第11讲 认识一次函数（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第11讲 认识一次函数（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 认识一次函数 一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。（2020年，我国人均生活用水量：城镇207 L/d，农村100L/d） （1）下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？ （2）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？ （3）你的实验结果与小明的实验结果有何异同？ 【知识点1 一次函数】 1．定义：如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，那么称是的一次函数。特别地，当b=0时，称是的正比例函数． 2．的作用：的值确定函数的变化趋势． 3．的作用：决定函数自变量为0时，函数的值． 【题型1 识别正比例函数】 【例1】下列式子中，表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【变式1-3】下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【题型2 根据正比例函数的定义求参数】 【例2】若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【变式2-1】已知函数是正比例函数，则__________． 【变式2-2】当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【变式2-3】已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 【题型3 识别一次函数】 【例3】下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列函数中，一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列关于的函数中，一定是一次函数的是（     ） A．（、是常数） B． C． D． 【变式3-3】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 根据一次函数的定义求参数】 【例4】已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-1】若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【变式4-2】函数是一次函数，则m的值为______． 【变式4-3】已知函数． （1）当为何值时，函数是一次函数？ （2）如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【题型5 列一次函数关系式】 【例5】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 【变式5-1】一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【变式5-2】“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． （1）写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： （2）应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． 【变式5-3】北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 模块三 课后作业 1．下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 4．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值． 5．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 6．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． （1）根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． （3）你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 认识一次函数（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 认识一次函数 一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。（2020年，我国人均生活用水量：城镇207 L/d，农村100L/d） （1）下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？ （2）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？ （3）你的实验结果与小明的实验结果有何异同？ 【知识点1 一次函数】 1．定义：如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（，为常数，）的形式，那么称是的一次函数。特别地，当b=0时，称是的正比例函数． 2．的作用：的值确定函数的变化趋势． 3．的作用：决定函数自变量为0时，函数的值． 【题型1 识别正比例函数】 【例1】下列式子中，表示是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义判断，正比例函数要求形如（为常数且，自变量的次数为），逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数，自变量次数为1． ∴对各选项分析如下： 选项A：，存在常数项，不符合正比例函数定义，错误； 选项B：，符合正比例函数的定义，正确； 选项C：，自变量的次数为，不符合定义，错误； 选项D：，是反比例函数，不符合正比例函数定义，错误． 故选：B． 【变式1-1】下列函数是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数叫做正比例函数； 对各选项逐一分析： 选项A：展开得，是常数项不为的一次函数，不是正比例函数； 选项B：，符合的形式，其中，是正比例函数； 选项C：中的次数为，不是正比例函数； 选项D：不是正比例函数． 故选：B． 【变式1-2】下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【答案】C 【分析】正比例函数定义为：形如，其中是不为的常数的函数是正比例函数． 【详解】解：∵选项A中分母含有未知数，不符合定义，∴A错误； ∵选项B中常数项，不符合定义，∴B错误； ∵选项C中，其中，符合正比例函数定义，∴C正确； ∵选项D中，未说明，当时，不是正比例函数，不符合定义，∴D错误． 故选：C． 【变式1-3】下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题根据正比例函数的定义判断各选项即可，正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数是关于的正比例函数． 【详解】首先明确正比例函数定义：形如（为常数，）的函数叫做正比例函数， ∵ 选项A中，，符合的形式，且，∴A是正比例函数； ∵ 选项B中，是反比例函数，不符合正比例函数形式，∴B错误； ∵ 选项C中，是一次函数，常数项为，不是正比例函数，∴C错误； ∵ 选项D中，整理得，常数项为，是一次函数，不是正比例函数，∴D错误． 故选：A． 【题型2 根据正比例函数的定义求参数】 【例2】若y关于x的函数是正比例函数，则m的值为（     ） A． B．5 C． D．0 【答案】B 【分析】正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可得到的值． 【详解】解： 是正比例函数， ，， 解得， 解，得或， 综上可得，m的值为5． 故选：B． 【变式2-1】已知函数是正比例函数，则__________． 【答案】 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做正比例函数，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：函数是正比例函数， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式2-2】当________时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 【分析】正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1，常数项为0． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ． 故答案为：． 【变式2-3】已知是关于x的正比例函数，当时，y的值为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如的函数是正比例函数，据此求出的值，得到函数解析式，再代入计算得到的值. 【详解】解：∵函数是关于的正比例函数 ∴且， 解得：， 当时，． 故答案为：． 【题型3 识别一次函数】 【例3】下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数． 【详解】解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义； C、不是整式形式，不符合一次函数定义； D、不是整式形式，不符合一次函数定义． 故选：B． 【变式3-1】下列函数中，一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一次函数的定义判断各选项即可，一次函数的定义为：形如（为常数，）的函数． 【详解】解：选项A：中未说明，当时，该函数不是一次函数，故A选项错误； 选项B：中，，，符合一次函数定义，故B选项正确； 选项C：中的次数为，不符合一次函数定义，故C选项错误； 选项D：中的次数不是，不符合一次函数定义，故D选项错误． 故选：B． 【变式3-2】下列关于的函数中，一定是一次函数的是（     ） A．（、是常数） B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项：若，该函数不是一次函数，故不符合题意； 选项：，不是整式，不符合一次函数定义，故不符合题意； 选项：可化为，满足一次函数定义，故符合题意； 选项：，的最高次数为，不是一次函数，不符合定义，故不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：逐一判断各函数： ①中未说明，因此不一定是一次函数； ②，符合（，）的形式，是一次函数； ③的自变量在分母上，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④，符合（，）的形式，是一次函数； ⑤中自变量的最高次数为2，不是一次函数； 综上，一次函数共有2个． 故选：B． 【题型4 根据一次函数的定义求参数】 【例4】已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 故选：B． 【变式4-1】若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】已知函数． （1）当为何值时，函数是一次函数？ （2）如果函数是一次函数，计算当的函数值． 【分析】（1）根据一次函数的定义得到，且，求出即可； （2）求出一次函数解析式，再把代入求解函数值． 【详解】（1）解：根据题意，得，且， 解得， 当时，函数是一次函数； （2）将代入函数， 得， 当时，得， 当的函数值为． 【题型5 列一次函数关系式】 【例5】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 【变式5-1】一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键．剩余油量等于存油减去耗油量即可求出函数解析式，根据一次函数定义进行判断即可． 【详解】解：油箱剩余油量， 当时，， 解得：， ∴， 符合一次函数定义，因此y是x的一次函数． 【变式5-2】“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． （1）写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： （2）应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． 【分析】（1）设派x人去清扫大房间，则人清扫小房间，根据题意列出y（元）与x（人）之间的函数关系式即可； （2）把，代入求解即可． 【详解】（1）有x人清扫大房间，则有人清扫小房间 ∴ （2）解得：， 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间． 【变式5-3】北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 模块三 课后作业 1．下列函数中是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是正比例函数，故此选项符合题意； B、的自变量在分母上，不是正比例函数，故此选项不合题意； C、的自变量的次数是2，不是正比例函数，故此选项不合题意； D、不是正比例函数，故此选项不合题意； 故选：A． 2．有下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的定义为：形如（k，b为常数，）的函数叫做一次函数，当时，为正比例函数，是特殊的一次函数根据一次函数的定义形式，逐一判断各函数即可得到结果． 【详解】∵① 符合一次函数定义，是一次函数； ② ，符合一次函数定义，是一次函数； ③，是反比例函数，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 符合一次函数定义，是一次函数； ⑤中x的次数为2，是二次函数，不是一次函数； ∴一次函数共有3个． 故选：C． 3．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 4．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值． 【分析】根据一次函数的定义得到且，求出，求出函数解析式，再把代入函数解析式即可求解函数值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴， ∴函数解析式为， ∴当时，． 5．小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加，气温下降．小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为．试写出山上气温T（）与该处距山脚垂直高度h（）之间的函数关系式．当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为，求山高． 【分析】先求出每升高，气温下降，再根据山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温求出函数关系式，将代入函数关系式计算即可． 【详解】解：已知海拔每增加，气温下降， 因此每升高，气温下降． 山脚气温为，山上气温等于山脚气温减去高度h对应的总降温， 因此函数关系式为：， 将山顶温度代入函数关系式得：， 解得． 6．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． （1）根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． （3）你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【详解】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $