，求抛物线的表达式．”上述题目中的黑色阴影部分由于墨水污染而无法辨认，因此导致题目缺失了一个条件无法解答，经查询发现抛物线的表达式为． （1）请根据已有的信息添加一个缺失的条件：_____________； （2）将抛物线向上平移个单位后得到抛物线，如果抛物线的顶点关于原点的对称点在抛物线上，求的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，抛物线的平移，关于原点对称的点的坐标； （1）由，经过，得是的一个根，求另一个根即可解答； （2）求出平移后的函数解析式的顶点坐标和关于原点对称的点的坐标，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，经过， ∴是的一个根， 由根与系数关系，得，即， 解得， ∴添加的条件为； 【小问2详解】 解：将抛物线向上平移个单位后解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 关于原点的对称点为， 将代入， 得即， 解得． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． （1）求点、的坐标； （2）点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解析式的求解以及一次函数的平移性质． （1）先利用反比例函数解析式求出点坐标，再根据点的坐标确定直线的解析式，最后将点的纵坐标代入直线解析式求出点的坐标； （2）由直线的解析式得到，结合，根据同位角相等判定轴，从而得到点的横坐标与点相同，再代入反比例函数求出点的坐标；最后设出平移后直线的解析式，代入点的坐标求出参数． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴代入得，故. ∵直线过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为. ∵点在直线上， ∴代入得，故； 【小问2详解】 解：如图，点在点右侧，设点， ∵， ∴点到两坐标轴的距离相等， ∴. ∵， ∴轴， ∴点的横坐标与点的横坐标相同，即点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为. 设平移后所得直线的解析式为， 将点代入解析式，得，解得， ∴平移后所得直线的表达式为． 22. 【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 （1）根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； （2）根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； （3）在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定； （1）根据是平行四边形，添加条件即可； （2）由题意得，，计算即可解答； （3）延长，利用圆规在延长线上截取，连接；作，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可知是平行四边形，则需添加； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，； ∵，，， ∴，； ∴ ∴， 【小问3详解】 解：如图所示即为所求： 延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点E即可． 23. 【模型探究】 如图，已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，满足．求证：． 【模型应用】 （1）已知、分别是边、上的点，是的平分线上一点，如果，，那么的度数为_____________； （2）如图，已知，是边上一点，请在边上选择一个合适的点，并在内部求作一个点，满足且． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】证明见解析；（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图－作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 【模型探究】由平分，可得，又由，可得，从而，即可得结论； （1）由，可得，从而可证，则，再由，，可得，即可求解； （2）先作的平分线，则有，在截取，再在截取，则，从而，则，即，同时，则，则点、即为所求． 【详解】【模型探究】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． （2）如图，点、即为所求． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． （1）直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； （2）将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； （3）当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）当时，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先根据抛物线的对称轴即可得到点B的坐标，并将点A的坐标代入抛物线得到a与c的关系，再将对称轴代入写出顶点D的坐标即可； （2）首先写出平移后的抛物线的解析式，并表示出点E的坐标，进而得到的长度，即可表示出的面积，结合面积为6即可求解的值； （3）首先根据点的坐标为得到的值即可得到抛物线的解析式，分当点P在点A上方和当点P在点A下方进行讨论，根据构造直角三角形，即可求解直线上点E和O的坐标，即可求解直线的解析式，联立直线和抛物线即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； ∵抛物线交轴于点， ∴，即， 将和代入，得； ∴，； 【小问2详解】 解：设平移后的抛物线为， ∵新抛物线与轴的交点为， ∴， ∵抛物线交轴于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴点A到y轴的距离为3， ∴， ∵的面积为6， ∴，解得：， ∵新的抛物线的最高点为点B， ∴新抛物线的开口向下， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即抛物线开口向上， ∴， ∵，， ∴， 设， 如图，当点P在点A上方时，过点A作交直线于点E，作轴于点F，作轴于点G， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴此时点G与点B重合， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； 如图，当点P在点A下方时，过点A作交直线于点O，作轴于点M，作轴于点N， 同理可求：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； ∴当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质、平移变换、分类讨论，根据特殊角度构造辅助线求解坐标是解题的关键． 25. 如图1，在中，，且． （1）求证：； （2）连接交于点，过点作交于点． ①过点作分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2）①的长为和的长为 ② 【解析】 【分析】（1）首先根据构造垂线结合“三线合一”得到中线，即可证明，进而可以得到； （2）①：首先利用，进行设参数求解直角三角形三边长，再通过，得到，再证明即可求得；再根据等面积法求得，利用勾股定理求得，最后利用得到且相似比为1，即可得到进而求解的长为； ②：首先构造辅助线再将转化为，再利用将转化为，再利用比例的传递性和证明得到，即可解得，即可得到． 【小问1详解】 解：如图，作于点O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， 设，， ∴在中，，解得：（负值舍去）， ∴，， 由（1）得：，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：； ∵， 由（1）得：，易得：， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∴的长为，的长为； ②：如图，作于点M， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形、平行线定理、比例的性质，根据题意构造辅助线得到相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $