1.3 公式法 第1章 因式分解 导学案 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦公式法因式分解，涵盖平方差公式与完全平方公式，为八年级上册湘教版复习内容。采用翻转课堂模式，课前通过微课自学公式，课上重点探究展示与综合应用，前承整式乘法，后为分式、一元二次方程学习奠基，预习检测与疑惑交流搭建学习支架。 以结构特征探究为核心，设计“公式特征大比拼”卡片配对活动、小组合作展示及“换元小游戏”突破整体代换难点，强化“一提二套三查”解题顺序。分层达标测评结合易错点辨析，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，提升因式分解熟练度与数学思维。

1.3 公式法 第1章 因式分解 导学案 ——八年级上册初中数学湘教版2025-2026学年 【进度说明】本节为上学期重点内容的复习回顾。因式分解是整式乘法的逆运算，是后续学习分式、一元二次方程的重要基础。上届学生学到分式化简时，约有42%的同学因为因式分解不熟练导致计算出错。本节课采用翻转课堂模式，同学们课前已通过微课自学了基本公式，课上重点进行探究展示和综合应用。 【预习交流】 一、预习成果分享 请各小组派代表展示课前预习的成果，交流你在自学过程中发现的问题。 1. 知识回顾 什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？请用自己的话说说看。 2. 公式回忆 你能写出平方差公式和完全平方公式吗？试着写在下面，然后和同桌对一对，看看写得对不对。 3. 预习检测 判断下列多项式能否用公式法分解因式，能的打"√"，不能的打"×"，并说说理由。 （1）x² - 9 （2）x² + 4x + 4 （3）x² + 2x - 1 （4）4x² - 12xy + 9y² 二、预习疑惑交流 把你在预习中遇到的问题在小组内提出来，大家一起讨论解决。解决不了的问题，等会儿全班交流时提出来。 【温馨提示】这里容易踩坑。很多同学看到两项就想用平方差，看到三项就想用完全平方，这可不行。得仔细看看符不符合公式的结构特征才行。 【明确目标】 通过本节课的学习，我能： 1. 准确说出平方差公式和完全平方公式的结构特征，判断一个多项式能否用公式法分解因式，正确率达到90%以上。 2. 熟练运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解，独立完成3步以内的综合题，正确率不低于80%。 3. 掌握"先提公因式，再用公式"的解题顺序，能对含有公因式的多项式进行彻底分解。 4. 在小组合作中承担明确角色，共同完成探究任务并进行展示汇报，能对同伴的展示提出至少1个有价值的问题或建议。 5. 体会转化和整体代换的数学思想，能在解题过程中指出自己运用了哪些数学思想方法。 【分组合作】 一、探究任务一：平方差公式的结构特征探究 1. 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x² - 4 9y² - 25 16a² - 1 25m² - 4n² 2. 小组讨论：能用平方差公式分解的多项式应该满足什么条件？从项数、符号、形式三个方面来总结。 3. 试一试：把上面的多项式分解因式，每人做两道，然后互相检查。 【关键点】平方差公式的关键是"两项、异号、都是平方"。少了哪一条都不行。 二、探究任务二：完全平方公式的结构特征探究 1. 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x² + 6x + 9 a² - 4a + 4 4x² + 12xy + 9y² 2. 小组讨论：能用完全平方公式分解的多项式应该满足什么条件？从项数、平方项、中间项三个方面来总结。 3. 辨一辨：下列多项式是不是完全平方式？为什么？ （1）a² - 2a + 1 （2）x² + 4x + 4y² （3）4a² + 12ab + 9b² （4）x² - 6x - 9 三、探究任务三：综合运用——先提公因式再用公式 1. 观察多项式 2x² - 8，它能直接用平方差公式吗？为什么？ 2. 想一想：遇到这种情况，第一步应该先做什么？ 3. 试一试：把 3ax² - 6axy + 3ay² 分解因式，小组内分工合作，一人写步骤，一人讲解，一人检查。 【课堂探究活动】 活动名称：公式特征大比拼 分组人数：4人一组 活动步骤： 1. 每组准备10张卡片，5张写多项式，5张写对应的分解结果（3张能用公式，2张不能用）。 2. 两组交换卡片，在3分钟内把能用公式分解的多项式和对应的结果配对。 3. 配对又快又准的小组获胜。 时间限制：8分钟（准备3分钟，比拼3分钟，点评2分钟） 学生产出：每组完成1组配对卡片，并总结出1条判断公式特征的小口诀。 【重点】 学生学习公式法因式分解时最常出现的问题是公式特征识别不准确。上次单元测试中，有38%的学生把 x² + 4 当成完全平方式，还有27%的学生在分解 4x² - 9 时，直接写成(4x+3)(4x-3)，漏掉了系数也要开平方。为什么会出现这种错误？因为学生只记住了公式的"样子"，没有真正理解公式的结构。他们看到有平方就想用公式，却忽略了系数、符号这些关键细节。还有一个突出问题是分解不彻底，比如分解 x⁴ - 16，很多同学只做到(x²+4)(x²-4)就停了，忘记x²-4还能继续分解。上届教这部分内容时，我发现学生特别容易犯"一步到位"的毛病，拿到题就想直接套公式，不愿意先观察、先整理。 突破这个问题的方法就是强化结构意识。不要让学生死记公式，要让他们学会"拆"多项式——先看有几项，再看每一项是什么形式，最后对照公式特征一条一条去验证。课堂上要多做"辨一辨"的练习，给学生大量的正例和反例，让他们在对比中加深对公式特征的理解。 【难点】 整体代换思想的运用是本节课的难点。比如分解 (x+y)² - 4(x+y) + 4 这种题，学生很难把(x+y)看成一个整体。为什么难？因为学生习惯了用单个字母表示数，突然出现多项式作为整体，他们的思维转不过弯来。上次考试中，这种类型的题得分率只有52%，将近一半的学生不会做。 突破方法：5分钟"换元小游戏"。具体操作是这样的：先在黑板上写一道简单的完全平方分解题，比如 a² - 4a + 4，学生很快就能分解出(a-2)²。然后我把a擦掉，换成一个方框，问学生：如果方框代表某个代数式，这道题怎么分解？学生自然会说(方框-2)²。接下来我再把方框里填上(x+y)，问学生现在方框里是什么？学生说x+y。那这道题怎么分解？学生就能顺理成章地说出(x+y-2)²。这个过程看起来简单，但对学生建立整体意识特别有效。说白了，就是让他们明白，公式里的a和b可以是任何代数式，不一定非得是单个字母。 【展示提升】 一、小组展示内容 1. 第一组展示：平方差公式的结构特征总结，配上3道典型例题的讲解。 2. 第二组展示：完全平方公式的结构特征总结，重点讲中间项的符号怎么判断。 3. 第三组展示："先提公因式，再用公式"的解题步骤，用一道例题完整演示。 4. 第四组展示：整体代换思想的应用，讲解一道把多项式看成整体的题目。 二、展示点评要点 1. 展示的同学有没有讲清楚公式的结构特征？ 2. 解题步骤是不是完整？有没有跳步？ 3. 有没有提醒大家需要注意的地方？ 4. 讲解的声音够不够大？大家能不能听清楚？ 三、生生互动环节 1. 每个小组展示完后，其他小组可以提问，展示小组负责解答。 2. 提问要有质量，不能问"这道题答案是多少"这种简单问题，要问"为什么这里要这样做""还有没有别的方法"这种有思考价值的问题。 3. 每个同学至少提1个问题或者回答1个问题，老师会记录大家的课堂表现。 【注意】展示的时候别光顾着讲题，还要和台下的同学有眼神交流。可以多问问"大家听懂了吗""有没有不同意见"，这样展示效果会好很多。 【穿插巩固】 一、易错点辨析 1. 找错误：下面的分解过程对不对？如果不对，错在哪里？怎么改正？ （1）4x² - 9 = (4x+3)(4x-3) （2）-x² + 2xy - y² = (x-y)² （3）x⁴ - 1 = (x²+1)(x²-1) 2. 小组内互相出一道易错题，考考对方，然后互相讲解。 二、方法提炼 1. 因式分解的一般步骤是什么？试着用几个字概括一下。 2. 运用公式法分解因式时，需要注意哪些问题？把你想到的都写下来。 三、板书设计 本节课的知识结构可以这样整理： 公式法分为两大类——平方差公式和完全平方公式。平方差公式适用于两项式，特征是两项都是平方、符号相反，结果是两数和乘两数差。完全平方公式适用于三项式，特征是首尾两项是平方和、中间项是两数积的2倍，结果是两数和（或差）的平方。解题的一般顺序是先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底。 【达标测评】 必做题（每题10分，共60分） 1. 因式分解：x² - 25 = ____________ 2. 因式分解：9a² + 6a + 1 = ____________ 3. 因式分解：4x² - 12xy + 9y² = ____________ 4. 因式分解：2x² - 8 = ____________ 5. 因式分解：-a² + 2ab - b² = ____________ 6. 因式分解：(a+b)² - 1 = ____________ 选做题（每题20分，共40分） 7. 因式分解：x⁴ - 16 8. 因式分解：3x³ - 6x²y + 3xy² 【评价说明】本节课采用表现评价的方式。课堂展示、小组合作、提问回答都会计入平时成绩。达标测评正确率达到80分以上的同学，本节课表现评为"优秀"；60-79分评为"良好"；60分以下的同学课后要找老师补一补。 【参考答案】 一、预习检测答案 1. x² - 9：能，符合平方差公式特征（√） 2. x² + 4x + 4：能，符合完全平方公式特征（√） 3. x² + 2x - 1：不能，最后一项是负数，不是平方和（×） 4. 4x² - 12xy + 9y²：能，符合完全平方公式特征（√） 二、探究任务答案 探究任务一： 能用平方差公式分解的多项式满足：（1）是两项式；（2）两项符号相反；（3）每一项都能写成某个整式的平方。 分解结果： x² - 4 = (x+2)(x-2) 9y² - 25 = (3y+5)(3y-5) 16a² - 1 = (4a+1)(4a-1) 25m² - 4n² = (5m+2n)(5m-2n) 探究任务二： 能用完全平方公式分解的多项式满足：（1）是三项式；（2）有两项是平方形式，且符号相同；（3）第三项是这两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。 辨一辨答案： （1）是，a² - 2a + 1 = (a-1)² （2）不是，两个平方项的底数分别是x和2y，它们乘积的2倍应该是4xy，不是4x （3）是，4a² + 12ab + 9b² = (2a+3b)² （4）不是，最后一项是-9，不是平方和的形式 探究任务三： 2x² - 8不能直接用平方差公式，因为两项有公因式2，应该先提取公因式。 解题步骤：先提公因式，再看能不能用公式。 3ax² - 6axy + 3ay² = 3a(x² - 2xy + y²) = 3a(x-y)² 三、穿插巩固答案 找错误： （1）不对。4x²应该看成(2x)²，所以4x² - 9 = (2x+3)(2x-3)。错误原因：系数没有开平方。 （2）不对。提取负号后应该是-(x² - 2xy + y²) = -(x-y)²。错误原因：忽略了首项的负号，直接套公式。 （3）不对。x²-4还能继续分解，应该分解到不能再分为止。正确结果是(x²+1)(x+1)(x-1)。错误原因：分解不彻底。 方法提炼： 因式分解的一般步骤可以概括为"一提、二套、三查"。一提就是先看有没有公因式，有就先提出来；二套就是提完公因式后，看看剩下的多项式符合哪个公式的特征，就套哪个公式；三查就是分解完了检查一下，看看每个因式还能不能继续分解，确保分解彻底。 四、达标测评答案 必做题： 1. 【答案】(x+5)(x-5) 【解析】这是平方差公式的直接应用。x²是x的平方，25是5的平方，两项符号相反，符合平方差公式特征。套用公式a²-b²=(a+b)(a-b)，这里a=x，b=5，所以x²-25=(x+5)(x-5)。 2. 【答案】(3a+1)² 【解析】这是完全平方公式的应用。9a²是(3a)的平方，1是1的平方，6a正好是3a和1乘积的2倍，三项符合完全平方公式特征。套用公式a²+2ab+b²=(a+b)²，这里a=3a，b=1，所以9a²+6a+1=(3a+1)²。 3. 【答案】(2x-3y)² 【解析】这是完全平方公式的应用。4x²是(2x)的平方，9y²是(3y)的平方，12xy是2x和3y乘积的2倍，中间项符号为负，所以分解为差的平方。即4x²-12xy+9y²=(2x-3y)²。 4. 【答案】2(x+2)(x-2) 【解析】这道题要先提公因式。2x²和8都有公因式2，先提出来得到2(x²-4)。括号里的x²-4符合平方差公式，可以继续分解为(x+2)(x-2)。所以最终结果是2(x+2)(x-2)。注意，提公因式后一定要检查剩下的部分还能不能继续分解。 5. 【答案】-(a-b)² 【解析】这道题首项是负的，先把负号提出来，得到-(a²-2ab+b²)。括号里的a²-2ab+b²符合完全平方公式，分解为(a-b)²。所以最终结果是-(a-b)²。这里要注意，提取负号后括号里的每一项都要变号。 6. 【答案】(a+b+1)(a+b-1) 【解析】这道题要用整体代换的思想。把(a+b)看成一个整体，设为A，那么原式就变成A²-1，这是平方差的形式，分解为(A+1)(A-1)。再把A换回(a+b)，就得到(a+b+1)(a+b-1)。说白了，公式里的字母可以代表任何代数式，不一定非得是单个字母。 选做题： 7. 【答案】(x²+4)(x+2)(x-2) 【解析】x⁴-16可以看成(x²)² - 4²，先用平方差公式分解得到(x²+4)(x²-4)。这时候注意，x²-4还能继续用平方差公式分解，分解为(x+2)(x-2)。而x²+4不能再分解了。所以最终结果是(x²+4)(x+2)(x-2)。这道题的关键是分解要彻底，不能分解一步就停了。 8. 【答案】3x(x-y)² 【解析】这道题先提公因式。三项都有公因式3x，提出来得到3x(x²-2xy+y²)。括号里的x²-2xy+y²符合完全平方公式，分解为(x-y)²。所以最终结果是3x(x-y)²。记住，因式分解的一般顺序是先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底。 学科网（北京）股份有限公司 $