5.2.1 勾股定理课件2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过方格纸画直角边为3、4的直角三角形并旋转斜边探索长度，结合《周髀算经》“勾三股四弦五”文化背景，借助拼图法验证，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是融合文化与多种证法，如赵爽弦图、毕达哥拉斯证法及总统证法，培养数学思维与几何直观。应用含例题及勾股数练习，课堂小结用导图复盘，助学生结构化知识，教师可借丰富资源提升教学效率。

从前有个数学家叫毕达哥斯拉，对不对？是毕达哥拉斯。有一天他去朋友家做客，朋友家的地板砖朋友做是这样的，作为数学家的毕达哥拉斯一下就被这些一模一样的等腰角三角形吸引了。他观察马赛克发现从中可以分割出这样一个图形。为什么是这样一个奇怪的图形？为什么要这么分割？接下来就是毕达加斯曼回路不同于一般人的地方了。在这个图形中他发现了一个面积关系，S1加上S2等于3，你能想明白为什么吗？我们还原马赛克原本，我们就会发现这个小正方形的面积是由两个单位三角形组成的那这个也是两个。那么两个小正方形的面积和就是四个三角形，而大正方形的面积刚好也是四个三角形，所以我们就用来C1加上1加2等1加3了。现在我们把目光集中在中间的这个三角形上，它的三边分别表示成ABC那么在这个小正方形中，S1就等于边长的平方，也就是A的平方。同样S2就是B的平方，S3就是C的平方。因为S1加上S2等于S3，所以我们就有了A方加B方等于C方。这就是大名鼎鼎的勾股定理的表达式，它的含义就是直角边平方和等于斜边的平方，只不过这个图形我们的可比是相等的。对于勾股定理的这个等式，毕达哥拉斯是发现者，但是却没有证明他。但是这么一个简单的等式却是史上证法最多的定理，许多人给出了各种各样的证明，从名满天下的数学家到名不见经传的门外汉，从穷学生大总统，你要问为什么这么多人都对勾股定理感兴趣，当然是因为他建洁优美又超级有用，同时对它的证明门槛也不高，只要有基本的几何与代数知识就能做到。下面就让我们一起来看看几种有灵的勾股定理证明，说不定在启发下，你也能找到属于自己的证明哟。 新湘教版八年级上册数学 第5章 直角三角形 5.2.1 勾股定理 学习目标 1. 了解勾股定理的文化背景，体会勾股定理的探索过程； 2. 了解利用拼图法验证勾股定理的方法； 3. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 任务导入 如图,在方格纸上(设小方格的边长为1)画一个顶点都在格点 上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使 其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ A B C a=3 b=4 c=? c=5 探索展示 A B C a=3 b=4 c=5 我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边 叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”. 这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方.对于这一结论，古人称为 勾股算法.实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系. 勾 股 弦 勾2+股2=弦2 探索展示 探索展示 由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论. 画一个边长为a+b的正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形， 其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为 c，如图所示.由 此，你能探索出a2+ b2 =c2这一结论吗？ a a a a b b b b A B C D E F G H c 探索展示 a a a a b b b b A B C D E F G H c 由于四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去 4 个小直角三角形的面积。 ∴ S=(a+b)2-ab×4 =a2+b2 =a2+2ab+b2-2ab 在△ABE与△BCF中 AE=BF ∠AEB=∠BFC BE=CF ∴△ABE≌△BCF(SAS) 从而∠1=∠3 1 3 S 又∵∠1+∠2=90° 2 ∴∠3+∠2=90° 从而∠CBA=180°-(∠3+∠2)=90° 同理可证 ∠DCB=∠ADC=∠BAD=90° 又∵BC=CD=DA=AB=c 因此四边形ABCD是正方形 ∴S=c2 综上可知，S=a2+b2=c2 探索展示 由此可得: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c， 那么a2+b2=c2. 这一结论称为勾股定理。 a b c 下面给同学们介绍几种证明方法 c a b 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽, 用他所拼的图形证明命题吧. ∵S大正方形＝c2 S小正方形＝(b-a)2 ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形 证： 赵爽弦图 探索展示 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中四个全等的直角三角形按图示方法拼图，然后分析其面积关系进行证明. a b c 证：∵S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2 又∵S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 探索展示 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. a a b b c c 证： 探索展示 探索展示 请通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. a a a a b b b b (1) a a a a b b b b (2) 应用提升 例1  在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c. (1)若a=1，b=2，求c. (2)若a=15，c=17，求b. 解:(1)根据勾股定理得， ∵ c >0 ∴ c = (2)根据勾股定理得， ∵ b >0 ∴ b = 8 知 二 求 一 应用提升 例2 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB= AC=13， BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长 A B C D 解: 在△ABC中 ∵ AB = AC = 13 ，BC = 10 ，AD⊥BC 在Rt△ADB中，由勾股定理得 AD2+BD2=AB2 应用提升 课堂练习 1.当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5 都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A）5，12，13 （B）6，8，10 （C）7，24，25 （D）8，15，16 D 应用提升 课堂练习 2.求下图中各直角三角形未知的边长. a a c 5 4 4 10 a=3 a=5 c=15 应用提升 课堂练习 3.已知Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长6cm， 求AC的长. ∴AC2=(AC-2)2+62 解：在Rt△ABC中 AC2=AB2+BC2 从而 AC=10 4.下列说法中,正确的是( ) A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 应用提升 课堂练习 C 5. 如图所示，灰色部分（长方形）的面积为( ) A. 24 B. 30 C. 48 D. 18 6 8 3 应用提升 课堂练习 B 课堂小结 导图复盘 勾股定理   内容     在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，     a,b 为直角边，c 为斜边，     则有 a²+b²=c²。   注意     在直角三角形中     看清哪个角是直角     已知两边没有指明是直角边     还是斜边时一定要分类讨论 下 课 Lavf61.7.100 $