5.3 直角三角形全等的判定（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等判定，核心为HL定理，通过旧知回顾普通三角形全等方法（SSS、SAS等），结合问题思考（如SSA在直角三角形中适用性），搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过作图探究（画直角三角形重合实验）培养几何直观，规范几何语言证明（如例题中HL定理的严谨表述）发展推理能力，分层练习题（选择、填空、综合证明）强化应用意识。助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第5章 直角三角形 5.3 直角三角形全等的判定 2026年8月8日 5.3 直角三角形全等的判定 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册5.3课时内容，重点考查直角三角形专属HL全等判定定理，同时结合普通三角形四种全等方法综合辨析，区分通用判定与直角三角形特殊判定，覆盖概念辨析、正误判断、基础证明、综合大题，直击考试高频考点与易错陷阱。 一、核心知识梳理（必背考点） 1. 普通三角形全等判定（通用，直角三角形也可用） SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）。 注意：AAA、SSA不能判定三角形全等。 2. 直角三角形专属判定定理（HL 斜边直角边）【本节核心】 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，$$\begin{cases}AB=DE(\text{斜边相等})\\AC=DF(\text{直角边相等})\end{cases}$$，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 3. HL定理使用前提（必考易错点） ① 必须是两个直角三角形；② 必须一组斜边对应相等+一组任意直角边对应相等；③ 普通三角形没有HL定理。 4. 直角三角形全等判定优先级 优先观察：斜边、直角边是否相等 → 能用HL直接判定，步骤更简洁；无斜边条件再用SAS、ASA、AAS、SSS。 5. 超级易错辨析 SSA在普通三角形中不能判定全等，但在直角三角形中（HL）可以判定全等。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 判定两个直角三角形全等的专属定理是（） A. SSS B. SAS C. HL D. AAS 2. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一条直角边和一个锐角对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一个锐角对应相等 3. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若斜边AB=DE，直角边BC=EF，则判定全等的依据是（） A. HL B. SAS C. ASA D. SSS 4. 下列说法正确的是（） A. 所有直角三角形都全等 B. 斜边相等的两个直角三角形全等 C. 一条直角边相等的两个直角三角形全等 D. 斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等 5. 两个直角三角形的两条直角边对应相等，判定全等的依据是（） A. HL B. SAS C. AAS D. ASA 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 直角三角形全等的特殊判定定理是________。 7. HL定理的适用条件：必须是________三角形，一组斜边、一组________对应相等。 8. 两个直角三角形仅锐角对应相等，只能证明三角形________，不能证明全等。 9. Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，AB为公共斜边，若AC=AD，则可利用________判定全等。 10. 直角三角形全等判定中，SSA（斜边+直角边）________（填“可以”或“不可以”）判定全等。 四、解答题（共60分） 11. 基础判定证明（每题15分，共30分） （1）已知：∠C=∠D=90°，AC=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。 （2）已知：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AB=DE，BC=EF，求证：两三角形全等。 12. 规范HL定理证明（15分） 已知：AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：BC=AD。 13. 综合几何证明（15分） 已知：CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BD=CE。求证：Rt△BDO≌Rt△CEO。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. C 解析：HL是直角三角形独有的全等判定定理。 2. C 解析：两角对应相等只能证明相似，无边相等条件，无法判定全等。 3. A 解析：直角三角形中，斜边+一条直角边对应相等，适用HL定理。 4. D 解析：HL定理完整表述，其余选项均缺少条件，无法判定全等。 5. B 解析：两直角边夹角为直角，两边及其夹角对应相等，依据SAS判定。 二、填空题 6. HL（斜边直角边定理） 7. 直角；直角边 8. 相似 9. HL 10. 可以 三、解答题 11.（1）证明： ∵∠C=∠D=90°，∴△ABC、△ABD均为直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△ABD中，$$\begin{cases}AB=AB(\text{公共斜边})\\AC=AD(\text{已知})\end{cases}$$ ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。 （2）证明： ∵∠B=∠E=90°，AB=DE，BC=EF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS）。 12. 证明： ∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，△ABC、△BAD为直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△BAD中，$$\begin{cases}AB=BA(\text{公共斜边})\\AC=BD(\text{已知})\end{cases}$$ ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC=AD（全等三角形对应边相等）。 13. 证明： ∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°。 在Rt△BDO和Rt△CEO中，$$\begin{cases}∠BDO=∠CEO\\∠BOD=∠COE(\text{对顶角相等})\\BD=CE(\text{已知})\end{cases}$$ ∴Rt△BDO≌Rt△CEO（AAS）。 核心知识点总结：本节重中之重为HL全等定理，仅限直角三角形使用！普通三角形SSA不全等，但直角三角形“斜边+一直角边”（类SSA）可全等。解题优先判断直角三角形，能用HL则简化步骤，同时熟练结合AAS、SAS综合判定，是几何证明题高频考点。 SSS SAS ASA AAS 旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____，_____，斜边是______. C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ A B C A′ B′ C′ 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 口答： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠C = ∠C' = 90°， 且 AB = A'B'，AC = A'C'，现在能 判定 △ABC≌△A'B'C' 吗？ B C A A' B' C' 动脑想一想 我们知道，证明三角形全等不存 在 SSA 定理. 知识点1 斜边、直角边定理 1.如图， ， ， ，则 的依据是( ) D A.边角边 B.角边角 C.角角边 D.斜边、直角边 返回 举一反三 6 （第2题） 2.如图，在与 中， ，添加一个条件，不能使 的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°.再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？ A B C 直角三角形全等的判定 作图探究 画图思路 (1) 先画 ∠MC′N＝90°； A B C M C′ N (2) 在射线 C′M 上截取 B′C′＝BC； M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 (3) 以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′； M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 (4) 连接 A′B′. M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 画图思路 B C A A' B' C' 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中∵AB = A'B'，AC = A'C'， 根据勾股定理， BC2 = AB2－AC2， B'C'2 = A'B'2－A'C'2， ∴BC = B'C'. ∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'. 证明猜想： 3.如图，，，垂足分别为点， ，要根据“斜边、直 角边”证明 ，应添加的条件是__________. （第3题） 返回 举一反三 14 （第4题） 4.如图，在四边形中， ， ， ，则 ______. 返回 举一反三 15 （第5题） 5.［2025株洲期中］如图，， ， 点，在直线上，点，在直线上，点 在上，，， ， 则 ___. 7 返回 举一反三 16 “斜边、直角边”定理 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (斜边、直角边). AB=A′B′， BC=B′C′， “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 要点归纳 例1 如图，BD，CE，是△ABC 的高，且BE＝CD. 求证：Rt△BEC＝Rt△CDB. 证明：因为 BD，CE 是△ABC 的高， 所以∠BEC＝∠CDB＝90°. BC = CB， BE = CD， 在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中， 所以Rt△ABC≌Rt△BAD (斜边、直角边). 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. A B C E D 例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么关系？ 解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， BC = EF， AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B = ∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF +∠F = 90°， ∴∠B +∠F = 90°. 6.［2025张家界期中］如图，在四边形 中，,, ，垂足分别为 ，， .求证： （1） ； 证明：因为，，所以 . 在和中， 所以（斜边、直角边）.所以 . 举一反三 20 （2） . [答案] 由（1）知 ， 所以，所以 . 返回 举一反三 21 7.如图，为了固定电线杆，将两根长均为 的 钢丝的一端同系在电线杆上的点 处，另一端分别固 定在地面上的两个锚上，那么两个锚 离电线杆 底部（ ）的距离相等吗？为什么？ 解：相等.理由如下： 因为，所以 . 在和中， 所以 （斜边、直角边）. 所以，所以两个锚离电线杆底部 的距离相等. 返回 举一反三 22 知识点2 作直角三角形 8.下列条件中，不能作出唯一的直角三角形的是( ) D A.已知斜边和一锐角 B.已知一直角边和一锐角 C.已知斜边和一直角边 D.已知两个锐角 返回 举一反三 23 9.如图，已知线段，.求作：，使 ， ， .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图. 返回 举一反三 24 10. 课堂上，老师发给每人一张印有 （如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个 ，使得 .小刘和小赵同学先画出了 ，后续 画图的主要过程如图所示. 举一反三 25 他们的作法都正确，请你选择一位同学的作法，并说出其作图依据.我 选________________的作法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定 的依据是__________________________. 小赵（或小刘） 斜边、直角边（或边角边） 返回 举一反三 （第11题） 11.［2025郴州期中］如图，在 中，点 ，，分别在，， 上， ，， . 若 ，则 _____. 返回 举一反三 27 “斜边、 直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 课堂小结 谢谢观看 THANKS $