5.1.1直角三角形的性质和判定（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线定理等）与判定，通过三角板实例和内角和定理推导导入，搭建从已知到新知的学习支架，引导学生逐步理解核心知识。 其亮点在于采用“问题猜想—几何证明—应用拓展”流程，结合分层题型与生活实例，培养学生推理意识和应用意识。易错提醒与总结助力知识体系构建，学生能深化理解，教师可高效用于课后巩固与复习。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第5章 直角三角形 5.1.1直角三角形的性质和判定 2026年8月8日 5.1.1 直角三角形的性质和判定 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册5.1.1《直角三角形的性质和判定》，围绕直角三角形两大核心性质、两大判定方法、30°角特殊结论、互余角关系展开，覆盖概念辨析、角度计算、填空选择、证明解答，题型由浅入深，直击考试高频考点与易错点，适合课后巩固、单元基础复习。 一、核心知识梳理（必背考点） 1. 直角三角形定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。 2. 直角三角形的性质 （1）两锐角互余：直角三角形的两个锐角之和等于90°。 （2）斜边中线定理（必考）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）30°角特殊性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3. 直角三角形的判定 （1）定义法：有一个角是90°的三角形是直角三角形。 （2）两角互余判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 （3）中线判定（逆定理）：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为斜边。 4. 易错提醒 ① 30°角性质：必须是直角三角形才成立； ② 斜边中线定理：只针对斜边，直角边中线无此性质； ③ 两角互余即可判定直角三角形，无需算出90°。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形的两个锐角一定（） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 都是60° 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B的度数为（） A. 55° B. 45° C. 65° D. 35° 3. 已知直角三角形斜边长为10，则斜边上的中线长为（） A. 20 B. 10 C. 5 D. 2.5 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8，则BC的长为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 下列条件能判定三角形为直角三角形的是（） A. 两个锐角互补 B. 两个锐角互余 C. 三个角相等 D. 一个锐角为30° 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 直角三角形两锐角________。 7. 直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 8. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则________所对的直角边等于斜边的一半。 9. 若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形是________三角形。 10. 直角三角形的最大角为________°。 四、解答题（共60分） 11. 基础计算题（每题10分，共30分） （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，求∠A的度数。 （2）已知Rt△ABC斜边AB=12 cm，求斜边上的中线长度。 （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，求直角边BC的长。 12. 判定证明题（15分） 在△ABC中，∠A=42°，∠B=48°，求证：△ABC是直角三角形。 13. 综合应用题（15分） 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=7，求AB的长。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：直角三角形性质：两锐角互余（和为90°）。 2. A 解析：∠B=90°−35°=55°。 3. C 解析：斜边中线=$$\frac{1}{2}$$斜边=$$\frac{1}{2}$$×10=5。 4. B 解析：30°角对的直角边=$$\frac{1}{2}$$AB=4。 5. B 解析：两角互余和为90°，第三个角为90°，可判定直角三角形。 二、填空题 6. 互余 7. 斜边 8. ∠A 9. 直角 10. 90 三、解答题 11.（1）解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∠A=90°−60°=30°。 （2）解：斜边中线=$$\frac{1}{2}$$AB=$$\frac{1}{2}$$×12=6 cm。 （3）解：∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=$$\frac{1}{2}$$AB=$$\frac{1}{2}$$×16=8。 12. 证明：∵∠A=42°，∠B=48°，∴∠A+∠B=90°。∴△ABC为直角三角形（两角互余的三角形是直角三角形）。 13. 解：∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CD=$$\frac{1}{2}$$AB。∴AB=2CD=2×7=14。 核心知识点总结：本节三大核心：①两锐角互余；②斜边中线等于斜边一半；③直角三角形中30°对直角边为斜边一半。判定优先用两角互余和中线逆定理，是后续解直角三角形、几何综合题的基础。 问题1：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 30° + 60° = 90° 45° + 45° = 90° 直角三角形的两个锐角互余 1 问题2：如图，在直角 △ABC 中， ∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？ 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 在直角△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°. A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在 Rt△ABC 中， 因为∠C = 90°， 所以∠A +∠B = 90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC ． 知识要点 知识点1 直角三角形的两个锐角互余 1.［2025岳阳月考］在中，若一个锐角等于 ，则另一个锐 角的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 5 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴AB∥CD， ∴∠A = ∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A+∠AOB = 90°，∠D+∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠D. 例1（1）如图①，∠B =∠C = 90°，AD 交BC 于点 O，∠A 与∠D 有什么关系？ 图① O 典例精析 解：∠A = ∠C. 理由如下： ∵∠B = ∠D = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠C. （2）如图②，∠B = ∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠C 有什么关系？请说明理由. 图② 与图①有哪些共同点与不同点？ O 2.若中， ，且 ，则 的度数为_____. 3.已知，若 ，，则____ . 60 返回 举一反三 8 4.如图，已知直线，点在直线 上， 点，在直线上，于点 ， ，则 的度数是_____. 返回 举一反三 9 思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？ 基本图形 ∠A =∠C ∠A =∠D O O 要点归纳 5.如图，已知，，垂足分别为点 ， .求证： . 证明：因为， ，所以 ，所以 ， ，所以 . 返回 举一反三 11 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么 △ABC 是直角三角形吗？ 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 在 △ABC 中，因为 ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∠A +∠B = 90°，所以∠C = 90°. 于是 △ABC 是直角三角形. 直角三角形的判定 2 A B C 应用格式： 在 △ABC 中， ∵ ∠A +∠B = 90°， ∴ △ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 要点归纳 例2 如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°. ∵∠1 = ∠2， ∴∠1 + ∠A = 90°. 即 △ADE 是直角三角形. 典例精析 例3 如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A = ∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD 是直角三角形. 理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED = 90°． ∴∠C +∠D = 90°． ∵∠A = ∠C， ∴∠A +∠D = 90°． ∴△ABD 是直角三角形. 知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形 6.在中， ， ，那么这个三角形是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 返回 举一反三 16 7.如图，在中，是边上的高，是 上一 点，交于点，且 ，求证： 是直角三角形. 证明：因为是边上的高，所以 ， 所以 . 又因为， ， 所以 ，所以 ， 所以 是直角三角形. 返回 举一反三 17 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3 如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC .以点 D 为圆心， DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？ 猜想：该弧经过点 C ，且 DC = DB = AB 证明： 过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F， 在 △ADE 与 △DBF 中， ∠AED =∠DFB， ∠ADE =∠B， AD = DB， 所以∠ADE≌△DBF(角角边)， E F 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线. 于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°， ∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°. 从而 DE = BF. ① 在 △DFC 与△CED 中， ∠DFC = ∠CED， ∠FDC = ∠ECD， DC = CD， 所以△DFC≌∠CED(角角边)， 从而 CF＝DE . ② 由 ① 式和 ② 式得，CF = BF. 因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此 DC = DB = AB E F 由此可得直角三角形的性质定理： 要点归纳 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 应用格式： 在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 上的中点， 所以有 CD = AD = BD = AB. 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 8.如图，小飞用刻度尺测量三角形纸片的尺寸，点， 对应的刻度分别 为2和8，为的中点，若 ，则___ . 3 （第8题） 返回 举一反三 22 9.如图，中， ，为 边的中点. （第9题） （1）若 ，则 _____； （2）若 ，，则 ___. 2 返回 举一反三 23 10.如图，在中，，平分， 是 的中点，若，求 的长. 解：因为，平分，所以 ， 所以 .因为是 的中点， 所以 . 返回 举一反三 24 例4 如图，已知 CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，且 . 求证：△ABC 是直角三角形. 证明： 所以 ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B. 因为∠A +∠B +∠ACB = 180°， 因为∠A +∠B = 90°. 所以△ABC 是直角三角形. 因为 CD = AB = AD = BD， 从而 2(∠A +∠B) = 180°. 所以∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°， ∠ACB = ∠1 + ∠2， 解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中 点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4． 例5 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长； ∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF ＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18． (2)求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF， ∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上． ∴EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 11.［2025邵阳期中］如图，一架长的梯子 斜靠在一 竖直的墙上，为 中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时， 的长度将( ) C A.变大 B.变小 C.不变 D.无法判断 返回 举一反三 28 （第12题） 12.如图，在中， ， 的垂直平分 线交于点，连接， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 29 13.如图，把沿折叠，点，分别落在点， 处.若 ， ，则 的度数为_____. （第13题） 返回 举一反三 30 14.在中，为边上的高， ， ，则 ___________. 或 返回 举一反三 31 15.如图，已知是线段 的延长线上一点， ，，求证： 是直角三 角形. 证明：因为 ， ， 所以 ，所以 . 因为，所以 ， 所以 ，所以 是直角三角形. 返回 举一反三 32 16.如图，在中， ， ， 为斜边上的中线，将绕点 顺时针旋转 ，得到，点的对应点是点 ， 点的对应点是点，连接，.试判断与 的 长度是否相等，并说明理由. 举一反三 33 解： ，理由如下： 因为 ，为斜边上的中线， ， 所以， . 因为旋转得到 ， 所以易得， . 在和中， 所以.所以 . 返回 举一反三 34 17. 定义：若一个三角形的两个内角 与 满足 ，则称这样的三角形为“准互余三角形”. （1）若是“准互余三角形”， ， ，则 ____ ； 17 举一反三 35 （2）若是直角三角形， . ①如图，平分，则 ____“准互余三角形”（填“是”或“不 是”）； 是 举一反三 36 ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若 ，求 的度数. 解：因为点是边上一点， 是“准互余三角形”， 所以 或 ， 因为 ，所以 或 ，所以 或 . 当 ， 时， ； 当 ， 时， . 所以的度数为 或 . 返回 举一反三 37 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $