第17讲 分式的乘法与除法（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17讲 分式的乘法与除法 目录 知识点1 分式的乘法法则 2 知识点2 分式的除法法则 2 知识点3 分式的乘方法则 2 知识点4 分式乘除混合运算规则 2 知识点5 含乘方的混合运算顺序 2 知识点6 通用解题原则（必考） 3 题型1 分式乘法 3 题型2 分式除法 4 题型3 分式乘除混合运算 4 题型4 分式乘方 5 题型5 含乘方的分式乘除混合运算 6 1. 知识目标：熟记分式乘法、除法、乘方的运算法则，明确运算适用条件与符号规则，掌握分式乘除、乘方混合运算的顺序与核心原理。 2. 能力目标：能独立完成基础分式乘除、乘方运算，熟练处理多项式分式运算、乘除混合运算、含乘方的综合运算，掌握先分解、后约分的解题流程。 3. 素养目标：建立类比分数运算、化繁为简的数学思维，规范分式运算步骤，规避符号、约分、运算顺序等常见错误，夯实分式运算基础。 知识点1 分式的乘法法则 1. 法则：分式乘分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 2. 公式： 3. 运算要求：运算前优先对分子、分母因式分解，交叉约分后再相乘，结果必须化为最简分式。 知识点2 分式的除法法则 1. 法则：分式除以分式，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2. 公式： 3. 核心思路：除法变乘法，除式颠倒，统一转化为乘法运算后再化简。 4. 整式处理：整式可看作分母为1的分式，再参与除法运算。 知识点3 分式的乘方法则 1. 法则：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方。 2. 公式： 3. 符号规则：分式整体为负时，偶次幂结果为正，奇次幂结果为负。 4. 易错点：必须分子、分母单独整体乘方，禁止只对部分项乘方。 知识点4 分式乘除混合运算规则 1. 运算顺序：同级运算从左到右，先将所有除法转化为乘法，统一为连乘运算。 2. 通用步骤：统一乘法→因式分解→整体约分→相乘化简→结果最简。 3. 符号优先：全程先判定正负，再计算数值与因式，避免符号错误。 知识点5 含乘方的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除；有括号先算括号内，同级运算从左到右，严格遵循整式分式混合运算优先级。 知识点6 通用解题原则（必考） 1. 多项式优先因式分解，不分解不约分； 2. 所有运算最终必须化为最简分式或整式； 3. 全程保证所有分母、除式不为0，保证式子有意义。 题型1 分式乘法 解题技巧（先分解、后约分、最后相乘） 1. 因式分解：分子、分母含多项式，第一步全部因式分解，拆解为乘积形式； 2. 交叉约分：分子与分母交叉约去相同公因式，提前化简减少计算量； 3. 对应相乘：剩余分子相乘作新分子，剩余分母相乘作新分母； 4. 符号判定：数负号个数，偶正奇负，优先锁定结果符号； 5. 收尾校验：结果无公因式、为最简分式，杜绝约分不彻底。 【典例1】．计算：． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【变式3】．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型2 分式除法 解题技巧（除变乘、式颠倒、统一运算） 1. 恒等变形：所有除法统一转化为乘法，只颠倒除式分子分母，被除式保持不变； 2. 整式适配：题干含整式，补分母1，转化为标准分式； 3. 后续流程：转化为乘法后，严格按照分式乘法步骤（分解→约分→相乘）运算； 4. 避坑要点：禁止颠倒被除式，禁止未变乘法直接约分。 【典例2】．计算： 【变式1】．化简：． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【变式3】．计算： (1)． (2)． 题型3 分式乘除混合运算 解题技巧（全化乘、统一式、整体约分） 1. 一步统一：从左至右，将所有除法全部转为乘法，式子变为连续相乘形式； 2. 全面分解：对所有分子、分母多项式彻底因式分解； 3. 整体约分：全局交叉约去所有可约分公因式，一次性化简； 4. 合并结果：剩余因式分别合并，化为最简分式； 5. 核心优势：统一乘法后运算无顺序争议，准确率大幅提升。 【典例3】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算下列各式： (1) (2) 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型4 分式乘方 解题技巧（整体乘方、符号优先、分项运算） 1. 符号先行：判断分式整体符号，根据指数奇偶确定结果正负； 2. 分项乘方：分子整体、分母整体分别乘方，不可漏项、不可局部乘方； 3. 幂次运算：结合幂的乘方、积的乘方公式，精准计算各项幂次； 4. 化简收尾：乘方结束后，能约分继续约分，结果最简； 5. 高频易错：负分式乘方符号混淆、分母漏乘方、多项式局部乘方。 【典例4】．计算： (1)______．         (2)______． 【变式1】．计算 (1)； (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 含乘方的分式乘除混合运算 解题技巧（先乘方、后乘除、分步清零） 1. 严格序位：优先计算所有分式乘方，再统一处理乘除运算； 2. 统一转化：乘方完成后，将所有除法转为乘法，变为连乘结构； 3. 分解约分：多项式因式分解，全局交叉约分，简化式子； 4. 分步校验：每一步单独核对符号、幂次、因式，避免累积错误； 5. 最终化简：合并剩余因式，整理为标准最简分式。 【典例5】．计算： 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算：． 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．已知，则下列式子一定成立的是（     ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 9．如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 10．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．化简：________． 12．用面积都为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1）______； （2）若，则______． 13．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 14．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 15．如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，则甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的_____倍．（注：，结果保留） 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 19．已知：，求的值． 20．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你直接写出，，三个代数式之间的等量关系． (2)①已知，，求的值． ②已知，求的值． (3)将两个正方形，如图3摆放．若两个正方形面积之和为65，，直接写出图中阴影部分的面积之和． 22．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 分式的乘法与除法 目录 知识点1 分式的乘法法则 2 知识点2 分式的除法法则 2 知识点3 分式的乘方法则 2 知识点4 分式乘除混合运算规则 2 知识点5 含乘方的混合运算顺序 2 知识点6 通用解题原则（必考） 3 题型1 分式乘法 3 题型2 分式除法 6 题型3 分式乘除混合运算 7 题型4 分式乘方 10 题型5 含乘方的分式乘除混合运算 15 1. 知识目标：熟记分式乘法、除法、乘方的运算法则，明确运算适用条件与符号规则，掌握分式乘除、乘方混合运算的顺序与核心原理。 2. 能力目标：能独立完成基础分式乘除、乘方运算，熟练处理多项式分式运算、乘除混合运算、含乘方的综合运算，掌握先分解、后约分的解题流程。 3. 素养目标：建立类比分数运算、化繁为简的数学思维，规范分式运算步骤，规避符号、约分、运算顺序等常见错误，夯实分式运算基础。 知识点1 分式的乘法法则 1. 法则：分式乘分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 2. 公式： 3. 运算要求：运算前优先对分子、分母因式分解，交叉约分后再相乘，结果必须化为最简分式。 知识点2 分式的除法法则 1. 法则：分式除以分式，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2. 公式： 3. 核心思路：除法变乘法，除式颠倒，统一转化为乘法运算后再化简。 4. 整式处理：整式可看作分母为1的分式，再参与除法运算。 知识点3 分式的乘方法则 1. 法则：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方。 2. 公式： 3. 符号规则：分式整体为负时，偶次幂结果为正，奇次幂结果为负。 4. 易错点：必须分子、分母单独整体乘方，禁止只对部分项乘方。 知识点4 分式乘除混合运算规则 1. 运算顺序：同级运算从左到右，先将所有除法转化为乘法，统一为连乘运算。 2. 通用步骤：统一乘法→因式分解→整体约分→相乘化简→结果最简。 3. 符号优先：全程先判定正负，再计算数值与因式，避免符号错误。 知识点5 含乘方的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除；有括号先算括号内，同级运算从左到右，严格遵循整式分式混合运算优先级。 知识点6 通用解题原则（必考） 1. 多项式优先因式分解，不分解不约分； 2. 所有运算最终必须化为最简分式或整式； 3. 全程保证所有分母、除式不为0，保证式子有意义。 题型1 分式乘法 解题技巧（先分解、后约分、最后相乘） 1. 因式分解：分子、分母含多项式，第一步全部因式分解，拆解为乘积形式； 2. 交叉约分：分子与分母交叉约去相同公因式，提前化简减少计算量； 3. 对应相乘：剩余分子相乘作新分子，剩余分母相乘作新分母； 4. 符号判定：数负号个数，偶正奇负，优先锁定结果符号； 5. 收尾校验：结果无公因式、为最简分式，杜绝约分不彻底。 【典例1】．计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的乘除，平方差公式，完全平方公式； （1）根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （2）结合平方差公式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （3）提出公因式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可； （4）结合平方差公式和完全平方公式，再根据分式的乘法法则进行约分计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 题型2 分式除法 解题技巧（除变乘、式颠倒、统一运算） 1. 恒等变形：所有除法统一转化为乘法，只颠倒除式分子分母，被除式保持不变； 2. 整式适配：题干含整式，补分母1，转化为标准分式； 3. 后续流程：转化为乘法后，严格按照分式乘法步骤（分解→约分→相乘）运算； 4. 避坑要点：禁止颠倒被除式，禁止未变乘法直接约分。 【典例2】．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 【变式1】．化简：． 【答案】 【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用到平方差公式和分式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将除法化为乘法，然后约分即可． （2）先把分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法运算，因式分解在分式约分中的应用，掌握分式除法转化为乘法，再因式分解约分的步骤是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，对分子提取负号变形后约分； （2）将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型3 分式乘除混合运算 解题技巧（全化乘、统一式、整体约分） 1. 一步统一：从左至右，将所有除法全部转为乘法，式子变为连续相乘形式； 2. 全面分解：对所有分子、分母多项式彻底因式分解； 3. 整体约分：全局交叉约去所有可约分公因式，一次性化简； 4. 合并结果：剩余因式分别合并，化为最简分式； 5. 核心优势：统一乘法后运算无顺序争议，准确率大幅提升。 【典例3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 【变式2】．计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）将除法转化为乘法后约分即可； （2）先将除法转化为乘法，再将分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型4 分式乘方 解题技巧（整体乘方、符号优先、分项运算） 1. 符号先行：判断分式整体符号，根据指数奇偶确定结果正负； 2. 分项乘方：分子整体、分母整体分别乘方，不可漏项、不可局部乘方； 3. 幂次运算：结合幂的乘方、积的乘方公式，精准计算各项幂次； 4. 化简收尾：乘方结束后，能约分继续约分，结果最简； 5. 高频易错：负分式乘方符号混淆、分母漏乘方、多项式局部乘方。 【典例4】．计算： (1)______．         (2)______． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）（2）应用分式乘方的法则，同时注意符号的处理． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方运算，正确的运算是解题的关键． 【变式1】．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是漏乘方或符号错误； （1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简； （4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型5 含乘方的分式乘除混合运算 解题技巧（先乘方、后乘除、分步清零） 1. 严格序位：优先计算所有分式乘方，再统一处理乘除运算； 2. 统一转化：乘方完成后，将所有除法转为乘法，变为连乘结构； 3. 分解约分：多项式因式分解，全局交叉约分，简化式子； 4. 分步校验：每一步单独核对符号、幂次、因式，避免累积错误； 5. 最终化简：合并剩余因式，整理为标准最简分式。 【典例5】．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除混合运算，掌握先算乘方，再算乘除，除法变乘法后约分计算是解题的关键． 先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分完成计算． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式乘法法则，分式相乘，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 2．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式， 故选：B． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式的相关运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 5．若，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过换元简化表达式，利用作商比较法结合因式分解判断符号，即可比较和的大小． 【详解】解：设 ，可得 则 ， ∵ ，计算 得 展开分子得 展开分母得 分子减分母得 ∵ ，∴ ，即 ∴ ∴ ． 6．已知，则下列式子一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，结合分式的性质或代入变形即可判断各选项是否成立． 【详解】解：∵， ∴，且， A、，，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，不一定等于，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 7．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简． 【详解】解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴， 故选：B． 8．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（    ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法运算，分式的求值，分式有意义的条件，先化简，得到最简分式验证结论①；再求使和均为整数的值，排除分母为零的情况，验证结论②． 【详解】解：由题意可知，且， 解得且且， ， ∴结论①正确； ∵，且为整数，为整数， ∴， ∴， ， ∴值为共5种， ∴ 结论②错误． 综上，只有结论①正确． 故选：A． 9．如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出的代数式． 【详解】解： ， 故选：C． 10．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 11．化简：________． 【答案】 【分析】按照分式除法法则进行运算即可． 【详解】解：． 12．用面积都为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1）______； （2）若，则______． 【答案】 6 【分析】由题意可得①的宽为，②的长为，可得的长，再分别表示长方形的面积，长方形的面积，最后，运用“整体换元”思想进一步代入计算可得答案． 【详解】解：∵用面积分别为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，，， ∴①的宽为，②的长为， ∴， ∴长方形的面积为， 长方形的面积为， ∵， ∴， ∴． 13．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 14．在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 【答案】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 15．如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，则甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的_____倍．（注：，结果保留） 【答案】 【分析】本题考查分式除法的应用，列代数式，根据正方形和圆的面积公式分别表示出甲、乙两个花坛（阴影部分）的种花面积，再根据“”得到它们的撒播密度，然后将甲花坛的撒播密度除以乙花坛撒播密度即可解答． 【详解】解：∵，， ∴甲花坛的撒播密度为：， 乙花坛的撒播密度为：， ∴， 即甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的倍． 故答案为：． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的加减运算法则将异分母分式通分，将分式的除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到化简后的分式，再代入字母的值，将含有二次根式的分母有理化，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 当时， 原式． 18．小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 【答案】(1) (2) 不同意，理由如下： 时，除数，原式没意义， ∴当时，原式的值不为1． 【分析】（1）根据除数=被除数÷商列式求解即可； （2）根据除数不能等于0解答即可． 【详解】（1）解：∵ ． ∴被墨水污染的部分为． （2）解：略． 19．已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的约分化简，再根据非负数的性质求出a与b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 20．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍． 【答案】“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍 【详解】解：由题意得， ． 则“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍． 21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你直接写出，，三个代数式之间的等量关系． (2)①已知，，求的值． ②已知，求的值． (3)将两个正方形，如图3摆放．若两个正方形面积之和为65，，直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2)①4；②9 (3) 【分析】本题考查分式的混合运算、因式分解、完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是掌握完全平方公式的变形． （1）根据图形可以用不同的方法表示阴影部分的面积，得出之间的等量关系； （2）①根据（1）的结论可得，再代入即可解答本题；②根据（1）的结论可得，再代入即可求得所求式子的值． （3）设正方形和正方形的边长分别为，根据题意得出，根据完全平方公式求出，根据（1）的结论可得，求出，根据图中阴影部分的面积之和代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得图2中阴影部分面积或， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，，， ． ②∵，，， ， 解得：． （3）解：设正方形和正方形的边长分别为， ∵两个正方形面积之和为65，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴图中阴影部分的面积之和 ． 22．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【答案】 （1）④；（2）存在最大值，最大值为16；（3）两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【分析】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答． 【详解】解：∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且，， ∴， ∴④的值最大， 故答案为：④； （2）∵为定值， ∴当与的差的绝对值越小积越大，即时，存在最大值， ∴时，存在最大值， ∴当，存在最大值，最大值为； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， ∵为定值， ∴当时，的值最大，即的值最小， ∴时，的值最小， 答：两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $