5.3直角三角形全等的判定 同步提升练习2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 该同步练习围绕“直角三角形全等的判定”，通过“刷基础-刷提升-刷素养”三层设计，实现从定理理解到综合应用再到素养提升的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|斜边、直角边定理的直接应用|以选择、填空、简单证明为主，巩固定理理解（如判定全等依据选择）| |刷提升|定理与几何变换、动态问题的综合应用|结合长方形折叠、动点情境，培养几何直观（如折叠后线段计算）| |刷素养|定理在旋转、多步推理中的高阶应用|通过复杂证明（如三角板旋转问题）发展推理能力和创新意识|

5.3直角三角形全等的判定 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 斜边、直角边定理 1如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF 全等的依据是 ( ) A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.斜边、直角边 2如图,在 Rt△ABC 与 Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,为了使 Rt△ABC≌Rt△DCB,需添加的条件是 (不添加字母和辅助线). 3如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC 于D,EC⊥BC 于C,且AB=BE,CD=CE.求证:Rt△ABD≌Rt△BEC. 知识点2 斜边、直角边定理的应用 4 如 图, 在 Rt △ABC 中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB= 60°,则∠ACD等于 ( ) A.45° B.30° C.20° D.15° 5如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,点 E 在边AB 上,点 D 在边 BC 上,DE=CD,DF⊥AC于点 F,BE=CF,连接AD.若AB=12,BD=4,△ABC的面积是54,则线段AC的长为 ( ) A.13 B.15 C.16 D.18 6如图,已知在 Rt△ABC 和Rt△BDE 中,∠ABC=∠BDE=90°,BC=DE,AC=BE.如果∠BAC=20°,那么∠BDA 的大小为 °. 7如图,在△ABC 和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC 与 BD相交于点 O. (1)求证:△ABC≌△DCB; (2)△OBC 是何种三角形?证明你的结论. 刷提升 1如图，长方形纸片ABCD中,AB=7,BC=9,M 是 BC上的点,且CM=2.将长方形纸片ABCD沿过点 M 的直线折叠，使点 D 落在AB 边上的点 P 处，点C落在点Q处，折痕为MN，则线段AP 的长是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 2如图,在△ABC中,PB=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC 于S,则三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③AB+AQ=2AR中 ( ) A.全部正确 B.仅①和③正确 C.仅①正确 D.仅①和②正确 3在数学拓展课上，有两个全等的含45°角的直角三角板ADE，ABC重叠在一起.李老师将三角板ADE 绕点 A 顺时针旋转(保持∠BAE<90°),作 DE 的延长线与 CB的延长线交于点 F，如图所示，随着∠BAE 的增大,CF-EF的值 ( ) A.一直变小 B.保持不变 C.先变小，后变大 D.一直变大 4如图，已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=12,D 是AC上的一点,CD=3,点 P 从B 点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t秒.过点 D 作 DE⊥AP 于点E.在点 P 的运动过程中，当t为 时，能使DE=CD. 5如图(1)，E，F分别为线段AC上的两个动点,且 DE⊥AC于E,BF⊥AC 于 F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC 于点 M. (1)求证:MB=MD,ME=MF. (2)当E，F两点移动到如图(2)的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 刷素养 6 如图,在△ABC 和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE的延长线交BD 于点 F. (1)求证:△ACE≌△ABD. (2)过点 A 作 AH⊥BD 于点 H,求证:EF+DH=HF. 5.3直角三角形全等的判定 刷基础 1. D【解析】因为滑梯、墙、地面正好构成直角三角形,在 Rt△ABC和Rt△DEF 中, 所以Rt△ABC≌Rt△DEF(斜边、直角边),故选D. 2. AB=DC(答案不唯一)【解析】解法一:因为∠A=∠D=90°,BC=BC,所以再添加AB=DC,所以 Rt△ABC≌Rt△DCB (斜边、直角边).解法二:因为∠A=∠D=90°,BC=BC,所以再添加AC=BD,所以 Rt△ABC≌Rt△DCB(斜边、直角边).解法三:因为∠A=∠D=90°,BC=BC,所以再添加∠ABC =∠DCB,所以Rt△ABC≌Rt△DCB(角角边).解法四:因为∠A=∠D=90°,BC=BC,所以再添加∠ACB=∠DBC,所以Rt△ABC≌Rt△DCB(角角边). 3.【证明】因为AD 平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.因为AD⊥BC, 所以∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD和△ACD中, 所以△ABD≌△ACD(角边角),所以AB=AC. 因为AD⊥BC,所以CD=BD. 因为CD=CE,所以BD=EC. 在 Rt△ABD 和Rt△BEC中, 所以 Rt△ABD≌Rt△BEC(斜边、直角边). 4. B 【解析】因为DE⊥BC,所以∠DAC=∠DEC=90°.在Rt△ACD 和Rt△ECD 中, 所以Rt△ACD≌Rt△ECD (斜边、直角边),所以∠ACD = ∠ECD. 又因为 ∠ACB = 60°,所以∠ACD=30°. 5. B 【解析】因为 DF⊥AC,∠B=90°,所以∠CFD=∠B=90°.因为BE=CF,DE=CD,所以Rt△BDE≌Rt△FDC(斜边、直角边),所以DF=BD=4.因为 所以 54,解得AC=15,故选 B. 6.55 【解析】因为∠ABC=∠BDE=90°,所以∠ABD=90°-∠DBE.在 Rt△ABC 和Rt△BDE中， 所以 Rt△ABC≌Rt△BDE (斜边、直角边),所以∠BAC=∠DBE=20°,AB=BD,所以∠ABD = 90°-20°= 70°,∠BDA =∠BAD.因为∠BDA+∠BAD=2∠BDA=180°-∠ABD=180°-70°=110°,所以∠BDA=55°,故答案为55. 7. (1)【证明】在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中, 所以 Rt△ABC≌Rt△DCB(斜边、直角边). (2)【解】△OBC 是等腰三角形.证明如下:因为Rt△ABC≌Rt△DCB,所以∠OCB=∠OBC,所以OB=OC,所以△OBC 是等腰三角形. 刷提升 1. B 【解析】如图,连接PM.因为长方形纸片ABCD 中,AB=7,BC=9,所以 CD= 7. 因为CM=2,所以BM=7.由折叠的性质可知CD=PQ=7,∠Q=90°=∠B,QM=CM=2,所以BM=PQ=7.又因为 PM=PM,所以Rt△PBM≌Rt△MQP(斜边、直角边),所以PB=QM=CM=2,所以 PA=AB-PB=5,故选 B. 2. B 【解析】在 Rt△APR 和 Rt△APS 中, 所以 Rt△APR≌Rt△APS(斜边、直角边),所以AR=AS,①正确.因为在 Rt△BRP与 Rt△QSP 中, 所以 Rt△BRP≌Rt△QSP(斜边、直角边),所以 BR=QS,所以AB+AQ = 2AR,故③正确. 因为无法得出∠APQ=∠BAP,所以得不出QP∥AR,故②错误.故选 B. 3. B 【解析】如图,连接AF.由题意得∠ABF=1∠ADF=90°,AB=AD,DE=BC. 在 Rt△ABF 和Rt△ADF中, 所以Rt△ABF≌Rt△ADF(斜边、直角边),所以BF=DF,所以CF-EF=BC+BF-EF=BC+DE+EF-EF = BC+DE =2BC,所以随着∠BAE的增大,CF-EF 的值保持不变.故选 B. 4.3 或9 【解析】①当点P 在点C 左侧时,连接DP,如图(1).因为∠DCP=∠DEP=90°,DC=DE,DP=DP,所以 Rt△DCP≌Rt△DEP(斜边、直角边),所以PC=PE=12-2t.在 Rt△ADE中,AD=AC-CD=5,DE=DC=3, 所以AE= 在 中，PC=12-2t,AP=PE+AE=12-2t+4=16-2t,所以 解得t=3. ②当点 P 在点 C 右侧时,连接PD,如图(2).同理，可得AE=4,PE=PC=2t-12.在 '中,PC=2t-12,AP=AE+PE=4+2t-12=2t-8,所以 解得t=9.综上，当t=3或9时，DE=CD.故答案为3或9. 5.(1)【证明】因为DE⊥AC于E,BF⊥AC 于 F,所以∠DEC=∠BFA=90°. 在 Rt△DEC 和Rt△BFA 中,因为 所以 Rt△DEC≌Rt△BFA(斜边、直角边),所以DE=BF. 在△DEM和△BFM中,因为 所以△DEM≌△BFM(角角边),所以MB=MD,ME=MF. (2)【解】成立. 证明:因为DE⊥AC于 E,BF⊥AC 于 F,所以∠DEC=∠BFA=90°. 在 Rt△DEC 和Rt△BFA中,因为 所以 Rt△DEC≌Rt△BFA(斜边、直角边),所以DE=BF. 在△DEM 和△BFM中,因为 所以△DEM≌△BFM(角角边), 所以MB=MD,ME=MF. 刷素养 6.【证明】(1)因为∠BAC=∠DAE,所以∠CAE=∠BAD. 在△ACE 和△ABD中, 所以 (边角边). (2)如图,连接AF,过点A作. 于点 J. 因为 所以 因为 所以 所以AJ=AH. 在 和 中， 所以 Rt△AFJ≌Rt△AFH(斜边、直角边),所以FJ=FH. 在 Rt△AJE 和 Rt△AHD 中, 所以 Rt△AJE≌Rt△AHD(斜边、直角边),所以EJ=DH, 所以EF+DH=EF+EJ=FJ=FH. $