第1章 因式分解 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了因式分解的定义、提公因式法、公式法、分组分解法及十字相乘法，通过必背核心知识点和“一提二套三分组四十字查彻底”的解题顺序，构建完整知识网络，体现各方法间的逻辑联系。 其亮点在于汇总高频易错点与经典分层题型，如用长方形面积解释多项式因式分解培养几何直观，通过“先提公因式再套公式”的综合题训练运算能力，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第1章 因式分解 章末复习 2026年8月8日 第1章 因式分解 全章复习资料（八年级数学·湘教版） 本章整合湘教版八年级上册第1章全部课时核心内容，涵盖因式分解的定义、提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，汇总必背公式、解题步骤、高频易错点、经典题型、完整解析，格式、难度与第2、3、4、5章复习资料完全匹配，适用于单元总结、期中期末系统性复习与考前冲刺。 一、全章核心知识点必背（考试必考） 1.1 因式分解的基本概念 1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2. 核心区别（必考判断） 整式乘法：积 → 和差（展开） 因式分解：和差 → 积（变形） 3. 分解彻底原则（扣分关键点） 分解必须进行到每一个因式不能再分解为止（整式、次数最低、无公因式）。 1.2 第一种方法：提公因式法（万能首选） 1. 公因式找法 ① 系数：取各项系数的最大公约数； ② 字母：取各项相同字母，且取最低次幂； ③ 整体：多项式整体也可作为公因式。 2. 提公因式口诀 一看系数、二看字母、三看次数，全部公共部分提出来。 3. 符号规则 首项为负先提负号，括号内各项全部变号。 1.3 第二种方法：公式法（必考两大公式） 1. 平方差公式（二项式、异号、平方项） $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 特征：两项、一正一负、都是平方。 2. 完全平方公式（三项式、首尾平方、中间两倍积） $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 特征：三项、首尾平方同号、中间交叉两倍乘积。 1.4 进阶方法：分组分解法 适用场景：四项及以上多项式 常见分组思路 ① 二二分组：分组后可提公因式或用平方差； ② 一三分组：凑完全平方，再用平方差。 1.5 补充常用：十字相乘法（考试高频） 二次三项式基础型：$$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$$ 口诀：首尾分解、交叉相乘、和为中间项。 1.6 因式分解万能解题顺序（满分流程） 一提、二套、三分组、四十字、查彻底 1. 先提公因式（优先第一步）； 2. 再套公式（平方差、完全平方）； 3. 四项以上分组； 4. 二次三项试十字相乘； 5. 最后检查是否分解彻底。 二、全章高频易错点汇总（扣分陷阱） 1. 忘记先提公因式，直接套公式，步骤扣分； 2. 分解不彻底，留有公因式或还能继续套公式； 3. 完全平方公式易错：中间项是2倍乘积，容易漏乘2； 4. 平方差公式必须两项异号，同号两项不能分解； 5. 提公因式后，剩余项为1时漏写1，导致式子出错； 6. 混淆整式乘法与因式分解方向，题目要求分解却展开化简。 三、全章经典题型专项训练 （一）提公因式法基础题 1. $$3x^2-6x$$ 2. $$-2a^2b+4ab^2$$ （二）公式法分解题 1. 平方差：$$4x^2-25y^2$$ 2. 完全平方：$$x^2-8x+16$$ 3. 完全平方：$$9a^2+12ab+4b^2$$ （三）综合先提后套题型（考试必考） 1. $$2x^2-8$$ 2. $$a^3-4a^2+4a$$ （四）分组分解法 $$ax+ay+bx+by$$ （五）十字相乘法 1. $$x^2+5x+6$$ 2. $$x^2-x-12$$ 四、参考答案与详细解析 （一）提公因式法基础题 1. 解：原式$$=3x(x-2)$$ 2. 解：原式$$=-2ab(a-2b)$$（首项为负先提负号） （二）公式法分解题 1. 解：原式$$=(2x)^2-(5y)^2=\boldsymbol{(2x+5y)(2x-5y)}$$ 2. 解：原式$$=x^2-2\cdot4\cdot x+4^2=\boldsymbol{(x-4)^2}$$ 3. 解：原式$$=(3a)^2+2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2=\boldsymbol{(3a+2b)^2}$$ （三）综合先提后套题型 1. 解：原式$$=2(x^2-4)=\boldsymbol{2(x+2)(x-2)}$$（先提公因式，再平方差） 2. 解：原式$$=a(a^2-4a+4)=\boldsymbol{a(a-2)^2}$$（先提公因式，再完全平方） （四）分组分解法 解：原式$$=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=\boldsymbol{(a+b)(x+y)}$$ （五）十字相乘法 1. 解：原式$$=\boldsymbol{(x+2)(x+3)}$$（2、3相乘为6，相加为5） 2. 解：原式$$=\boldsymbol{(x-4)(x+3)}$$（-4、3相乘为-12，相加为-1） 五、全章解题核心总结 1. 因式分解永远先提公因式，是所有题型的第一步； 2. 二项优先看平方差，三项优先看完全平方或十字相乘； 3. 四项以上用分组，分解完毕必须检查是否彻底； 4. 本章是八上代数基础，是分式化简、方程求解、二次根式计算的前置核心，贯穿整个初中代数。 1. 把一个多项式表示成若干个多项式的　 形式， 称为把这个多项式_________，也称为__________； 2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______： 前者是把一个多项式化为几个多项式的______， 后者是把几个多项式的______化为一个________. 一、因式分解 因式分解 乘积 分解因式 多项式的乘法 相反 多项式 乘积 乘积 二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个 多项式各项的________，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 ； (2)字母：取多项式各项中　 　的字母； (3)各字母的指数：取次数最　 　的． 公因式 公因式 最大公因数 相同 最低 3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______提到括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法. 分配 公因式 因式 三、公式法 —— 平方差公式 1. 因式分解中的平方差公式 a2 - b2 ＝　 　 ； 2. 多项式的特征：(1) 可化为____个整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______. 3. 注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式； (2)分解到每一个多项式都不能再分解为止. ( a + b )( a - b ) 两 相反 平方 四、公式法 —— 完全平方公式 1.完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2， a2 - 2ab + b2 = ( )2. 2.多项式的特征：(1)三项式； (2)有两项符号_____，能写成两个 整式的_________的形式； (3)另一项是这两整式______的 _____倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出_______. a + b a - b 相同 平方和 乘积 2 公因式 整合1 一个概念——因式分解 1.下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 7 整合2 两种方法 方法1 提公因式法 2.把多项式提取公因式 后，余下的部 分是( ) D A. B. C.2 D. 返回 考试考法 8 方法2 公式法 3.［2025常德月考］下列因式分解正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 9 4.（1）把 因式分解的结果是_______________； （2）把 因式分解的结果是___________. 返回 考试考法 10 整合3 五种应用 应用1 应用因式分解简化计算 5.［教材复习题 变式］利用简便方法计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 返回 考试考法 11 应用2 应用因式分解化简求值 6.［2025怀化月考］先因式分解，再求值： （1），其中， ； 解：原式，当， 时， 原式 . （2），其中， . 解：原式 ， 当，时，原式 . 返回 考试考法 12 应用3 应用因式分解解决整除问题 7.对于任意整数，多项式 的值都能( ) A A.被20整除 B.被7整除 C.被21整除 D.被 整除 返回 考试考法 13 应用4 应用因式分解解决几何问题 8.如图，四边形 是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方 形的面积.通过分析图形中所标线段的长度，将多项式 因式分解，其结果正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 14 应用5 应用因式分解解决新定义问题 9.定义：任意两个数，，按规则 扩充得到一个新 数，称所得的新数为, 的“如意数”. （1）若，，求出，的“如意数” ； 解：因为，，所以, 的“如意数” . 考试考法 15 （2）如果，，试说明“如意数” 为非负数. 解：因为， ,所以 . 因为,所以,故“如意数” 为非负数. 返回 考试考法 16 整合4 四种思想 思想1 分类讨论思想 10.若能用完全平方公式进行因式分解，则常数 的 值是( ) D A.1或5 B.1 C. D.7或 返回 考试考法 17 思想2 方程思想 11.已知大正方形的周长比小正方形的周长多 ，大正方形的面积比 小正方形的面积多 .请求出这两个正方形的边长. 考试考法 18 解：设大正方形和小正方形的边长分别为， ， 根据题意，得 由①，得 ，③ 由②，得 ,④ 把③代入④，得 ,⑤ 由③⑤得方程组解得 答：大正方形的边长为，小正方形的边长为 . 返回 考试考法 思想3 整体思想 12.因式分解： . 解：原式 . 返回 考试考法 20 思想4 数形结合思想 13.如图①，将边长为 的大正方形 剪去一个边长为1的小正方形 （阴影部分），并将剩余部分沿虚 线剪开，得到两个长方形，再将这 两个长方形拼成图②所示的长方形. 这两个图能解释的等式是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 21 整合5 两个易错点 易错点1 找公因式不全面 14.多项式 的公因式是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 22 易错点2 分解过程不彻底 15.因式分解： . 解： . 返回 考试考法 23 谢谢观看 THANKS $