5.4.2角平分线的性质定理的逆定理（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线性质定理的逆定理，通过探究性质定理的逆命题引入，结合已知条件推导证明过程，构建从性质到逆定理的逻辑脉络，帮助学生理解定理的形成与应用。 其亮点在于系统梳理核心考点（如正反定理区分、易错点），规范几何语言表达，通过推理证明（如用HL证全等推导逆定理）和典例应用（如三角形角平分线交点问题），培养数学思维与几何直观。学生能掌握定理应用条件，教师可借助分层习题和详细解析提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第5章 直角三角形 5.4.2角平分线的性质定理的逆定理 2026年8月8日 5.4.2 角平分线的性质定理的逆定理 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册5.4.2课时内容，聚焦角平分线逆定理核心考点，重点掌握“距离相等→点在角平分线上”的逻辑推导，区分性质定理与逆定理的正反关系，涵盖概念辨析、角度判定、几何证明、综合应用题，全面覆盖本节重难点与考试高频题型。 一、核心知识梳理（必背考点） 1. 角平分线逆定理（本节核心） 内容：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 关键前提：点必须在角的内部，且距离为垂线段长度。 2. 标准几何语言（考试满分写法） ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴OP平分∠AOB（在角内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 3. 正反定理终极区分（必考） 性质定理（正）：点在角平分线上 → 到角两边距离相等（知平分，得等距） 逆定理（反）：角内点到两边等距 → 点在角平分线上（知等距，证平分） 4. 逆定理使用必备3个条件（缺一不可） ① 点在角的内部；② 点向角两边作垂线段；③ 两条垂线段长度相等。 5. 核心用途 无需测量角度、无需证全等，直接证明射线是角平分线、证明角度相等。 6. 高频易错点 ① 无垂直、是斜线段，不能用逆定理； ② 点在角外部，距离相等也不在角平分线上； ③ 距离相等≠角相等，必须通过逆定理推导平分，再得角相等。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线逆定理的作用是（） A. 证明线段垂直 B. 证明点在角平分线上 C. 证明线段平行 D. 证明线段相等 2. 点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，若PD=PE，则（） A. OP=OA B. OP平分∠AOB C. OP⊥AB D. ∠AOB=90° 3. 下列条件能判定射线平分角的是（） A. 点在角内，到两边斜线段相等 B. 点在角内，到两边垂线段相等 C. 任意点到角两边距离相等 D. 射线过角顶点即可 4. 已知点P在∠BAC内部，PB⊥AB，PC⊥AC，PB=PC，则下列正确的是（） A. AB=AC B. ∠BAP=∠CAP C. PB∥PC D. AP=AB 5. 关于角平分线正反定理，说法正确的是（） A. 知等距必平分，无需垂直 B. 知平分必得等距（垂线段） C. 斜线段相等也可证平分 D. 点在角外也可用逆定理 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的________上。 7. 逆定理中，点到角两边的距离必须是________线段的长度。 8. 性质定理：平分→等距；逆定理：________→________。 9. 点P在∠AOB内，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则________平分________。 10. 点在角外部，距离相等，________（填“能”或“不能”）用逆定理证角平分线。 四、解答题（共60分） 11. 基础推理题（每题10分，共30分） （1）点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=8，PE=8，求证：OP平分∠AOB。 （2）在△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，求证：AD平分∠BAC。 （3）已知点P在∠MON内部，P到OM、ON的垂直距离相等，判断OP是否为角平分线。 12. 基础证明题（15分） 已知：CD⊥AB，CE⊥AC，垂足分别为D、C，且CD=CE。求证：AC平分∠BAD。 13. 综合应用题（15分） 已知：在△ABC中，∠B=∠C，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：AD平分∠BAC。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：逆定理核心功能：由等距条件判定点在角平分线上、判定角平分线。 2. B 解析：角内点到两边垂线段相等，依据逆定理，OP平分∠AOB。 3. B 解析：逆定理三要素：角内、垂直、距离相等，缺一不可。 4. B 解析：PB=PC可证AP平分∠BAC，故∠BAP=∠CAP。 5. B 解析：性质定理：角平分线上的点，垂线段距离一定相等，其余选项均违背定理条件。 二、填空题 6. 平分线 7. 垂直 8. 等距；平分 9. OP；∠AOB 10. 不能 三、解答题 11.（1）证明：∵点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE=8，根据角平分线逆定理，∴OP平分∠AOB。 （2）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，D在∠BAC内部，由逆定理可得，AD平分∠BAC。 （3）解：OP是∠MON的角平分线。理由：点P在角内部，到角两边垂直距离相等，符合逆定理条件，故OP平分∠MON。 12. 证明： ∵CD⊥AB，CE⊥AC，∴∠CDA=∠ECA=90°， 又∵CD=CE，点C在∠BAD内部， 根据角平分线逆定理，可得AC平分∠BAD。 13. 证明： ∵DB⊥AB，DC⊥AC，∴∠ABD=∠ACD=90°， 在△ABD和△ACD中，$$\begin{cases}∠B=∠C\\∠ABD=∠ACD\\AD=AD\end{cases}$$ ∴△ABD≌△ACD（AAS），∴DB=DC。 又∵DB⊥AB，DC⊥AC，点D在∠BAC内部， 由角平分线逆定理得：AD平分∠BAC。 核心知识点总结：本节核心掌握角平分线逆定理，牢记正反逻辑：平分→等距（性质），等距→平分（逆定理）。解题关键：抓牢“角内、垂直、等距”三个条件，缺一不可。逆定理是证明角平分线、角度相等的核心工具，常与全等、垂直、平行线综合考查。 角平分线的性质定理的逆定理 探究：刚才我们通过角平分线的性质定理得到了它的逆命题： 这个新命题是真命题吗？如何判断这个命题的真假？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 1 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO = ∠PEO = 90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP = ∠BOP (全等三角形的对应角相等). 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 要点归纳 （1）位置关系：点在角的内部 （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. A O B P D E C 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 典例精析 例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证： (1) 点 B 在 ∠ADC 的平分线上; (2) BD 平分∠ABC. 证明 (1) 在 △ABC 中，因为∠1=∠ 2， 所以 BA = BC.又 BA⊥AD，BC⊥CD, 所以点 B 在∠ADC的平分线上， (2)在 Rt∠BAD 和 Rt∠BCD 中， 所以 Rt△BAD ≌ Rt∠BCD（斜边、直角边) 因此∠ABD＝∠CBD,从而 BD 平分∠ABC. BA = BC， BD = BD. 知识点 角平分线的性质与判定的应用 （第1题） 1.学校一角围墙的形状如图所示，其中，， 表 示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点 修建一座 朗读亭，使点到三面墙的距离都相等，则点 在( ) D A.（连接，）线段， 的交点处 B.线段， 垂直平分线的交点处 C.线段， 垂直平分线的交点处 D.， 的平分线的交点处 返回 举一反三 6 2.如图，点到三边的距离相等，则 _____；若 ，则 ______. （第2题） 返回 举一反三 7 如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE=S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗? 说一说 由于S△BDE=S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上. 如图，已知 EF⊥CD 于点 E ，EF⊥AB 于点 F ，MN ⊥ AC 于点 N ，M 是 EF 的中点.需要添加一个什么条件，就可使 CM ，AM 分别为∠ACD 和 ∠CAB 的平分线呢? 思考 添加条件 MN ＝ ME 即可. 因为 ME⊥CD，MN⊥AC，MN = ME， 所以点 M 在∠ACD 的平分线上， 即 CM 是∠ACD 的平分线. 又 M 是 EF 的中点，则 MF = ME = MN. 同理可证 AM 是∠CAB 的平分线. 反思 添加条件 MN＝MF 可以吗? 三角形的内角平分线 2 操作 任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等. A B C 思考 如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？ 可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等. A B C 作图 ① 在△ABC 中分别作∠BAC与∠ABC 的平分线，它们交于点 P . ② 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点 D，E，F. ③ 因为 AP 是∠BAC 的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以 PD = PE.因为 BP 是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF ⊥BC，所以 PD = PF. 故 PD = PE = PF. D E F P 想一想：点 P 在∠C 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点 P 在 ∠A 的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 3.［2025长沙月考］如图， ，是的中点， 平分 ，且 ，则 _____. （第3题） 返回 举一反三 13 4.如图，是的三条角平分线的交点，连接，， ，若 ，，的面积分别为，，，则___ . （填“ ”“”或“ ”） （第4题） 返回 举一反三 14 例2 如图，在∠ABC 的外角∠CAD 的平分线上任取一点 P，作 PE⊥DB，PF 上 AC，垂足分别为点 E，F .试探索 BE+PF 与 PB 的大小关系. 解 ：因为 AP 是∠CAD 的平分线， 又 PE⊥DB，PF⊥AC, 所以 PE = PF . 在 △EBP 中, BE+PE > PB， 因此 BE+PF >PB. 典例精析 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 1.应用角平分线的判定与性质： 判定角平分线 距离问题 条件 要点归纳 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 5.［2025怀化期中］如图，已知为 的平分 线，点在上，于，于 ， 且.求证： . 证明：因为，，且 ， 所以.因为平分，所以 ，在 和 中， 所以 ，所以 . 返回 举一反三 18 6.如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物 流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可 以选择的地址有( ) D A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 返回 举一反三 19 （第7题） 7.如图，在中，，分别平分 和 ，于点，.若 的面积 为94，则 的周长为____. 47 返回 举一反三 20 8.如图，在中，，的平分线相交于点，连接 并延 长，交于点，于点，若 ， ，则 ___ . 6 （第8题） 返回 举一反三 21 9.［2025永州月考］如图，,是两条交叉公路，， 是两个观测 点，现要建一个服务区，使服务区到两条公路的距离相等，且到， 两个观测点的距离也相等，画出此服务区应建的位置 .（不写作法，保 留作图痕迹） 举一反三 22 解：如图，点 即为所求. 返回 举一反三 23 角平分线的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的内角平分线相交于内部一点 课堂小结 谢谢观看 THANKS $