精品解析：甘肃省 张掖市第一中学2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为150分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的加法计算得出结论即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键． 2. 2026年全国普通高校毕业生规模预计达12700000．其中“12700000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：12700000用科学记数法表示为 ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误． B、，∴B错误． C、，∴C错误． D、，∴D正确． 4. 一杆古秤在称物时的状态如图，此时，，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义得到，继而得到的度数． 【详解】解：， ， ， ． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式，求解得出的取值范围，再对选项判断即可得解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 则a的值可以是， 故选：A． 6. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）．一个正六边形的内角和的度数是（ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 根据多边形内角和定理，再代入计算即可. 【详解】解：一个正六边形的内角和的度数是. 故选：C. 7. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 8. 奥林匹克精神强调“更快、更高、更强——更团结”，中国体育代表团在夏季奥运会上不断突破，展现了中华民族自强不息的精神风貌．如图，这是1996年至2024年中国夏季奥运会金牌数统计图，下列结论错误的是（ ） A. 2008年，中国获得金牌48枚 B. 2024年，中国获得金牌40枚 C. 2024年金牌数是1996年的2.5倍 D. 1996年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、2008年，中国获得金牌48枚，说法正确，该选项不符合题意； B、2024年，中国获得金牌40枚，说法正确，该选项不符合题意； C、1996年，中国获得金牌16枚，， 则2024年金牌数是1996年的2.5倍，说法正确，该选项不符合题意； D、1996年至2008年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升；2008年至2016年，中国夏季奥运会金牌数逐年下降；2016年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升；原说法错误，该选项符合题意． 9. 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，即可求x的值． 【详解】解：令，则， 解得或（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为， 故选：A． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点重合时，停止运动），则关于的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图象，解题的关键是以动点问题为背景，研究三角形面积的变化，利用三角形面积公式即可得出函数解析式，根据题意可得：，，，，再由，可得出，运用二次函数的图象和性质即可判断答案． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵在等腰直角中，，， ∴，， 依题意得：，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图象为抛物线， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 若分式方程的解为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故答案为：． 13. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大是解决问题的关键．先根据反比例函数的性质判断出的符号，再写出符合条件的函数关系式即可． 【详解】解：反比例函数，当时随的增大而增大， 的值可以为． 故答案为：（答案不唯一） 14. 如图，在平行四边形中，，沿对角线翻折，点B的对应点为，与交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，再由折叠的性质及等边三角形的性质确定是等边三角形，然后利用勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， 由翻折可知， ∵恰为等边三角形， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积和的面积相等， 在中，过点C作交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据相似的性质进行解答即可． 【详解】解：∵如图是两个形状相同的红绿灯图案， ∴两个红绿灯图案相似， ∴， ∴， 经检验，是该方程的解． 即x的值为． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故答案为：22． 三、解答题（共11小题，满分96分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 20. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． （3）思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【答案】（1）见解析 （2） （3）圆心，垂直平分线的交点，勾股 【解析】 【分析】（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，以为半径画圆即可得到所求的圆； （2）连接，设半径为，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径； （3）根据（1）（2）的解题思路即可解答． 【小问1详解】 解：如图，为所求的圆． 【小问2详解】 解：连接， 设半径为，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为． 【小问3详解】 解：思考1：求残片所在的圆，关键是找出圆心，即两条弦的垂直平分线的交点． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 21. 孔子曰：“不学礼，无以立”，礼仪文化是中国传统文化的重要组成部分，也是每一位现代人必备的基本素养．小西和小安准备从社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪这4个分支中各自随机选择一个进行学习，他们制作了如图所示的四张不透明卡片（卡片除正面内容不同外其他完全相同），背面朝上洗匀后放在桌子上，小西先从中随机抽取一张，记录下卡片上的内容后放回洗匀，小安再从中随机抽取一张，他们分别以自己抽取的卡片上内容为准进行学习． （1）小西抽取的卡片上内容为社交礼仪的概率为________； （2）请用列表法或画树状图法求小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小西从社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪这4个分支中各自随机选择一个进行学习，抽取的卡片上内容为社交礼仪的概率为 【小问2详解】 解：记社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有16种可能结果，其中小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的有9种， ∴小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的概率为． 22. 小明周末去公园测量一棵银杏树的高度，从处测得银杏树顶处的仰角为，接着小明向银杏树方向前进了米后到达点，处有一高为米的高台，小明在高台处测得树顶的仰角为，已知点在同一水平直线上，且，均垂直于，求这棵银杏树的高．（精确到米，参考数据：，，） 【答案】约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作于点，可得四边形为矩形，即得米，，设米，则米，由可得米，即得米，进而得米，再解求出即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， 米，， 设米，则米， 在中，， 米， 米， 米， 米， 在中，， ， ， ， 经检验是原方程的解，符合题意， 米， 答：这棵树的高约为米． 23. 为了增强学生的健康意识，普及健康知识，某校组织了健康知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分：100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 众数／分 中位数／分 方差 七年级 a 90 八年级 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）求a，b的值； （2）由统计图，可知______________；（填“>”“＜”或“=”） （3）该校七年级350名学生和八年级210名学生参加了本次健康知识竞赛，得分95分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1）90；90 （2） （3）224人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义即可得解； （2）根据方差的性质进行判断即可； （3）由用样本估计总体，分别计算出七年级和八年级优秀的人数，进而得解． 【小问1详解】 解：由统计图可发现， 七年级学生成绩出现次数最多的是，则七年级学生成绩的众数是90， ∴， 八年级学生成绩按从小到大排列为80，85，85，85，90，90，100，100，100，100，则八年级学生成绩的中位数为； 【小问2详解】 解：由统计图可发现八年级学生成绩波动性大，则八年级学生成绩的方差更大， ∴； 【小问3详解】 解：七年级350名学生得分95分及以上人数为（人）， 八年级210名学生得分95分及以上人数为（人）， ∴估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． 24. 如图，中，顶点A的坐标是，轴，一次函数与反比例函数的图象都经过B，D两点． （1）求k的值． （2）求的面积． 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，平行四边形的性质等知识，求出点B的坐标是解题的关键． （1）根据点D的纵坐标为1，可得点D的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程可得点B的坐标，从而得出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点A的坐标是，轴， ∴点D的纵坐标为1， ∴， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得，； 【小问2详解】 解：当时， ， ， ， 的面积为：． 25. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠OCA ∵∠OAC＝∠DAC ∴∠DAC＝∠OCA ∵AD⊥CE ∴ ∴· 即 ∵C为⊙O上一点 ∴CE是 的切线· （2）9 【解析】 【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题； （2）证明△CDA∽△BCA，利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接 ． ∵AB是的直径， ， ， ∵∠BAC＝∠CAD ∴△CDA∽△BCA ∴ ∴AC= AB=． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键． 26. 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． （1）求直线的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）的最大值是，此时的P点坐标是 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，， ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为150分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年全国普通高校毕业生规模预计达12700000．其中“12700000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一杆古秤在称物时的状态如图，此时，，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成（如图所示）．一个正六边形的内角和的度数是（ ） A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080° 7. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（　 　） A. B. C. D. 8. 奥林匹克精神强调“更快、更高、更强——更团结”，中国体育代表团在夏季奥运会上不断突破，展现了中华民族自强不息的精神风貌．如图，这是1996年至2024年中国夏季奥运会金牌数统计图，下列结论错误的是（ ） A. 2008年，中国获得金牌48枚 B. 2024年，中国获得金牌40枚 C. 2024年金牌数是1996年的2.5倍 D. 1996年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升 9. 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 3 10. 如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点重合时，停止运动），则关于的函数图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，） 11. 分解因式：______． 12. 若分式方程的解为_____ 13. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______． 14. 如图，在平行四边形中，，沿对角线翻折，点B的对应点为，与交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为________． 15. 如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 三、解答题（共11小题，满分96分） 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 化简：． 20. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． （3）思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 21. 孔子曰：“不学礼，无以立”，礼仪文化是中国传统文化的重要组成部分，也是每一位现代人必备的基本素养．小西和小安准备从社交礼仪、商务礼仪、政务礼仪和涉外礼仪这4个分支中各自随机选择一个进行学习，他们制作了如图所示的四张不透明卡片（卡片除正面内容不同外其他完全相同），背面朝上洗匀后放在桌子上，小西先从中随机抽取一张，记录下卡片上的内容后放回洗匀，小安再从中随机抽取一张，他们分别以自己抽取的卡片上内容为准进行学习． （1）小西抽取的卡片上内容为社交礼仪的概率为________； （2）请用列表法或画树状图法求小西和小安抽取的卡片上都不是涉外礼仪的概率． 22. 小明周末去公园测量一棵银杏树的高度，从处测得银杏树顶处的仰角为，接着小明向银杏树方向前进了米后到达点，处有一高为米的高台，小明在高台处测得树顶的仰角为，已知点在同一水平直线上，且，均垂直于，求这棵银杏树的高．（精确到米，参考数据：，，） 23. 为了增强学生的健康意识，普及健康知识，某校组织了健康知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分：100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 众数／分 中位数／分 方差 七年级 a 90 八年级 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）求a，b的值； （2）由统计图，可知______________；（填“>”“＜”或“=”） （3）该校七年级350名学生和八年级210名学生参加了本次健康知识竞赛，得分95分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 24. 如图，中，顶点A的坐标是，轴，一次函数与反比例函数的图象都经过B，D两点． （1）求k的值． （2）求的面积． 25. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD=4，，求AB的长． 26. 问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． （1）求直线的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $